Teorin om diofantiska approximationer

Teorin om diofantiska approximationer är en gren av talteorin som studerar approximationen av reella tal genom rationella ; uppkallad efter Diophantus av Alexandria .

Det första problemet var frågan om hur väl ett reellt tal kan approximeras med rationella tal. För detta problem är ett rationellt tal a / b en "bra" approximation av ett reellt tal α , om det absoluta värdet av skillnaden mellan a / b och α inte kan minskas genom att ersätta a / b med en annan rationell bråkdel med en mindre nämnare. Problemet löstes på 1700-talet med hjälp av fortsatta bråk .

Om de "bästa" approximationerna av ett givet tal är kända, är områdets huvuduppgift att hitta de exakta övre och nedre gränserna för ovannämnda skillnad, uttryckt som en funktion av nämnaren.

Gränserna verkar bero på de reella talens natur - den nedre gränsen för en approximation av rationella tal med ett annat rationellt tal är större än den nedre gränsen för algebraiska tal , som i sig är större än den nedre gränsen för reella tal. Således är de reella talen som kan uppskattas bättre än gränsen för algebraiska tal definitivt transcendentala tal . Detta gjorde det möjligt för Liouville 1844 att få det första uttryckligen angivna transcendentala numret. Senare, med en liknande metod, bevisades det att och är transcendentala. $\pi$ $e$

Således är diofantiska approximationer och teorin om transcendentala tal mycket nära områden och har många allmänna satser och metoder. Diofantiska approximationer har också viktiga tillämpningar i studiet av diofantiska ekvationer .

Historiska anmärkningar

Efter att Borel och Khinchin fastställt att nästan alla siffror endast medger den "sämsta approximationen" av rationella tal, bildades riktningen för den metriska teorin för diofantiska approximationer (teorin om approximationer av oberoende kvantiteter), som tillhör den klassiska grenen av diofantiska approximationer. .

En ny trend kom från ett oväntat håll. Mahler, som klassificerade transcendentala tal, formulerade det huvudsakliga metriska problemet med teorin om transcendentala tal - hypotesen om "måttet på transcendens" för nästan alla tal. När gissningen bevisades, började en djup koppling öppnas mellan den klassiska teorin om diofantiska approximationer och den metriska teorin om transcendentala tal. Resultatet var utvecklingen av en ny riktning - teorin om approximationer av beroende kvantiteter.

Det finns tre huvudansatser inom modern teori.

Global, studera de allmänna lagarna för approximation. Exempel på globala uttalanden är Dirichlet- och Kronecker-satserna, Minkowskis gissningar om produkter av linjära former.
Ett individuellt tillvägagångssätt gäller egenskaperna hos speciella tal (algebraiska tal, ) eller kräver konstruktion av tal med vissa egenskaper (Liouville-tal, Mahler T-tal). $e,\pi ,\ln 2$
Den metriska ansatsen, som intar en mellanposition. Tillvägagångssättet kräver en beskrivning av talens approximationsegenskaper baserat på måttteori [1] .

Bästa diofantiska approximationer av reella tal

Givet ett reellt tal α , finns det två sätt att hitta den bästa diofantiska approximationen av α . I den första definitionen [2] är ett rationellt tal p / q den bästa diofantiska approximationen av ett tal α om

\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<\left|\alpha -{\frac {p'}{q'}}\right|,

för alla rationella tal p' / q' annat än p / q så att 0 < q ′ ≤ q .

I den andra definitionen [3] [4] ersätts ovanstående ojämlikhet med

\left|q\alpha -p\right|<\left|q^{\prime }\alpha -p^{\prime }\right|.

Den bästa approximationen för den andra definitionen är den bästa för den första definitionen, men det omvända är inte sant [5] .

Teorin om fortsatta bråk låter dig beräkna den bästa approximationen av ett reellt tal - för den andra definitionen konvergerar bråk som vanliga fortsatta bråk [4] [5] [6] . För den första definitionen bör även mellanfraktioner [2] beaktas .

Obs : Vi är överens om att beteckna medlämpliga bråkdelar av en given fortsatt bråkdel. Bråkbildar en ökande sekvens för jämn k och en minskande sekvensför udda k . De extrema medlemmarna i denna sekvens är konvergenter av samma paritet. Termerna som ligger mellan dem kallas mellanbråk [7] .

