Lögnarparadox

Lögnarparadoxen  är en familj av logiska paradoxer , vars klassiska version är " Jag ljuger " eller, mer exakt, " Detta påstående är falskt ."

Om man antar att påståendet är sant, då eftersom det påstår sig vara falskt är det falskt, vilket är en motsägelse. Tvärtom, om vi antar dess falskhet, så motsvarar den vad den själv säger, och därför är den sann, vilket också är en motsägelse.

Kärnan i paradoxen är självreferens , det vill säga indikationen av meningen till sig själv [1] .

Påståenden som lögnarparadoxen har ofta använts genom filosofins historia : den var känd för de gamla grekerna och användes som ett pussel av medeltida logiker, och har också blivit ett grundläggande studieobjekt i modern logik [2] .

Historik

Relaterade uttalanden

Ett tidigt uttalande, liknande lögnarparadoxen, tillskrivs den antika grekiske filosofen på 700-talet f.Kr. e. Epimenides :

Epimenides: Alla kretensare är lögnare.

Eftersom Epimenides är en kretensisk , liknar uttalandet lögnarens paradox. Frågan är, vad är negationen av påståendet "kretensarna ljuger alltid": om det är "kretensarna ljuger aldrig", så äger paradoxen rum; om emellertid "kretensarna inte alltid ljuger", som man brukar anta i logiken, så är påståendet från Epimenides helt enkelt falskt och det finns ingen paradox.

Denna paradox ges i Nya testamentet av aposteln Paulus ( Tit.  1:12-13 ):

Om dem [från kretensarna] sa en poet: "Kretensarna är alltid lögnare, onda bestar, lata livmoder." Bevisen är korrekta. Straffa dem därför strängt, för att de må vara sunda i tron...

Antiken

Själva lögnarparadoxen var känd i antikens Grekland på 300-talet f.Kr. e. Eubulides av Miletus inkluderade det i listan över sina sju sofismer i följande formulering [3] :

Mannen säger att han ljuger. Är det han säger sant eller falskt?

Medeltiden

Medeltidsfilosofen Jean Buridan använde paradoxen för att bevisa Guds existens . Han övervägde två uttalanden:

  1. Gud finns.
  2. Inget av dessa två påståenden är sant.

Om det första påståendet är falskt så erhålls en paradox, och därför måste den enligt Buridan vara sann [3] .

Sorter

Den klassiska paradoxen

Tänk på följande uttalande:

: Påståendet är falskt.

Om påståendet är sant, så är påståendet falskt, en motsägelse. Om det är falskt är påståendet inte falskt, och därför sant, en motsägelse. Det sista steget bygger på lagen om den uteslutna mitten , som säger att alla logiska påståenden är antingen sanna eller falska. Den naturliga lösningen – förnekandet av den uteslutna mittens lag – fungerar inte i andra versioner av lögnarens paradox [4] .

Lagen om det uteslutna mitten

Tänk på följande uttalande:

: Påståendet är inte sant.

Om påståendet är sant, så är påståendet inte sant, en motsägelse. Om det inte är sant, så är påståendet sant, en motsägelse. Det här alternativet använder inte lagen om den uteslutna mitten , men uttalandet hänvisar till sig självt [5] .

En annan formulering antyder att det tredje alternativet, annat än sant eller falskt, är meningslöshet [6] :

: Påståendet är falskt eller meningslöst.

Logisk loop

Tänk på följande påståenden:

: Påståendet är falskt. : Påståendet är sant.

Om sant, då falskt och inte sant, en motsägelse. Om det är falskt, så är det inte falskt och sant, en motsägelse. Att korrigera falskhet för osanning och korrigera behovet av lagen om den uteslutna mitten liknar det tidigare exemplet. En sådan variant använder inte uttalandets hänvisning till sig själv [7] .

Längre slingor är också möjliga, till exempel:

: Påståendet är falskt. : Påståendet är falskt. : Påståendet är falskt.

Currys paradox

Tänk först på följande uttalande:

: Påståendet är inte sant eller

Eftersom ett falskt påstående inte påverkar sanningen av , får vi en motsägelse som liknar den klassiska lögnarparadoxen [8] .

Tänk nu på ett liknande uttalande:

: Om påståendet är sant, så finns det sjöjungfrur.

Detta uttalande, kallat Currys paradox , är nästan detsamma som det föregående. Först ersätts ett falskt påstående ( ) med ett annat (sjöjungfrur finns). För det andra ersätts den logiska funktionen "(inte ) eller " med funktionen " följer ", medan värdena för paret av variabler och , för vilka funktionen tar värdet sant, förblev oförändrade. Men samtidigt uppstod en bindning till den verkliga världen, synlig vid första anblicken [8] .

The Apple Paradox

Betrakta följande oändliga sekvens av uttalanden:

: Alla påståenden vid är falska. : Alla påståenden vid är falska. : Alla påståenden vid är falska.

Om sant är alla falska för och i synnerhet är falska . Därför finns det en sådan som är sann, en motsägelse. Om falskt, så finns det ett sant för , och därför får vi en motsägelse liknande det första fallet [9] .

