Platt kurva av fjärde graden

En platt kurva av fjärde graden eller en platt kvarts är en platt algebraisk kurva av fjärde graden . Det kan bestämmas med en fjärdegradsekvation i två variabler:

Ax^{4}+By^{4}+Cx^{3}y+Dx^{2}y^{2}+Exy^{3}+Fx^{3}+Gy^{3} +Hx^{2}y+Ixy^{2}+Jx^{2}+Ky^{2}+Lxy+Mx+Ny+P=0,

där minst ett av talen A, B, C, D, E är icke-noll. Denna ekvation har 15 konstanter. Emellertid kan ekvationen multipliceras med vilken konstant som helst som inte är noll utan att ändra kurvan. Således, genom ett lämpligt val av multiplikationskonstanten, kan vilken koefficient som helst göras lika med 1, vilket bara lämnar 14 konstanter. Sålunda kan kvartsrummet identifieras med det verkliga projektiva rummet . Det följer också av Cramers Algebraic Curves Theorem att det finns exakt en kvarts som passerar genom 14 olika punkter i allmänt läge , eftersom en kvarts har 14 frihetsgrader . $\mathbb {RP} ^{14}$

En quart kan ha ett maximum

fyra anslutna komponenter
tjugofyra bitangent
tre vanliga dubbla prickar .

Man kan överväga kvartskurvor över andra fält (eller till och med ringar ), såsom komplexa tal . I det senare fallet får man Riemann-ytor som är endimensionella över C men tvådimensionella över R. Ett exempel är Klein quartic . Dessutom kan man överväga kurvor i det projektiva planet , givna av homogena polynom.

Exempel

Olika kombinationer av koefficienterna i ekvationen ovan producerar olika viktiga familjer av kurvor, listade nedan.

Lemniscate
- Lemniscate Bernoulli
- Lemniscate Gerono
Pascals snigel
Quartic Lurot
Perseus kurva
Fyrkantighet
- Lama special quartic
toriskt avsnitt
Trotta kurva

Ampersand (kurva)

Et-tecken-kurvan är en plan kvartskurva med ekvationen

\ (y^{2}-x^{2})(x-1)(2x-3)=4(x^{2}+y^{2}-2x)^{2}.

Kurvan har släktet noll med tre vanliga dubbelpunkter på det verkliga planet. [ett]

Bob (kurva)

Bob- kurvan är en 4:e gradens plan kurva med ekvationen

x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{4}=x(x^{2}+y^{2}).\,

Bob har släktet noll. Kurvan har en singularitet vid origo, en vanlig trippelpunkt [2] . [3]

Tvåkurva

En dubbelkuspkurva är en 4:e gradens platt kurva med ekvationen

(x^{2}-a^{2})(xa)^{2}+(y^{2}-a^{2})^{2}=0\,

där a definierar storleken på kurvan. En två-cusp-kurva har bara två nodalpunkter som singulariteter, och är därför en kurva av genus ett [4] .

Bow (kurva)

En båge är en 4:e gradens plan kurva med ekvationen

x^{4}=x^{2}yy^{3}.\,

Bant har en trippelpunkt vid x =0, y =0, och är därför en rationell kurva av släktet noll [5] .

Korsformad kurva

En korsform eller tvärkurva är en 4:e gradens plan kurva som ges av ekvationen

x^{2}y^{2}-b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}=0\,

där a och b är två parametrar som bestämmer kurvans form. Den korsformade kurvan är förbunden med den vanliga kvadratiska transformationen x ↦ 1/ x , y ↦ 1/ y med ellipsen , och är därför en rationell plan algebraisk kurva av släktet noll. En korsformad kurva har tre dubbla punkter i det verkliga projektiva planet vid punkterna x =0 och y =0, x =0 och z =0, y =0 och z =0. [6] $a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}=1$

Eftersom kurvan är rationell kan den parametriseras av rationella funktioner. Till exempel, om a =1 och b =2, då ekvationerna

x=-{\frac {t^{2}-2t+5}{t^{2}-2t-3)),\quad y={\frac {t^{2}-2t+5 }{2t-2}}

definiera parametriseringen av punkter på kurvan, utom i undantagsfall då nämnaren försvinner.

Spiralsektion

En spiralsektion kan definieras som en bicirkulär kurva av fjärde graden, symmetrisk kring x- och y -axlarna . Spiralsektioner ingår i familjen av toriska sektioneroch innehåller Booth-familjen avlemniskaterochCassini-familjen av ovaler. Namnet kommer från det grekiska ordet σπειρα som betyder torus.

I kartesiska koordinater kan ekvationen skrivas

(x^{2}+y^{2})^{2}=dx^{2}+ey^{2}+f,

och i polära koordinater som

r^{4}=dr^{2}\cos ^{2}\theta +er^{2}\sin ^{2}\theta +f.\,

Tre blad klöver

En trebladig klöver är en 4:e gradens platt kurva

x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}-x^{3}+3xy^{2}=0.\,

När vi löser ekvationen för y får vi följande funktion

y=\pm {\sqrt {\frac {-2x^{2}-3x\pm {\sqrt {16x^{3}+9x^{2)))){2))},

där de två tecknen är oberoende av varandra och ger upp till fyra olika y -värden för varje x . $\pm$

Den parametriska ekvationen för en treklöver är

x=\cos(3t)\cos t,\quad y=\cos(3t)\sin t.\,

[7] .

I polära koordinater ( ) tar ekvationen formen $x=r\cos(\varphi ),y=r\sin(\varphi )$

r=\cos(3\varphi ).\,

Kurvan är ett specialfall av rosen med k = 3. Denna kurva har en trippelpunkt vid origo (0, 0) och har tre dubbla tangenter.

Anteckningar

↑ Weisstein, Eric W. Ampersand Curve på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
↑ Cundy, Rollett, 1961 , sid. 72.
↑ Weisstein, Eric W. Bean Curve på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
↑ Weisstein, Eric W. Bicuspid Curve på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
↑ Weisstein, Eric W. Bow på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
↑ Weisstein, Eric W. Cruciform curve på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
↑ Gibson, 2001 , sid. 12, 78.

Litteratur

Cundy HM, Rollett AP Matematiska modeller. — 2:a. - Clarendon Press, Oxford, 1961. - P. 72. - ISBN 978-0-906212-20-2 .
Gibson CG Elementary Geometry of Algebraic Curves, en grundutbildningsintroduktion. - Cambridge: Cambridge University Press, 2001. - P. 12, 78. - ISBN 978-0-521-64641-3 .