{\frac {p_{k}}{q_{k}}}

{\tfrac {p_{k-2}}{q_{k-2}}},{\tfrac {p_{k-2}+p_{k-1}}{q_{k-2}+ q_{k-1))},{\tfrac {p_{k-2}+2p_{k-1}}{q_{k-2}+2q_{k-1}}},...,{\ tfrac {p_{k-2}+a_{k}p_{k-1}}{q_{k-2}+a_{k}q_{k-1}}}={\tfrac {p_{k}} {q_{k}}}

Till exempel, konstanten e = 2,718281828459045235… representeras som en fortsatt bråkdel

[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,\ldots \;].

Hennes bästa prestationer enligt den andra definitionen

3,{\tfrac {8}{3)),{\tfrac {11}{4)),{\tfrac {19}{7)),{\tfrac {87}{32)),\ ldots\,,

Medan enligt den första definitionen skulle de bästa representationerna vara

3,{\tfrac {5}{2)),{\tfrac {8}{3)),{\tfrac {11}{4)),{\tfrac {19}{7)),{ \tfrac {49}{18)),{\tfrac {68}{25)),{\tfrac {87}{32)),{\tfrac {106}{39)),\ldots \,.

Ett mått på noggrannheten hos approximationer

Ett uppenbart mått på noggrannheten hos den diofantiska approximationen av ett reellt tal α med ett rationellt tal p / q är . Detta värde kan dock alltid göras så litet som önskas genom att öka de absoluta värdena av p och q . Av denna anledning jämförs vanligtvis approximationens noggrannhet med någon funktion φ av nämnaren q , vanligtvis en negativ potens av nämnaren. $\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|$

En övre gräns för de nedre gränserna för noggrannhet kan användas för en sådan uppskattning. Den nedre gränsen beskrivs vanligtvis med en sats som "För vilket element α som helst av någon delmängd av de reella talen och vilket rationellt tal vi har p / q ". I vissa fall kan "vilket rationellt tal som helst" ersättas med "alla rationella tal utom ett ändligt tal", och detta tal tas med i beräkningen genom att multiplicera φ med någon konstant beroende på α . $\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>\phi (q)$

För övre gränser kan man ta hänsyn till det faktum att inte alla de "bästa" diofantapproximationerna som erhålls när man konstruerar en fortsatt fraktion kan ge önskad noggrannhet. Därför tar satserna formen "För vilket element α som helst i någon delmängd av reella tal finns det oändligt många rationella tal p / q sådana att ". $\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<\phi (q)$

Dåligt approximerade siffror

Ett dåligt approximerat tal är ett tal x för vilket det finns en positiv konstant c så att vi för alla rationella p / q har

\left|{x-{\frac {p}{q}}}\right|>{\frac {c}{q^{2}}}\ .

Dåligt approximerade tal är exakt tal med avgränsade partiella kvoter [8] .

Nedre gränser för diofantiska approximationer

Approximation av rationella tal med andra rationella tal

Ett rationellt tal kan uppenbarligen approximeras perfekt med tal för vilket positivt heltal som helst i . $\alpha ={\frac {a}{b))$ ${\tfrac {p_{i}}{q_{i}}}={\tfrac {i\,a}{i\,b}}$

Om vi har ${\tfrac {p}{q}}\not =\alpha ={\tfrac {a}{b}}\,,$

\left|{\frac {a}{b}}-{\frac {p}{q}}\right|=\left|{\frac {aq-bp}{bq}}\right|\ geq {\frac {1}{bq)),

eftersom det är ett positivt heltal och därför inte är mindre än 1. Denna approximationsnoggrannhet är dålig med avseende på irrationella tal (se nästa avsnitt). $|aq-bp|$

Det kan ses att ovanstående bevis använder en variant av Dirichlet-principen - ett icke-negativt tal inte lika med 0, inte mindre än 1. Denna uppenbart triviala anmärkning används i nästan alla bevis för de nedre gränserna för diofantiska approximationer, t.o.m. mer komplexa.

För att summera det, är ett rationellt tal perfekt approximerat av sig självt, men dåligt approximerat av något annat rationellt tal.

Approximation av algebraiska tal, Liouvilles resultat

På 1840-talet fick Joseph Liouville den första nedre gränsen för att approximera algebraiska tal — om x är ett irrationellt algebraiskt tal av grad n över rationella tal, så finns det en konstant c ( x ) > 0 så att

{\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {c(x)}{q^{n))))

för alla heltal p och q , där q > 0 .

Detta resultat gjorde det möjligt för honom att erhålla det första beprövade exemplet på ett transcendentalt tal, Liouville-konstanten :

\sum _{j=1}^{\infty }10^{-j!}=0.1100010000000000000000001000\ldots \,

som inte uppfyller Liouvilles sats, oavsett vilken potens n som väljs.

Denna koppling mellan diofantiska approximationer och teorin om transcendentala tal observeras fram till idag. Många bevistekniker är gemensamma för dessa två områden.

