Exempel till Pompey

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 4 februari 2021; kontroller kräver 5 redigeringar .

Pompejus exempel är ett exempel på en differentierbar funktion vars derivata ( Pompejus derivata ) försvinner på en tät mängd . I synnerhet är Pompejus-derivatan diskontinuerlig vid vilken punkt som helst där den inte är lika med 0.

Historik

Frågan om det kan finnas sådana funktioner som inte är identiskt noll, uppstod i samband med forskning om funktionell differentiabilitet och integrerbarhet i början av 1900-talet. Denna fråga besvarades jakande av Dimitri Pompeiou genom att konstruera ett explicit exempel.

Byggnad

Låt beteckna den reella kubroten av ett reellt tal . Vi väljer en uppräkning av rationella tal i enhetsintervallet och positiva tal så att ${\sqrt[ {3}]{x}}$ $x$ $q_{1},q_{2},\dots$ $a_{1},a_{2},\dots$

a_{1}+a_{2}+\dots <\infty

Tänk på funktionen

g(x):=a_{0}+\sum _{j=1}^{\infty }\,a_{j}{\sqrt[{3}]{x-q_{j))} .

För varje x från [0, 1] är varje term i serien mindre än eller lika med ett j i absolut värde, så att genom Weierstrass-testet konvergerar serien enhetligt till en kontinuerligt strikt ökande funktion g ( x ) . Dessutom visar det sig att funktionen g är differentierbar, och

g'(x):={\frac {1}{3}}\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {a_{j}}{\sqrt[{3}] {(x-q_{j})^{2}}}}>0,

vid vilken punkt som helst där summan är ändlig; dessutom vid alla andra punkter, i synnerhet vid någon av q j , g ′( x ) := +∞ .

Eftersom bilden av g är ett slutet avgränsat intervall med den vänstra änden

g(0)=a_{0}-\sum _{j=1}^{\infty }\,a_{j}{\sqrt[{3}]{q_{j))},

upp till valet av en 0 kan vi anta att g (0) = 0 och fram till valet av en multiplikativ faktor kan vi anta att g mappar intervallet [0, 1] på sig självt. Eftersom g är strikt ökande är det injektivt och därmed en homeomorfism .

Enligt inversfunktionsdifferentieringssatsen har den inversa funktionen f := g −1 en finit derivata vid vilken punkt som helst, som försvinner åtminstone vid punkterna { g ( q j )} j ∈ℕ . De bildar en tät delmängd av [0, 1] (i själva verket försvinner derivatan på en större mängd, se Egenskaper).

Egenskaper

Eftersom mängden nollor av derivatan av någon differentierbar funktion överallt är en G-delta-mängd , för alla Pompei-funktioner är denna mängd en tät G-delta-mängd. I synnerhet är det oräkneligt av Baires teorem .
En linjär kombination av Pompejus funktioner har en derivata och försvinner i mängden , som är en tät G-delta uppsättning. Således bildar Pompeys funktioner ett vektorrum . $a\cdot f+b\cdot g$ ${\displaystyle \{\,x\in \mathbb {R} \mid f'(x)=g'(x)=0\,\))$
Gränsfunktionen för en enhetligt konvergent sekvens av Pompei-derivat är ett Pompei-derivat. Detta är faktiskt derivatan av gränssatsen under derivattecknet. Dessutom försvinner den vid skärningspunkten mellan nolluppsättningarna av sekvensfunktionerna: eftersom dessa är täta G-deltauppsättningar är nolluppsättningen för gränsfunktionen också tät.
- Som en konsekvens är klassen E för alla avgränsade Pompejus-derivator på intervallet [ a , b ] ett slutet linjärt delrum av Banach-rummet för alla avgränsade funktioner med avseende på enhetligt avstånd (det är alltså ett Banach-rum).
- Ovanstående Pompeiu-konstruktion är positiv , vilket är en sällsynt egenskap: Weyls teorem säger att Pompeious derivata generellt tar både positiva och negativa värden i täta mängder, i den exakta meningen att sådana funktioner utgör en tät G-delta-mängd av ett Banach- utrymme E.

Litteratur

Pompeiu, Dimitrie (1907). Sur les fonctions dérivées . Mathematische Annalen [ fr. ]. 63 (3): 326-332. DOI : 10.1007/BF01449201 . Hämtad 2021-10-12 .
Andrew M. Bruckner, "Differentiering av verkliga funktioner"; CRM Monograph series, Montreal (1994).