Approximation av nästan fria elektroner

Den nästan fria elektronapproximationen är en metod i kvantteorin för fasta ämnen där den periodiska potentialen för ett kristallgitter anses vara en liten störning med avseende på valenselektronernas fria rörelse .

Approximationen av nästan fria elektroner ger uppkomsten av smala bandgap som ett resultat av Bragg-diffraktionen av elektroner vid den periodiska potentialen för kristallgittret .

Matematisk formulering

Hamiltonian som beskriver en elektrons rörelse i atomkärnors potentialfält i medelfältsapproximationen ges av formeln

{\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta +V(\mathbf {r} )

där är Plancks konstant , m är massan av elektronen , är den periodiska potentialen, som tar hänsyn till interaktionen mellan elektronen och kristallgittret och andra elektroner. $\hbar$ $V(\mathbf {r} )$

Vågfunktionen för en elektron, som måste uppfylla Blochs sats , kan sökas i form av en Fourierserieexpansion

\psi _{\mathbf {k} }=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\sum _{\mathbf {G} }a_{\mathbf {k} +\ mathbf {G} }e^{i\mathbf {G} \cdot \mathbf {r} }

där är vågvektorn , är den reciproka gittervektorn . $\mathbf {k}$ ${\mathbf {G}}$

Om potentialen är liten i storlek jämfört med elektronens kinetiska energi, kan elektronernas rörelse betraktas som nästan fri. Elektronenergin ges av formeln $V(\mathbf {r} )$

E={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}.

Denna formel är giltig överallt i Brillouin-zonen , förutom det fall då vågfunktionen för en elektrons translationsrörelse interfererar med en våg spridd av en periodisk potential. Denna situation uppstår när . I denna region av vågvektorer används en approximation, enligt vilken amplituderna för de direkta och spridda vågorna bestäms av ekvationssystemet: $\mathbf {k} \approx \mathbf {G} /2$

\left({\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}-E\right)a_{\mathbf {k} }+V_{\mathbf {-G} }a_ {\mathbf {k} -\mathbf {G} }=0

\left({\frac {\hbar ^{2}(\mathbf {k} -\mathbf {G} )^{2}}{2m}}-E\right)a_{\mathbf {k} -\mathbf {G} }+V_{\mathbf {G} }a_{\mathbf {k} }=0

var är expansionskoefficienterna för potentialen i en Fourier-serie. Detta ekvationssystem har en icke-trivial lösning under villkoret $V_{\mathbf {G} }$

\left({\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}-E\right)\left({\frac {\hbar ^{2}(\mathbf {k} -\mathbf {G} )^{2}}{2m}}-E\right)-V_{\mathbf {G} }V_{\mathbf {-G} }=0

som sätter lagen för spridning av elektroniska tillstånd vid gränsen för Brillouin-zonen. Direkt vid gränsen ( ) $\mathbf {k} \cdot \mathbf {G} =\mathbf {G} ^{2}/2$

E={\frac {\hbar ^{2}G^{2}}{8m}}\pm |V_{\mathbf {G} }|

Det finns inga elektroniska nivåer i energigapet mellan och , vilket avgör förekomsten av ett smalt bandgap . $E={\frac {\hbar ^{2}G^{2}}{8m}}-|V_{\mathbf {G} }|$ $E={\frac {\hbar ^{2}G^{2}}{8m}}+|V_{\mathbf {G} }|$

Se även

Litteratur

Anselm A.I. Introduktion till halvledarfysik (obestämd) . - Moskva: Nauka., 1978.

Metoder för att beräkna den elektroniska strukturen
Teori om valensbindningar	Hybridisering av orbitaler Resonans teori Två-elektron tre-center bindning dubbelbindning trippelbindning
Teori om molekylära orbitaler	Metod för linjära kombinationer av atomära orbitaler Hartree-Fock metod Länkad klustermetod Quantum Monte Carlo-metoden
Zonteori	kp-metoden pseudopotentiell metod Approximation av starkt bundna elektroner Approximation av nästan fria elektroner Förstärkt planvågsmetod Greens funktionsmetod Densitet funktionell teori MT potential