Akustiska ytvågor i piezoelektrik

Akustiska ytvågor i piezoelektrik  är elastiska vågor som fortplantar sig nära ytan av en piezoelektrisk ( Rayleigh-vågor ) eller i tunna piezoelektriska filmer (lamvågor observeras när substratets tjocklek är jämförbar med våglängden), åtföljda av modulering av det elektriska fältet för piezoelektriskt aktivt vägbeskrivningar. Rörelsen av mediumpartiklar för båda typerna av vågor är elliptisk. Amplituden för Rayleigh-vågorna minskar med avståndet från ytan och kan betraktas som en dämpad våg. Metoden för SAW-generering i piezoelektrik med hjälp av en interdigitated-kamgivare föreslogs 1965 [1] , vilket gjorde det möjligt att hitta bred tillämpning inom högfrekvent signalbehandling, fördröjningslinjer, sensorer och, på senare tid, för partikelmanipulation i mikrokanaler.

Teoretiska grunder

I ett linjärt medium karaktäriseras akustiska vågor helt av ekvationerna för partikelförskjutningar U i och potential φ [2] :

(1.1)
(1.2)
(1.3)
(1,4)
(1,5)

där Tij , Sij är spännings- och töjningstensorer  ; E , D  är vektorer för styrka och induktion av det elektriska fältet; C ijkl , e ijk , ε ij  är tensorerna för elasticitetsmodulerna (denna tensor är symmetrisk med avseende på det sista indexparet [3] ), piezoelektriska moduler respektive permittivitet; ρ är mediets densitet. Summeringen utförs över upprepade index. Elasticitetsmodultensorn är inställd på ett konstant elektriskt fält och permittivitetstensorn vid en konstant töjning. Om en piezoelektrik inte innehåller gratis laddningar, kan den betraktas som en dielektrikum och Gauss-lagen för induktion av ett elektriskt fält är uppfylld för det:

(2)

Inneboende halvledare vid en tillräckligt låg temperatur uppfyller detta villkor. Från ovanstående ekvationssystem kan man få ekvationer för akustiska vågor i en piezoelektrisk

(3.1)
(3.2)

Dessa ekvationer med randvillkor definierar helt problemet. I frånvaro av den piezoelektriska effekten är lösningarna i ekvation ( 3.1 ) elastiska vågor i ett anisotropt linjärt medium.

Partiella vågor

Vi letar efter en lösning på ekvationerna ( 3.1 ) och ( 3.2 ) i form av plana vågor som utbreder sig i x 1 -riktningen och dämpar i x 3 -riktningen :

(4.1)
(4.2)

Genom att ersätta dessa lösningar i vågekvationerna får vi ett ekvationssystem för amplituderna

(5.1)

där elementen uttrycks som

(5.2)

För att en icke-trivial lösning av ekvationer ska existera är det nödvändigt att systemets determinant ( 5.1 ) är lika med noll. Detta villkor definierar en 8:e gradens ekvation för b. Genom att bara välja lösningar i det lägre komplexet hittar vi den fullständiga lösningen av vågekvationerna:

(6.1)
(6.2)

där de okända koefficienterna C m hittas från de randvillkor som specificeras på ytan av piezoelektriken: förhållandena för den obelastade ytan T 33 =T 31 =T 32 =0 och kontinuiteten för normalkomponenten av den elektriska induktionsvektorn D 3 . För randvillkoren (den m:te kolumnen visas) får vi ett ekvationssystem:

(7)

Från likheten mellan systemets determinant till noll, hittas vågens fashastighet [4] .

