Primtal palindrom

Ett primtal på palindrom  är ett primtal som också är ett palindrom , det vill säga dess notation läses på samma sätt både från höger till vänster och från vänster till höger. Palindromicitet beror på den valda basen av talsystemet, medan enkelhet inte gör det.

De första palindromernas primtal i decimalnotation (sekvens A002385 i OEIS ):

2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 101 , 131 , 151 , 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919,... 92

I decimalnotation, med undantag för 11, innehåller alla palindromiska primtal ett udda antal siffror, som följer av testet för delbarhet med 11, enligt vilket varje palindromiskt tal med ett jämnt antal siffror är en multipel av 11. Det är inte känt om det finns ett oändligt antal palindromiska primtal i bas 10, det största kända antalet i juli 2020 är

10 474500 + 999 × 10 237249  + 1.

som består av 474 501 siffror och upptäcktes 2014 av Sergey Batalov. [ett]

Det är också känt att för vilken talbas som helst är nästan alla palindromiska tal sammansatta [2] , det vill säga förhållandet mellan antalet sammansatta palindromiska tal och alla palindromiska tal mindre än n tenderar till 1.

I binärt är palindromprimtal Mersenneprimtal och Fermatprimtal . Alla binära palindromprimtal utom binär 11 (decimal 3) innehåller ett udda antal siffror, eftersom palindromer med ett jämnt antal siffror är delbara med 3.

De första binära palindromprimtalen (sekvens A117697 i OEIS ):

11, 101, 111, 10001, 11111, 1001001, 1101011, 1111111, 100000001, 100111001, 110111011, …

Bas 12 palindromprimtal (tio och elva betecknas med spegel 2 och 3):

2, 3, 5, 7, Ɛ, 11, 111, 131, 141, 171, 181, 1Ɛ1, 535, 545, 565, 575, 585, 5Ɛ5, 727, 737, 747,Ɛ, 747, Ɛ, 747, Ɛ Ɛ6Ɛ,. . .

Ett djurpalindrom primtal innehåller numret på besten 666 i mitten. Ett exempel är Belphegors primtal , associerat med flera vidskepelser , 10000000000000066660000000000000001, där 666 är omgiven på båda sidor av nollor . Ett annat exempel på ett sådant nummer är 700666007. [3]

Ett trippelt palindrom primtal  är, enligt Ribenboims definition, ett palindrom primtal p av q siffror, där q  är ett palindrom primtal av r siffror, där r  är ett palindrom primtal. [4] Till exempel, p = 10 11310 + 4661664 ⋅ 10 5652 + 1, där q = 11311 siffror och 11311 består av r = 5 siffror. Den första (bas 10) trippel prime palindromen är det 11-siffriga numret 10000500001. Det är också möjligt att den trippel prime palindrombasen 10 också är en palindrombas 10, och det skulle vara ganska anmärkningsvärt om den andra basen också var en trippel prime palindrom.

Anteckningar

  1. Chris Caldwell, The Top Twenty: Palindrome Arkiverad 10 december 2008 på Wayback Machine
  2. William D. Banks, Derrick N. Hart, Mayumi Sakata, 1 februari 2008 " Nästan alla palindromer är sammansatta "
  3. Se Caldwell, Prime Curios! (CreateSpace, 2009) sid. 251, citerad i Wilkinson . The Pursuit of Beauty , The New Yorker  (2 februari 2015). Arkiverad från originalet den 12 april 2021. Hämtad 29 januari 2015.
  4. Paulo Ribenboim , The New Book of Prime Number Records