Skolems paradox

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 12 februari 2019; kontroller kräver 2 redigeringar .

Skolems paradox är ett kontroversiellt resonemang som först beskrevs av den norske matematikern Turalf Skolem , associerat med användningen av Löwenheim-Skolem-satsen för axiomatisk mängdlära .

Till skillnad från Russells paradox , Cantors paradox, Burali -Fortis paradox , där man med hjälp av logiskt korrekta slutsatser avslöjar en motsägelse ”förklädd” i de initiala premisserna, uppstår ”motsägelsen” i Skolems paradox av ett fel i resonemang och noggrant övervägande av frågan visar att detta bara är en inbillad paradox . Icke desto mindre är hänsyn till Skolems paradox av stort didaktiskt värde.

Formulering

Om axiomsystemet för någon axiomatisk mängdteori är konsekvent, så har den, i kraft av Gödel- och Löwenheim-Skolem-satserna, en modell och dessutom kan denna modell byggas på naturliga tal . Det vill säga, endast en räknebar uppsättning objekt (som vart och ett kommer att motsvara en unik uppsättning ) krävs för att välja ett predikatvärde för varje par av objekt som helt uppfyller denna teoris axiom (till exempel, eller - förutsatt att deras konsistens , se Axiomatics of theory ). I en sådan situation, för varje objekt i modellen, kan endast ett ändligt eller räknebart antal objekt (det finns helt enkelt inga fler i ämnesområdet) inkluderas i relationen . Vi fixar en sådan modell med en räknebar som ämnesområde. $M$ $x\in y$ $\mathrm {ZF}$ $\mathrm {ZFC}$ $y$ $\ldots \in y$ ${\mathfrak {M}}$ $M$

I kraft av satserna , oavsett den accepterade modellen i den är härledbar , till exempel existensen av en term vars kardinalitet är oräknelig. Men i en räknebar modell tvingas vilken mängd som helst att inte vara mer än räknebar - en motsägelse? $\mathrm {ZF}$ $\mathrm {ZF}$ ${\mathcal {P}}(\omega )$

Upplösning

Låt oss diskutera noga. Faktumet innebär att det finns ett sådant objekt att den första ordningens formel som motsvarar uttrycket är sann i modellen på utvärderingen, där den enskilda variabeln är associerad med objektet . Cantors teorem säger att det är oräkneligt, vilket per definition betyder $\mathrm {ZF} \vdash \exists x(x={\mathcal {P}}(\omega ))$ $c\in M$ $x={\mathcal {P}}(\omega )$ ${\mathfrak {M}}$ $x$ $c$ $x$

\mathrm {ZF} \vdash \neg \exists f(f

— bijection between and — bijection between and

{\mathcal {P}}(\omega )

\omega )\land \exists f(f

\omega

\omega \cup {\omega }),

där " är en bijektion mellan och " betyder , var är någon kodning av ordnade par , till exempel . $f$ $A$ $B$ $\forall x\forall y(\langle x,\;y\rangle \in f\Leftrightarrow (x\i A\land y\in B))$ $\langle x,\;y\rangle$ ${\displaystyle \langle x,\;y\rangle =\{x,\;y,\;\{x\}\))$

Men detta betyder bara att det bland elementen $M$ inte finns något sådant att det i modellen skulle uppfylla egenskaperna för bijektionen mellan och . Samtidigt är det inte viktigt att medlemskapsrelationen med ett objekt från motsvarande en term inte kan omfatta mer än ett räknebart antal objekt från - det viktiga är att det bland objekten inte finns som implementerar den nödvändiga bijektionen . $f$ ${\mathfrak {M}}$ ${\mathcal {P}}(\omega )$ $\omega$ $M$ ${\mathcal {P}}(\omega )$ $M$ $M$ $f$

Resonemanget "om modellen är räknbar, så kan inte mer än ett räknebart antal objekt ingå i en relation med vilket objekt som helst" är ett resonemang utanför den axiomatiska teorin som studeras och motsvarar inte någon formel i denna teori. Ur en extern synvinkel kan teorin " mängden av alla uppsättningar " (andra gången ordet "mängd" här bara betyder något objekt i ämnesområdet ) existera och till och med vara räknebar, vilket inte på något sätt är kopplat (och kan därför inte motsäga) med de härledda formlerna. $\i$ $\mathrm {ZF}$ $\mathrm {ZF}$ $\mathrm {ZF}$

Litteratur

Kolmogorov A. N. , Dragalin A. G. Matematisk logik. — M.: URSS, 2005. — 240 sid.
Frenkel A. A. , Bar-Hillel I. Mängdlärans grunder. — M.: Mir, 1966. — 556 sid.