Symmetri av kristaller

Genom att använda Voigt-notationen kan elasticitetsmodultensorn skrivas om som en 6×6 symmetrisk matris, som i allmänhet har 21 linjärt oberoende komponenter [5] . För kristaller med kubisk symmetri ( kisel , galliumarsenid ), där koordinatsystemet sammanfaller med kristallgittrets axlar, finns det bara tre oberoende komponenter [6] :

För kristaller med hexagonal symmetri ( kadmiumsulfid , zinkoxid ), där x 3 -axeln sammanfaller med kristallens Z-axel, finns det fem oberoende komponenter [6] :

För kristaller med trigonal symmetri (klasserna 32, 3 m , ) urskiljs sex oberoende komponenter [6] :

Denna klass inkluderar viktiga piezoelektriska produkter som kvarts , litiumniobat .

Tensorn för piezoelektriska konstanter i Voigt-notationen (det sista indexparet ersätts) för det kubiska systemet (klasserna 23 och ) har en oberoende komponent [7]

För kristaller med hexagonal symmetri (6 mm punktgrupp , polariserad keramik längs x 3 -axeln ), finns det tre komponenter:

För punktgruppen 32 ( trigonal syngony ) är de två komponenterna:

och för punktgruppen 3 m  - fyra [7] :

Den dielektriska konstanttensorn beror också på riktningen i kristallen för grupperna 3 m , 32, 6 mm och ε 33 ≠ε 11 =ε 22 . För klasserna 23, , m 3 m : ε 33 =ε 11 =ε 22 .

Interaktion av ytaktiva ämnen i ett piezoelektriskt med en 2DEG

Betrakta det enklaste endimensionella fallet och, förkasta indexen, skriv om ekvationssystemet ( 1 ) i formen [8] :

(8.1)
(8.2)
(8.3)
(8.4)

Detta ekvationssystem leder till vågekvationen för skiftet

(9)

Om piezoelektriken visar sig vara en bra ledare kommer de längsgående ljudvågorna (hastighet ) inte att vara piezoelektriska, och om det är ett dielektrikum blir våghastigheten . Koefficienten kallas den elektromekaniska kopplingskoefficienten och tar värden mindre än 0,05 (för (100) GaAs- ytan i riktningen [011] K² eff =6,4×10 −4 ). Om en 2DEG med konduktivitet σ bildas i GaAs, leder det elektriska fältet hos en akustisk våg till energiförluster på grund av ohmska förluster. Dämpningskoefficienten Γ och förändringen i hastigheten för den piezoakustiska vågen med frekvensen ω är lika, respektive:

(10.1)
(10.2)

där λ är våglängden, σ M = v 0 (1+ε). Här är avståndet till 2DEG från ytan mycket mindre än våglängden. I ett mer allmänt fall är förändringen i hastighet och dämpning relaterade av relationen [9] :

(elva)

där v s  är den akustiska våghastigheten för en ideal ledare, q är vågvektorn, och koefficienterna α och σ M beror på materialparametrarna. Därför kan det ses att interaktionen mellan SAW och 2DEG beror på den längsgående komponenten av konduktivitetsterzorn, som bestämmer den beröringsfria metoden för dess mätning.

På grund av närvaron av dämpning överförs en del av vågens rörelsemängd till 2DEG, vilket leder till uppkomsten av en akustoelelektrisk ström (om kretsen är sluten). Förhållandet mellan dämpning och fasförskjutning och konduktivitet på grund av växelverkan mellan SAWs i ett piezoelektriskt material med en 2DEG studerades i närvaro av ett vinkelrät magnetfält i regimen för heltalskvant-Hall-effekten [8] och fraktionell kvant-Hall-effekt [10]

SAW-förstärkning i halvledare med piezoelektriska egenskaper

Ekvationssystemet för det endimensionella fallet ( 8 ) i halvledare av n-typ med piezoelektriska egenskaper bör kompletteras med ekvationer för den totala strömmen (inklusive drift- och diffusionsdelar) [11]

(12)

kontinuitetsekvationen

(13)

och Gauss sats

(fjorton)

Här är μ rörligheten, q är elementarladdningen, D n  är diffusionskoefficienten och elektronkoncentrationen n c består av en konstant del n 0 och ett tidsvarierande bidrag n s på grund av den akustiska vågens elektriska fält. Förutom det variabla elektriska fältet E 1 e jkx-jωt , verkar ett konstant fält E 0 .

