Zernike polynom

Zernike-polynom är en sekvens av polynom som är ortogonala på enhetscirkeln . Uppkallad efter Nobelpristagaren optiker och uppfinnare av faskontrastmikroskopet Fritz Zernike . De spelar en viktig roll inom optik [1] .

Definitioner

Det finns jämna och udda Zernike-polynom. Även polynom definieras som

Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )=R_{n}^{m}(\rho )\,\cos(m\,\varphi )

och udda som

Z_{n}^{-m}(\rho ,\varphi )=R_{n}^{m}(\rho )\,\sin(m\,\varphi ),

där m och n är icke-negativa heltal så att n ≥ m , φ är azimutvinkeln och ρ är det radiella avståndet, . Zernike-polynomen är begränsade i intervallet från −1 till +1, dvs. . $0\leq \rho \leq 1$ $|Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )|\leq 1$

Radiella polynom definieras som ${\displaystyle R_{n}^{m))$

R_{n}^{m}(\rho )=\!\sum _{k=0}^{(nm)/2}\!\!\!{\frac {(-1)^{ k}\,(nk)!}{k!\,((n+m)/2-k)!\,((nm)/2-k)!}}\;\rho ^{n-2\ ,k}

för jämna värden på n − m , och är identiskt lika med noll för udda n − m .

Andra representationer

Genom att skriva om bråket med faktorialer i den radiella delen som en produkt av binomialkoefficienter kan man visa att koefficienterna vid potenser är heltal: $\rho$

R_{n}^{m}(\rho )=\sum _{k=0}^{(nm)/2}(-1)^{k}{\binom {nk}{k)) {\binom {n-2k}{{\tfrac {nm}{2}}-k}}\rho ^{n-2k}

För att identifiera återkommande, för att visa det faktum att dessa polynom är ett specialfall av Jacobi-polynom , för att skriva differentialekvationer , etc., används notationen i form av hypergeometriska funktioner :

{\begin{aligned}R_{n}^{m}(\rho )&={\binom {n}{\tfrac {n+m}{2))}\rho ^{n}\ { }_{2}F_{1}\vänster(-{\tfrac {n+m}{2)),-{\tfrac {nm}{2));-n;\rho ^{-2}\höger )\\&=(-1)^{\tfrac {n+m}{2}}{\binom {\tfrac {n+m}{2}}{\tfrac {nm}{2}}}\rho ^{m}\ {}_{2}F_{1}\left(1+n,1-{\tfrac {nm}{2));1+{\tfrac {n+m}{2)); \rho ^{2}\right)\end{aligned}}

för jämna värden på n − m .

Egenskaper

Ortogonalitet

Ortogonalitet i den radiella delen skrivs av jämlikheten

\int _{0}^{1}\rho {\sqrt {2n+2}}R_{n}^{m}(\rho )\,{\sqrt {2n'+2}}R_{ n'}^{m}(\rho )\,d\rho =\delta _{n,n'}.

Ortogonalitet i hörndelen representeras av en uppsättning likheter

\int _{0}^{2\pi}\cos(m\varphi )\cos(m'\varphi )\,d\varphi =\varepsilon _{m}\pi \delta _{ |m |,|m'|},

\int _{0}^{2\pi}\sin(m\varphi )\sin(m'\varphi )\,d\varphi =(-1)^{m+m'}\pi \ delta _{|m|,|m'|};\quad m\neq 0,

\int _{0}^{2\pi }\cos(m\varphi )\sin(m'\varphi )\,d\varphi =0,

där parametern (ibland kallad Neumann-multiplikatorn ) sätts till 2 if och 1 if . Produkten av de vinkel- och radiella delarna fastställer ortogonaliteten för Zernike-funktionerna i båda variablerna när de integreras över enhetscirkeln: ${\displaystyle \varepsilon _{m))$ $m=0$ $m\neq 0$

\int Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )Z_{n'}^{m'}(\rho ,\varphi )\,d^{2}r={\frac { \varepsilon _{m}\pi }{2n+2}}\delta _{n,n'}\delta _{m,m'},

var är jakobian för det polära koordinatsystemet, och både tal och är jämna. $d^{2}r=\rho \,d\rho \,d\varphi$ $nm$ $n'-m'$

Exempel

Radiella polynom

Nedan visas de första radiella polynomen.

R_{0}^{0}(\rho )=1

R_{1}^{1}(\rho )=\rho

R_{2}^{0}(\rho )=2\rho ^{2}-1

R_{2}^{2}(\rho )=\rho ^{2}

R_{3}^{1}(\rho )=3\rho ^{3}-2\rho

{\displaystyle R_{3}^{3}(\rho )=\rho ^{3))

R_{4}^{0}(\rho )=6\rho ^{4}-6\rho ^{2}+1

R_{4}^{2}(\rho )=4\rho ^{4}-3\rho ^{2}

{\displaystyle R_{4}^{4}(\rho )=\rho ^{4))

R_{5}^{1}(\rho )=10\rho ^{5}-12\rho ^{3}+3\rho

R_{5}^{3}(\rho )=5\rho ^{5}-4\rho ^{3}

R_{5}^{5}(\rho )=\rho ^{5}

R_{6}^{0}(\rho )=20\rho ^{6}-30\rho ^{4}+12\rho ^{2}-1

{\displaystyle R_{6}^{2}(\rho )=15\rho ^{6}-20\rho ^{4}+6\rho ^{2))

{\displaystyle R_{6}^{4}(\rho )=6\rho ^{6}-5\rho ^{4))

R_{6}^{6}(\rho )=\rho ^{6}.

Se även

Anteckningar

↑ Zernike, F. Beugungstheorie des Schneidenverfahrens und Seiner Verbesserten Form, der Phasenkontrastmethode (tyska) // Physica I : affär. - 1934. - Bd. 8 . - S. 689-704 .

Ortogonala polynom
Bessel polynom Gegenbauer polynom Kravchuk polynom Laguerre polynom Legendre polynom Polachek polynom Rogers polynom Zernike polynom Chebyshev polynom Charlier polynom Hermitpolynom Jacobi polynom