Denna ändlösa kedja av uttalanden, som kallas Yablo-paradoxen , innehåller vid första anblicken ingen referens till sig själv , även om det finns vetenskapliga diskussioner om detta [9] .

Paradox of Pinocchio

Pinocchio hade en egenskap: när han ljög (sagde en lögn) ökade hans näsa genast märkbart.

Vad händer om Pinocchio säger: "Nu blir min näsa längre"?

Om näsan inte ökar, så ljög pojken, och näsan måste växa precis där. Och om näsan växer så sa pojken sanningen, men varför växte då näsan?

Försök att lösa paradoxen

Anhängaren till Aristoteles Theophrastus skrev tre papyri om paradoxen, och den tidiga stoiske Chrysippus  sex, men de har inte nått oss [3] .

Det finns två kända dödsfall bland tänkare orsakade av försök att lösa denna paradox. Logikern Diodorus Kronos lovade hänsynslöst att avstå från mat tills paradoxen var löst – och dog snart av utmattning. Vetenskapsmannen, grammatikern och poeten Filit Kossky , som förtvivlade över att hitta en lösning, begick antingen självmord [10] eller, eftersom han var vid dålig hälsa, dog av undernäring och sömnlöshet, alltför medtagen av problemet [11] . Inskriptionen på Filits grav på ön Kos lyder [3] :

Åh främling! Jag är Filit Kossky, Och det var lögnaren som ledde till min död Och sömnlösa nätter på grund av honom.

Aristoteles erbjöd en variant av sin lösning. Han påpekade att sofistiska argument (“On Sophistic Refutations”, kap. 25) bygger på det faktum att ”något [inneboende] i egentlig mening hävdas som [inneboende] i något avseende, eller någonstans, eller på något sätt, eller i förhållande till något, men inte i allmänhet” (Arist. Soph. El. 081a 25) [12] . Därför, i varianten "en person säger att han ljuger", är resonemanget helt korrekt: "Men inget hindrar en och samma person från att tala sanning i allmänhet, och i något avseende och om något talar han sanning, eller att i vad han var sanningsenlig, men i allmänhet inte sann” (Arist. Soph. El. 180b 5) [12] .

Sålunda delas lögnaren in i "någon som ofta ljuger" och "någon som ljuger i ett visst ögonblick". Men på detta sätt begränsade sig Aristoteles i huvudsak till att peka ut orsaken till paradoxaliteten, och varianten av paradoxen i dess direkta form ”denna mening är falsk” löses inte på detta sätt och ”förbigås” inte [13] .

Frank Ramsey ansåg lögnarparadoxen (i form av "jag ljuger nu") som språklig, tillskriven klassen semantisk, inte set-teoretisk [14] :

... motsättningarna i grupp B är inte rent logiska och kan inte formuleras i logiska termer enbart, för de innehåller alla en hänvisning till tanke, språk eller symbolik, som inte är formella utan empiriska termer. Därför kan de ha att tacka sitt ursprung inte till felaktig logik eller matematik, utan till felaktiga idéer om tanke och språk.

En rad andra författare försöker ofta lösa paradoxen just med logiskt-matematiska medel. Alfred Tarski försökte, med hjälp av sin logisk-matematiska teori, omformulera paradoxen från vardagligt språk till något formellt språk som har en entydig logisk struktur [15] . Formellt kan man säga att A. Tarski hittade en lösning: han anser att predikaten "sant" eller "falskt" är termer för ett metaspråk och de kan inte tillämpas på det språk som det ursprungliga uttalandet är formulerat på. Detta resonemang är dock baserat på begreppet ett metaspråk, och paradoxen "inom" det vanliga språket förblir olöst [16] .

Ämnet att "översätta" paradoxen till ett formellt logiskt språk är också relaterat till Gödels första ofullständighetsteorem :

"Det faktum att Gödels teorem och lögnarens paradox är nära besläktade är inte bara välkänt, utan är till och med en allmän representation av den logiska gemenskapen. ... Gödel själv var inget undantag och gjorde en anmärkning i en artikel som tillkännager hans resultat." Analogin mellan detta resultat och Richards antinomi kastas i ögat, det finns också ett nära samband med antinomin i "Lögnaren". Här ställs vi inför en mening som hävdar sin egen obevisbarhet"" [17] .

G. Sereni påpekar att detta samband är allmänt erkänt bland specialister, men det har formen av en analogi, extern likhet, och det finns få studier om den exakta karaktären av detta samband [18] . Van Heijenoort påpekar att om vi går från begreppet sanning till bevis, så försvinner paradoxen [19] :

"... en mening som säger "jag är inte sann" ... vi får en paradox ... Men om vi på något sätt konstruerar meningen "Jag är inte bevisbar" uppstår inte paradoxen. Beteckna med g påståendet, och anta med avseende på begreppet "bevis" helt enkelt att inget som kan bevisas kan vara falskt. Om g var bevisbart skulle det vara falskt, därför är det inte bevisbart. Därför är det obevisbart och sant (eftersom det är precis vad det påstår). Negationen av g, som säger att den är bevisbar, är falsk, därför är den inte heller bevisbar. Vi glider längs paradoxen och faller aldrig riktigt in i den. Proposition g är obevisbar och sann; dess negation är obevisbar och falsk. Den enda omständigheten som leder till detta överraskande resultat är införandet av en distinktion mellan "sant" och "bevisbart"" [17] .