Dämpningsfaktorn i detta fall är lika med

(femton)

var , , . Om drifthastigheten vd för elektroner är större än våghastigheten, så ändrar y tecken och följaktligen, istället för dämpning, förstärks den akustiska ytvågen.

Adiabatisk transport i endimensionella kanaler

Interaktionen mellan SAWs i en piezoelektrisk med en 2DEG kan utökas till endimensionella kanaler, nämligen de som bildas med hjälp av laterala grindar på GaAs-ytan. En rörlig SAW på grund av det elektriska fältet kan skapa en rörlig potentialbrunn för en individuell elektron (som kan representeras som en kvantpunkt ) i en blockerad endimensionell kanal, det vill säga inducera ledning. På grund av Coulomb-blockaden överförs en elektron under en period, och den resulterande strömmen bestäms endast av signalfrekvensen f och elektronladdningen [12] [13] :

En sådan enkel formel öppnar för möjligheten att använda transport i kvasi-endimensionella kanaler som en aktuell standard.

Applikation

Sensorer på akustiska ytvågor , fördröjningslinjer .

Anteckningar

  1. White RM, Voltmer FW Direkt piezoelektrisk koppling till ytelastiska vågor  // Appl. Phys. Lett.. - 1965. - T. 7 . - S. 314-316 . - doi : 10.1063/1.1754276 .  (inte tillgänglig länk)
  2. Osetrov A. V., Sho N. V. Beräkning av parametrar för akustiska ytvågor i piezoelektrik med finita elementmetoden  // Computational Continuum Mechanics. - 2011. - T. 4 . - S. 71-80 .
  3. Landau, 1987 , sid. 131.
  4. Filters, 1981 , sid. 18-21.
  5. Filters, 1981 , sid. elva.
  6. 1 2 3 Filters, 1981 , sid. 12.
  7. 1 2 Filters, 1981 , sid. fjorton.
  8. 1 2 Wixforth A., Scriba J., Wassermeier M., Kotthaus JP, Weimann G., Schlapp W. Surface akustiska vågor på GaAs/Al x Ga 1-x As heterostructures  // Phys. Varv. F. - 1989. - T. 40 . - S. 7874-7887 . - doi : 10.1103/PhysRevB.40.7874 .
  9. Simon SH Koppling av akustiska ytvågor till en tvådimensionell elektrongas  // Phys. Varv. F. - 1996. - T. 54 . - S. 13878-13884 . - doi : 10.1103/PhysRevB.54.13878 .
  10. Willett RL, Paalanen MA, Ruel RR, West KW, Pfeiffer LN, Bishop DJ Anomal ljudutbredning vid ν=1/2 i en 2D elektrongas: Observation av en spontant bruten translationssymmetri?  // Fysisk. Varv. Lett.. - 1990. - T. 65 . - S. 112-115 . - doi : 10.1103/PhysRevLett.65.112 .
  11. Vit DL -förstärkning av ultraljudsvågor i piezoelektriska halvledare  // J. Appl. Phys.. - 1962. - T. 33 . - S. 2547-2554 . - doi : 10.1063/1.1729015 .  (inte tillgänglig länk)
  12. Shilton JM, Talyanskii VI, Pepper M., Ritchie DA, Frost JEF, Ford CJB, Smith CG, Jones GAC Högfrekvent enkelelektrontransport i en kvasi-endimensionell GaAs-kanal inducerad av akustiska ytvågor  // J. Fysik.: Kondenserar. Materia. - 1996. - T. 8 . - S. 531 . - doi : 10.1088/0953-8984/8/38/001 .
  13. Thouless DJ Kvantisering av partikeltransport  // Phys. Varv. F. - 1983. - T. 27 . - S. 6083-6087 . - doi : 10.1103/PhysRevB.27.6083 .

Litteratur