Genererande funktion av sannolikheter

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 29 augusti 2017; kontroller kräver 4 redigeringar .

I sannolikhetsteorin är den genererande funktionen för sannolikheterna för en diskret slumpvariabel en potensserie av slumpvariabelns sannolikhetsfunktion. Sannolikhetsgenererande funktioner används ofta för att kortfattat beskriva deras sekvens av sannolikheter P(X=i) för en slumpvariabel X , med förmågan att tillämpa teorin om potensserier med icke-negativa koefficienter.

Definition

Endimensionellt fall

Om X är en diskret slumpvariabel som tar icke-negativa heltalsvärden {0,1, ...}, så definieras den sannolikhetsgenererande funktionen för slumpvariabeln X som

{\displaystyle G(z)=M(z^{X})=\summa _{x=0}^{\infty }p(x)z^{x))

där p är en sannolikhetsfunktion av X. Observera att beteckningsindexen G X och p X ofta används för att betona att de refererar till en viss slumpvariabel X och dess fördelning. Potensserien konvergerar absolut, åtminstone för alla komplexa tal z, |z| ≤ 1; i många exempel är konvergensradien större.

Flerdimensionellt fall

Om X = (X 1 ,...,X d ) är en diskret slumpvariabel som tar värden från ett d-dimensionellt icke-negativt heltalsgitter {0,1, ...} d , då är den sannolikhetsgenererande funktionen för X definieras som

G(z)=G(z_{1},...,z_{d})=M(z_{1}^{X_{1}}...z_{d}^{X_{d }})=\summa _{x_{1},...,x_{d}=0}^{\infty }p(x_{1},...,x_{d})z_{1}^ {x_{1}}...z_{d}^{x_{d}}

där p är en sannolikhetsfunktion av X. Potensserien konvergerar absolut åtminstone för alla komplexa vektorer z = (z 1 ,...,z d ) ∈ ℂ d med maximalt {|z 1 |,...,|z d |} ≤ 1.)

Egenskaper

Power series

De genererande funktionerna för sannolikheter följer alla regler för potensserier med icke-negativa koefficienter. Speciellt G(1 − ) = 1, där G(1 − ) = lim z→1 G(z) underifrån, eftersom summan av sannolikheterna måste vara lika med 1. Således är konvergensradien för en genererande sannolikhetsfunktion måste vara minst 1, enligt Abels sats för potensserier med icke-negativa koefficienter.

Sannolikheter och förväntningar

Följande egenskaper låter dig sluta dig till de olika baskvantiteterna som är associerade med : $X$

1. Sannolikhetsfunktionen för återställs genom att ta derivatan $X$ $G$

p(k)=P(X=k)={\frac {G^{(k)}(0)}{k!)}}

2. Det följer av egenskap 1 att om slumpvariabler och har lika genererande funktioner av sannolikheter ( = ), då . Det vill säga om och har samma genererande funktioner av sannolikheter, så har de också samma fördelningar. $X$ $Y$ $G_{X}$ $G_{Y}$ $p_{X}(k)=p_{Y}(k)$ $X$ $Y$

3. Normaliseringen av densitetsfunktionen kan uttryckas i termer av genereringsfunktionen

M(1)=G(1^{-})=\summa _{i=0}^{\infty }p(i)=1

Den matematiska förväntan på X ges som

M(X)=G'(1^{-})

Mer generellt ges det k: te faktormomentet för X av

E(X(X-1)...(X-k+1)))

M\left({\frac {X!}{(Xk)!}}\right)=G^{(k)}(1^{-}),k\geq 0

Således ges variansen av X som

{\displaystyle D(X)=G''(1^{-})+G'(1^{-})-[G'(1^{-})]^{2))

4. , där är en slumpvariabel. är sannolikheternas genererande funktion och är momentens genererande funktion. $G_{X}(e^{t})=M_{X}(t)$ $X$ $G_{X}(t)$ $M_{X}(t)$

Funktioner för oberoende slumpvariabler

Sannolikhetsgenererande funktioner är särskilt användbara för att hantera funktioner av oberoende slumpvariabler . Till exempel:

