Stretch (geometri)
Stretching är en operation på en polyeder (i vilken dimension som helst, inte bara i tredimensionellt utrymme), där fasetter separeras och flyttas radiellt i riktning från mitten, nya fasetter bildas på de separerade elementen (spetsar, kanter, etc.) .). Samma operationer kan förstås som operationer som håller aspekterna på plats men minskar dem i storlek.
En polytop förstås som en flerdimensionell polyeder, och vidare i artikeln används dessa begrepp som synonymer (ordet "flerdimensionell" kan utelämnas om det antas av betydelse) [1] .
Att sträcka ut en vanlig flerdimensionell polytop ger en enhetlig polytop , men operationen kan appliceras på vilken konvex polytop som helst , vilket demonstreras för polytoper i artikeln " Conways notation for polytopes ". I fallet med 3D-polytoper har den sträckta polytopen alla ytor på den ursprungliga polytopen, alla ytor på den dubbla polytopen och ytterligare fyrkantiga ytor i stället för de ursprungliga kanterna.
Stretching vanliga polytoper
Enligt Coxeter definierades denna term för högdimensionella fasta ämnen av Alicia Buhl Stott [2] för att skapa nya högdimensionella polyedrar. Mer exakt, att skapa enhetliga flerdimensionella polyedrar från vanliga flerdimensionella polyedrar .
Sträckningsoperationen är symmetrisk för vanliga polytoper och deras dubbla polyedrar. Den resulterande kroppen innehåller fasetter av både en vanlig polyeder och dess dubbla polyeder, såväl som ytterligare prismatiska fasetter som fyller utrymmet mellan element med lägre dimension.
Stretch har i viss mån olika betydelse för olika dimensioner . I Wythoffs konstruktion genereras sträckan av reflektion från den första och sista spegeln. I högre dimensioner kan stretch skrivas med ett (under)skript, så e 2 är samma som t 0,2 i vilken dimension som helst.
Obs : Namnen på operationer på polyedrar i den ryskspråkiga litteraturen har inte lagt sig, så de engelska namnen med översättning anges nedan .
Efter dimensioner:
- En vanlig {p} -polygon expanderar till en vanlig 2p-gon.
- För polygoner är operationen identisk med trunkeringsoperationen , e{p} = e 1 {p} = t 0,1 {p} = t{p} och har ett Coxeter-Dynkin-diagram
.
- För polygoner är operationen identisk med trunkeringsoperationen , e{p} = e 1 {p} = t 0,1 {p} = t{p} och har ett Coxeter-Dynkin-diagram
- En vanlig {p,q} polytop (3-dimensionell polytop) expanderar till en polytop med vertex figur p.4.q.4 .
- För polyedrar kallas denna operation "cantellation" , e{p,q} = e 2 {p,q} = t 0.2 {p,q} = rr{p,q}, och operationen har ett Coxeter-diagram
.
Till exempel kan en rhombicuboctahedron kallas en dilaterad kub , en dilaterad oktaeder , såväl som en skev kub eller skev oktaeder .
- För polyedrar kallas denna operation "cantellation" , e{p,q} = e 2 {p,q} = t 0.2 {p,q} = rr{p,q}, och operationen har ett Coxeter-diagram
- En vanlig {p,q,r} 4D polytop (4-polytop) sträcks ut till en ny 4D polytop med samma {p,q} celler, nya celler {r,q} bildas i stället för de gamla hörnen, p -gonala prismor bildas i stället för gamla (2-dimensionella) ytor och r-gonala prismor i stället för gamla kanter.
- För 4-dimensionella polyedrar kallas denna operation "runcination" (planing), e{p,q,r} = e 3 {p,q,r} = t 0,3 {p,q,r}, och operationen har ett Coxeter-diagram
.
- För 4-dimensionella polyedrar kallas denna operation "runcination" (planing), e{p,q,r} = e 3 {p,q,r} = t 0,3 {p,q,r}, och operationen har ett Coxeter-diagram
- På liknande sätt expanderas en vanlig {p,q,r,s} 5D polytop till en ny 5D polytop med fasetter {p,q,r}, {s,r,q}, prismor {p,q}× { }, prismor {s,r}×{ } och duoprismor {p} × {s}.
- Operationen kallas "sterication" (hackning), e{p,q,r,s} = e 4 {p,q,r,s} = t 0,4 {p,q,r,s} = 2r2r {p,q,r,s} och operationen har ett Coxeter-diagram
.
- Operationen kallas "sterication" (hackning), e{p,q,r,s} = e 4 {p,q,r,s} = t 0,4 {p,q,r,s} = 2r2r {p,q,r,s} och operationen har ett Coxeter-diagram
Den allmänna operationen att sträcka en vanlig n-dimensionell polyeder är t 0,n-1 {p,q,r,...}. Nya vanliga fasetter läggs till i stället för varje vertex, och nya prismatiska polytoper läggs till för varje delad kant, (2D) yta, etc.
Se även
Anteckningar
- ↑ I ryskspråkig litteratur förstås vanligen regelbundna polytoper (polytoper med dimension > 3) och polyedrar som konvexa kroppar, i engelskspråkig litteratur betraktas även regelbundna polyedrar som regelbundna polytoper (polytoper)
- ↑ Coxeter, 1973 , sid. 123,210.
Litteratur
- HSM Coxeter . Vanliga polytoper. - tredje upplagan. - New York: Dover Publications Inc., 1973. - ISBN 0-486-61480-8 ..Första upplagan: Methuen & Co. Ltd., London, 1948
- Weisstein, Eric W. Expansion (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
- Norman Johnson. Uniforma polytoper. - 1991. - (manuskript).
- NW Johnson. Teorin om enhetliga polytoper och honungskakor. – Ph.D. University of Toronto, 1966. - (Ph.D.-avhandling).
| Grunden | avkortning | fullständig trunkering | Djup trunkering | Dualitet _ |
stretching | Trunkering | Alternation | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
    
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| t 0 {p, q} {p, q} |
t 01 {p,q} t{p, q} |
t 1 {p, q} r{p, q} |
t 12 {p,q} 2t{p, q} |
t 2 {p, q} 2r{p, q} |
t 02 {p,q} rr{p, q} |
t 012 {p,q} tr{p, q} |
ht 0 {p,q} h{q, p} |
ht 12 {p,q} s{q, p} |
ht 012 {p,q} sr{p, q} |