Operatör (fysik)

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 16 mars 2020; verifiering kräver 1 redigering .

En operatör inom kvantmekanik är en linjär mappning som verkar på vågfunktionen , som är en komplext värderad funktion som ger den mest fullständiga beskrivningen av systemets tillstånd. Operatörer betecknas med stora latinska bokstäver med en cirkumflex överst. Till exempel:

${\hat {A)],{\hat {B)],{\hat {C)),\prickar$

En operator agerar på funktionen till höger om den (den sägs också tillämpas på en funktion eller multipliceras med en funktion):

${\hat {A}}\Psi _{1}=\Psi _{2}$

Kvantmekaniken använder den matematiska egenskapen hos linjära självadjoint (hermitiska) operatorer , att var och en av dem har egenvektorer och reella egenvärden . De fungerar som värden för fysiska kvantiteter som motsvarar den givna operatören .

Aritmetiska operationer på operatorer

En operator kallas summan (skillnaden) av operatorer om följande villkor är uppfyllt för någon funktion från definitionsdomänen för alla tre operatorer: ${\hat {C}}$ ${\hat {A},{\hat {B}}$ $\\Psi$

${\hat {C}}\Psi ={\hat {A}}\Psi \pm {\hat {B}}\Psi$

En operator kallas en produkt av operatorer om följande villkor är uppfyllt för någon funktion: ${\hat {C}}$ ${\hat {A},{\hat {B}}$ $\\Psi$

${\hat {C}}\Psi ={\hat {A}}({\hat {B}}\Psi)$

I allmänhet

{\hat {A}}{\hat {B}}\not ={\hat {B}}{\hat {A}}

Om så sägs operatörerna pendla . Operatörskommutatorn definieras som ${\hat {A}}{\hat {B}}={\hat {B}}{\hat {A}}$ ${\hat {A},{\hat {B}}$

$[{\hat {A)],{\hat {B}}]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}$

Egenvärden och egenfunktioner för operatorn

Om det råder jämställdhet:

${\hat {A}}\Psi =a\Psi ,$

sedan anropar de egenvärdet för operatorn , och funktionen kallas egenfunktion för operatorn som motsvarar det givna egenvärdet. Oftast har en operator en uppsättning egenvärden: Uppsättningen av alla egenvärden kallas spektrumet för en operator . $\a$ ${\hat {A}}$ $\\Psi$ ${\hat {A}),$ $\ a_{1},a_{2},\dots ,a_{n},\dots$

Linjära och självanslutna operatorer

En operator kallas linjär om villkoret är uppfyllt för något par: ${\hat {L}}$ $\varphi _{{i}},C_{{i}}$

${\hat {L}}\summa _{{i}}C_{{i}}\varphi _{{i}}=\summa _{{i}}C_{{i}}{\hat {L} }\varphi_{{i}}.$

En operatör kallas self-adjoint ( Hermitian ) om följande villkor är uppfyllt för någon: ${\hat {A}}$ $\Psi ,\varphi$

$\left\langle \Psi |{\hat {A}}\varphi \right\rangle =\left\langle {\hat {A}}\Psi |\varphi \right\rangle$

Dessutom är summan av självadjoint operatörer en självadjoint operatör. En produkt av självanslutande operatörer är en självansluten operatör om de pendlar. Egenvärdena för självtillslutande operatorer är alltid verkliga. Egenfunktioner för självtillslutande operatorer som motsvarar olika egenvärden är ortogonala .

Operatörer som används i kvantfysik

De huvudsakliga egenskaperna hos ett fysiskt system inom kvantfysiken är observerbara storheter och tillstånd .

Inom kvantfysik är observerbara storheter associerade med linjära självtillslutande operatorer i ett komplext separerbart Hilbert-utrymme , och tillstånd är associerade med klasser av normaliserade element i detta utrymme (med norm 1). Detta görs främst av två skäl:

Egenvärdena för självanslutna operatorer som motsvarar specifika värden av fysiska storheter är reella tal , det vill säga vad experimentörer hanterar i praktiken (instrumentavläsningar, beräkningsresultat, etc.).

En och samma kvantpartikel kan samtidigt vara i en uppsättning kvanttillstånd , som kännetecknas av en uppsättning egenvärden för motsvarande operator. Det kan vara en ändlig mängd (ett diskret värdeintervall), ett intervall ( ett kontinuerligt värdeintervall) eller en blandad mängd.

Inom kvantfysiken finns det en "icke-strikt" regel för att konstruera en operator av fysiska storheter: förhållandet mellan operatorer är i allmänhet detsamma som mellan motsvarande klassiska storheter. Baserat på denna regel introducerades följande operatörer (i koordinerad representation):

Koordinatoperatör : _

${\hat {{\mathbf {x}}}}=x$

Koordinatoperatorns åtgärd är att multiplicera med en vektor av koordinater.

Momentumoperator : _

${\hat {{\mathbf {p}}}}=-i\hbar \nabla$

Här är den imaginära enheten och är nabla-operatören . $\i$ $\nabla$

Kinetisk energioperatör :

${\hat {T}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta$

Här är Dirac-konstanten , är Laplace-operatorn . $\hbar$ $\Delta$

Potentiell energioperatör :

${\hat {U}}=U(x,y,z,t)$

Operatörens verkan reduceras här till multiplikation med en funktion.

Hamilton operatör :

${\hat {H}}={\hat {T}}+{\hat {U}}$

Momentumoperator : _

${\hat {{\mathbf {L}}}}=-i\hbar [{\mathbf {r}},\nabla ]$ . Denna form valdes också av skäl relaterade till Noethers teorem och SO(3) -gruppen

spinnoperator : _

I det viktigaste fallet med snurr 1/2 har spinnoperatorn formen: , där ${\hat {s}}={\frac {1}{2}}{\hat {\sigma }}$

${\hat {\sigma }}_{{x}}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$ , , - sk. Pauli matriser . Denna art liknar den tidigare, men är associerad med SU(2) -gruppen . ${\hat {\sigma }}_{{y}}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}$ ${\hat {\sigma }}_{{z}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$

Se även

Litteratur

Landau L. D. , Lifshits E. M. " Theoretical Physics ", i 10 volymer, v. 3, "Quantum mechanics (non-relativistic theory)", 5:e upplagan, M., Fizmatlit, 2002, 808 s. , ISBN 5-92721-005 -2 (volym 3);
"Funktionell analys", red. 2, rev. och ytterligare (Serien "Reference Mathematical Library"), team av författare, red. S. G. Kerin , Moskva, "Nauka", 1972, 517.2 F 94