I matematik är en väg i ett topologiskt utrymme X en kontinuerlig avbildning f från enhetsintervallet I = [0,1] till X
f : I → X. _Startpunkten för banan är f (0) och slutpunkten är f (1). Vi pratar ofta om "vägen från x till y ", där x och y är vägens start- och slutpunkter. Observera att en sökväg inte bara är en delmängd av X som "ser ut som" en kurva , den innehåller också en parametrisering . Till exempel representerar mappningen f ( x ) = x och g ( x ) = x 2 två olika banor från 0 till 1 på den reella linjen.
En slinga i rymden X med baspunkten x ∈ X är en väg från x till x . En slinga kan också definieras som en avbildning f : I → X med f (0) = f (1) eller som en kontinuerlig avbildning från enhetscirkeln S 1 till X
f : S 1 → X .Det senare följer av att S 1 kan betraktas som ett kvotutrymme av I när 0 identifieras med 1. Mängden av alla slingor i X bildar ett mellanrum som kallas slingutrymmet för utrymmet X [1] .
Ett topologiskt utrymme i vilket det finns en väg som förbinder två punkter kallas vägkopplad . Varje utrymme kan delas upp i en uppsättning linjärt anslutna komponenter . Mängden linjärt anslutna komponenter i utrymmet X betecknas ofta med π 0 ( X );.
Man kan också definiera banor och slingor i spetsiga utrymmen , som är viktiga i homotopiteorin . Om X är ett topologiskt utrymme med en särskiljande punkt x 0 , så är en bana i X en bana vars startpunkt är x 0 . På liknande sätt är en slinga i X en slinga vid x 0 .
Banor och slingor är centrala studieobjekt inom den gren av algebraisk topologi som kallas homotopiteori . Homotopin av banor preciserar uppfattningen om en kontinuerlig deformation av en bana samtidigt som banans ändar bevaras.
I synnerhet är en homotopi av vägar i X en familj av vägar f t : I → X indexerad av I så att
Banorna f 0 och f 1 sägs vara homotopa (eller, mer exakt, linjärt homotopa ) om de är förbundna med en homotopi. Man kan på liknande sätt definiera en loophomotopi som bevarar baspunkten.
Homotopirelationen är en ekvivalensrelation för vägar i ett topologiskt rum. Ekvivalensklassen för en väg f under denna relation kallas homotopiklassen för f , och betecknas ofta [ f ].
Det går att forma en sammansättning av stigar i ett topologiskt rum på ett självklart sätt. Låt f vara en väg från x till y och g vara en väg från y till z . Vägen fg definieras som den väg som först erhålls genom att passera f och sedan g :
Det är tydligt att vägens sammansättning definieras endast om slutpunkten f sammanfaller med startpunkten g . Om vi betraktar slingor vid punkten x 0 , är vägsammansättningen en binär operation .
Bansammansättning, om den definieras, är inte en associativ operation på grund av skillnaden i parametrisering. Det är dock associativt upp till homotopi. Det vill säga [( fg ) h ] = [ f ( gh )]. Bansammansättning definierar strukturen för en grupp på uppsättningen homotopa loopklasser i X med baspunkt x 0 . Den resulterande gruppen kallas grundgruppen av X med punkten x 0 markerad och betecknas vanligtvis π 1 ( X , x 0 ).
Man kan definiera en väg i X som en kontinuerlig avbildning av intervallet [0, a ] till X för valfritt reellt a ≥ 0. En väg f av denna form har längd | f | definieras som en . Banans sammansättning definieras sedan som tidigare, med följande ändring:
Medan i den tidigare definitionen f , g och fg har längden 1, ger denna definition | fg | = | f | + | g |. Det som i den förra definitionen ledde till brott mot associativiteten var att även om ( fg ) h och f ( gh ) hade samma längd, nämligen 1, hamnade mittpunkten av ( fg ) h mellan g och h , medan mittpunkten av f. ( gh ) kom mellan f och g . I den modifierade definitionen av ( fg ) har h och f ( gh ) samma längd, nämligen | f |+| g |+| h |, och samma mittpunkter som finns i (| f |+| g |+| h |)/2 för både ( fg ) h och f ( gh ). Och även de har samma parametrering.
Varje topologiskt utrymme X ger upphov till en kategori vars objekt är punkterna i X och vars morfismer är banhomotopiklasserna. Eftersom all morfism i denna kategori är en isomorfism , är denna kategori en groupoid , kallad den fundamentala groupoiden av X. Slingor i denna kategori är endomorfismer (de är alla faktiskt automorfismer ). Automorfismgruppen för punkten x 0 i X är helt enkelt den fundamentala gruppen i X . Man kan definiera en fundamental groupoid på vilken delmängd som helst av X genom att använda homotopiklasserna av banor som förbinder punkter i A .