Om X 1 , X 2 , ..., X n är en sekvens av oberoende (och inte nödvändigtvis lika fördelade) slumpvariabler, och

S_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i},

där a i är konstanter definieras den sannolikhetsgenererande funktionen som

G_{S_{n}}(z)=M(z^{S_{n}})=M(z^{\summa _{i=1}^{n}a_{i}X_{i }})=G_{x_{1}}(z^{a_{1}})G_{x_{2}}(z^{a_{2}})...G_{x_{n}}(z ^{a_{n}})

Till exempel om

S_{n}=\sum _{i=1}^{n}X_{i},

då definieras den sannolikhetsgenererande funktionen, G Sn (z) , som

G_{S_{n}}(z)=G_{x_{1}}(z)G_{x_{2}}(z)...G_{x_{n}}(z)

Det följer också av detta att den genererande funktionen av skillnaden mellan två oberoende stokastiska variabler S = X 1 − X 2 definieras som

G_{S}(z)=G_{X_{1}}(z)G_{X_{2}}(1/z)

Antag att N också är en oberoende, diskret slumpvariabel som tar icke-negativa heltalsvärden, med en sannolikhetsgenererande funktion G N . Om X 1 , X 2 , ..., XN är oberoende och jämnt fördelade med en gemensam sannolikhetsgenererande funktion G X , då

G_{S_{N}}(z)=G_{N}(G_{X}(z))

Detta kan ses med hjälp av lagen om total förväntan enligt följande:

G_{S_{N}}(z)=M(z^{S_{N}})=M(z^{\summa _{i=1}^{N}X_{i}})= M(M(z^{\summa _{i=1}^{N}X_{i}}|N))=M((G_{X}(z))^{N})=G_{N} (G_{X}(z))

Detta sista faktum är användbart i studiet av Galton-Watson processer.

Låt återigen N också vara en oberoende, diskret slumpvariabel som tar icke-negativa heltalsvärden, med en genererande funktion av sannolikheter G N och en sannolikhetstäthet fi =P { N=i}. Om X 1 , X 2 , ..., X n är oberoende men ojämnt fördelade stokastiska variabler, där G X i anger den sannolikhetsgenererande funktionen för X i , då

G_{S_{N}}(z)=\sum _{i\geq 1}{f_{i}}\prod _{k=1}^{i}{G_{X_{i}}( z)}

För jämnt fördelade Xi förenklar detta identiteten ovan. I det allmänna fallet är det ibland användbart att erhålla en nedbrytning av S N med hjälp av sannolikhetsgenererande funktioner.

Exempel

Den genererande funktionen av sannolikheter för en konstant stokastisk variabel som tar ett värde c ( P(X=c) = 1) är

{\displaystyle G(z)=z^{c))

Den sannolikhetsgenererande funktionen för en stokastisk variabel med binomialfördelning är

{\displaystyle G(z)=[(1-p)+pz]^{n))

Uppenbarligen är detta en n-faldig produkt av att generera funktioner av en slumpvariabel med en Bernoulli-fördelning med parameter p Sålunda är den genererande funktionen för den slumpmässiga variabeln att kasta ett rättvist mynt

G(z)=1/2+z/2

Genererande funktion av sannolikhet för en stokastisk variabel med negativ binomialfördelning med sannolikhet för framgång p, hållen tills den r:te framgången

G(z)={\left({\frac {p}{1-(1-p)z}}\right)}^{r}

(Konvergerar vid )

\left|z\right|<{\frac {1}{1-p))

Uppenbarligen är detta en r-faldig produkt av geometriskt fördelade slumpvariabler som genererar funktioner med parametern (1-p)

Den sannolikhetsgenererande funktionen för en Poisson- slumpvariabel med parametern λ är

G(z)=e^{\lambda {(z-1)))

Länkar

Johnson, NL; Kotz, S.; Kemp, A. W. (1993) Univariate Discrete distributions (2nd edition). Wiley. ISBN 0-471-54897-9 (avsnitt 1.B9)