Laguerre polynom

Laguerre polynom
allmän information
Formel	$L_n(x)=\frac{e^x}{n!}\frac{d^n}{dx^n}\left(e^{-x} x^n\right)$
Skalär produkt	$\langle f,\;g\rangle=\int\limits_0^\infty f(x)g(x)e^{-x}\,dx$
Domän	$x\ge0$
ytterligare egenskaper
Differentialekvation	$x\,y''+(1-x)\,y'+n\,y = 0,$
Döpt efter	Laguerre, Edmond Nicolas

Inom matematiken är Laguerre-polynomen , uppkallade efter Edmond Laguerre (1834–1886), de kanoniska lösningarna av Laguerre-ekvationen :

x\,y''+(1-x)\,y'+n\,y = 0,

som är en linjär differentialekvation av andra ordningen . Inom fysikalisk kinetik kallas dessa samma polynom (ibland upp till normalisering) vanligtvis för Sonin eller Sonin-Laguerre polynom [1] . Laguerre-polynom används också i Gauss-Laguerres kvadraturformel för numerisk beräkning av integraler av formen:

\int\limits_0^\infty f(x)e^{-x}\,dx.

Laguerre-polynomen, vanligtvis betecknade som , är en sekvens av polynom som kan hittas med hjälp av Rodrigues-formeln $L_0,\;L_1,\;\ldots$

L_n(x)=\frac{e^x}{n!}\frac{d^n}{dx^n}\left(e^{-x} x^n\right)=\summa^{n} _{k=0} \frac{(-1)^k}{k!}{n\välj k}x^k.

Dessa polynom är ortogonala mot varandra med en punktprodukt :

\langle f,\;g\rangle=\int\limits_0^\infty f(x)g(x)e^{-x}\,dx.

Sekvensen av Laguerre-polynom är Schaeffer-sekvensen .

Laguerre-polynom används inom kvantmekaniken, i den radiella delen av lösningen av Schrödinger-ekvationen för en atom med en elektron.

Det finns andra tillämpningar av Laguerre-polynom.

Några första polynom

Följande tabell listar de första Laguerre-polynomen:

Laguerre polynom kan definieras med den rekursiva formeln:

L_{k+1}(x)=\frac{1}{k+1}\bigl[(2k+1-x)L_k(x)-kL_{k-1}(x)\bigr],\quad \forall k\geqslant 1,

fördefinierar de två första polynomen som:

L_0(x)=1,

L_1(x)=1-x.

Generaliserade Laguerre-polynom är lösningar på ekvationen: $L_n^a(x)$

x\,y''+(a+1-x)\,y'+n\,y=0,

så . $L_n(x)=L_n^0(x)$

Ortogonala polynom
Bessel polynom Gegenbauer polynom Kravchuk polynom Laguerre polynom Legendre polynom Polachek polynom Rogers polynom Zernike polynom Chebyshev polynom Charlier polynom Hermitpolynom Jacobi polynom