Detta är dock bara en lösning på paradoxen om man accepterar att det obevisbara kan vara sant.

Logikens problem förknippade med paradoxen varierade beroende på begreppet hänsyn: om det är en tvetydighet eller meningslöshet, eller ett exempel på en blandning av talspråk och logiskt metaspråk, som inte är åtskilda i vardagen. Om de är differentierade kan påståendet "jag ljuger" inte formuleras. Det är mycket möjligt att denna långvariga paradox i framtiden kommer att leda till upptäckten av andra problem inom det relevanta området [10] .

Samtidigt finns det också försök att vägra uppfattningen av paradoxen, att låtsas att den inte existerar. Vdovichenko A.V. föreslår att betrakta paradoxen "som ett naturligt verbalt material", vilket indikerar att personen som uttrycker denna paradox "inte kunde tänka på sig själv alls när han uttalade sina ord", det vill säga inte betrakta sig själv som en "kretensare", även om han var (vi talar specifikt om den "kretensiska" formuleringen): "han kunde tala affektivt, med endast sin inställning till dem i åtanke, utan att räkna sig själv bland dem" [20] .

Lösningen på paradoxen är också användningen av ternär logik , där det, förutom påståendena " Sant " och " Falskt ", finns " Odefinierat ". I det här fallet kan påståendet "Detta påstående är falskt" klassificeras som obestämt, det vill säga inte sant och inte falskt på samma gång.

Se även

Anteckningar

  1. ↑ Buldt B. Om fasta punkter, diagonalisering och självreferens / Freitag, W. et al. (red) Von Rang och Namen. Essäer till Wolfgang Spohns ära. - Munster: Mentis, 2016. - S. 47-63.
  2. ↑ Beall, Glanzberg, 2016 , ingress.
  3. ↑ 1 2 3 4 Dowden, 2018 , 1. History of the Paradox.
  4. ↑ Beall, Glanzberg, 2016 , 1.1 Simple-falsity Liar.
  5. ↑ Beall, Glanzberg, 2016 , 1.2 Simple-untruth Liar.
  6. ↑ Dowden, 2018 , 1a. Förstärkt Liar.
  7. ↑ Beall, Glanzberg, 2016 , 1.3 Liar cycles.
  8. ↑ 1 2 Beall, Glanzberg, 2016 , 1.4 Booleska föreningar.
  9. ↑ 1 2 Beall, Glanzberg, 2016 , 1.5 Oändliga sekvenser.
  10. ↑ 1 2 Filosofi: Encyclopedic Dictionary/Ed. A. A. Ivina. - M .: Gardariki, 2004. - 1072 S.
  11. ↑ Eliane . Brokiga berättelser (bok IX, 14) / översättning av S. V. Polyakova. - M.-L .: Förlag för USSR Academy of Sciences. 1963. - 188 sid.
  12. ↑ 1 2 Aristoteles . Om sofistiska motbevisningar / Aristoteles. Verk i fyra volymer. T.2. — M.: Tanke, 1978. — 687 S.
  13. ↑ Khlebalin A.V. The Liar's Paradox in Traditional and Modern Logic // ΣΧΟΛΗ. - 2017. - Nr 2. - S. 536-544.
  14. ↑ Frank Ramsay Foundations of Mathematics / Ramsay F. Philosophical Works. — M.: Kanon+, 2011. — 368 sid. - S.16-64. — ISBN 978-5-88373-081-7
  15. ↑ Sher G. Sanning, lögnaren och Tarskis semantik / En följeslagare till filosofisk logik. - Oxford: Blackwell Publishers, 2002. - P.145-163.
  16. ↑ Solopova M.A. Eubulides / New Philosophical Encyclopedia. I 4 volymer T. II - M., Tanke, 2010. - S. 5-6.
  17. ↑ 1 2 Tselishchev V.V. Lögnarens paradox och Gödels första ofullständighetssats // Scholae. Filosofisk antiken och den klassiska traditionen. - 2017. - Nr 2. - P. 415-427.
  18. ↑ Sereny G. Gödel, Tarski, Church and the Liar // Bulletin of Symbolic logic. - 2003. - vol. 9(1). - S. 3-25.
  19. ↑ Van Heijenoort J. Gödels sats / The Encyclopedia of Philosophy, ed. av P. Edwards. V. 2. - New York: The MacMillan Company & Free Press, 1967. - S. 352.
  20. ↑ Vdovichenko A.V. Självmenande språk och en lögnares paradox // Bulletin of the Orthodox St. Tikhon University for the Humanities. Serie 3: Filologi. - 2006. - Nr 2. - P. 183-190.

Källor

Litteratur