Approximation av algebraiska tal, Thue-Siegel-Roth-satsen

I mer än ett sekel har det gjorts många försök att förbättra Liouvilles teorem - varje förbättring av gränsen gör att vi kan bevisa överskridandet av fler tal. Stora förbättringar gjordes av Axel Thue [9] , Karl Siegel [10] , Freeman Dyson [11] och Klaus Roth [12] , vilket så småningom ledde till Thue-Siegel-Roth-satsen - Om x är ett irrationellt algebraiskt tal och ε , (litet) positivt reellt tal, då finns det en positiv konstant c ( x , ε ) så att

{\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {c(x,\varepsilon )}{q^{2+\varepsilon ))))

för alla heltal p och q så att q > 0 .

På sätt och vis är detta resultat optimalt, eftersom påståendet om satsen misslyckas för ε =0. Detta är en direkt följd av de övre gränserna som beskrivs nedan.

Gemensamma approximationer av algebraiska data

Därefter generaliserade Wolfgang Schmidt detta till fallet med gemensamma approximationer, vilket bevisade att om x 1 , ..., x n är algebraiska tal så att 1, x 1 , ..., x n är linjärt oberoende av rationella tal , och varje positivt reellt tal ε ges , då finns det bara ändligt många rationella n -tuplar ( p 1 / q , ..., p n / q ) så att

|x_{i}-p_{i}/q|<q^{-(1+1/n+\varepsilon )},\quad i=1,\ldots ,n.

Återigen är detta resultat optimalt i den meningen att ε inte kan tas bort från exponenten.

Effektiva gränser

Alla tidigare nedre gränser är inte effektiva , i den meningen att beviset inte ger ett sätt att beräkna konstanten i påståendet. Detta innebär att det inte är möjligt att använda beviset för satsen för att få gränser för lösningarna av motsvarande diofantiska ekvation. Denna teknik kan dock ofta användas för att begränsa antalet lösningar till en sådan ekvation.

Emellertid ger Feldmans förfining av Bakers sats en effektiv gräns — om x är ett algebraiskt antal grad n över rationella tal, så finns det faktiskt beräkningsbara konstanter c ( x ) > 0 och 0 < d ( x ) < n sådana den där

{\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {c(x)}{|q|^{d(x)))))

gäller för alla rationella tal.

Men som för alla effektiva versioner av Bakers teorem är konstanterna d och 1/ c så stora att detta effektiva resultat inte kan tillämpas i praktiken.

Övre gräns för diofantiska approximationer

Allmän övre gräns

Det första viktiga resultatet om övre gränser för Diophantine approximationer är Dirichlets approximationssats , som antyder att det för varje irrationellt tal α finns oändligt många bråk , så att: ${\tfrac {p}{q))$

{\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2))))

Det följer omedelbart att det är omöjligt att bli av med ε i uttalandet av Thue-Siegel-Roth-satsen.

Några år senare förbättrades denna teorem till följande Borel-sats (1903) [13] . För varje irrationellt tal α finns det oändligt många bråk så att: ${\tfrac {p}{q}}\;$

\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}({\sqrt {5}}q^{2}}}

Därför är den övre gränsen för de diofantiska approximationerna för alla irrationella tal. Konstanten i detta resultat kan inte förbättras utan att eliminera några irrationella tal (se nedan). ${\displaystyle {\frac {1}{{\sqrt {5}}\,q^{2))))$

Ekvivalenta reella tal

Definition : Två reella tal kallas ekvivalenta [14] [15] om det finns heltal med , så att: $x,y$ $a,b,c,d\;$ $ad-bc=\pm 1\;$

y={\frac {ax+b}{cx+d}}\,.

Ekvivalens definieras av heltals Möbius-transformen över realtalen, eller av en medlem av den modulära gruppen , uppsättningen av inverterbara 2×2-matriser över heltalen. Varje rationellt tal är ekvivalent med 0. Sålunda är rationella tal ekvivalensklassen för denna relation. ${\text{SL}}_{2}^{\pm }(\mathbb {Z} )$

Denna ekvivalens kan täcka vanliga fortsatta bråk, som följande Serrets teorem visar :

Sats : Två irrationella tal x och y är ekvivalenta om och endast om det finns två positiva heltal h och k så att när x och y representeras som fortsatta bråk

x=[u_{0};u_{1},u_{2},\ldots ]\,,

y=[v_{0};v_{1},v_{2},\ldots ]\,,

genomförde

{\displaystyle u_{h+i}=v_{k+i))

för alla icke-negativa heltal i . [16]

Lagrangespektrum

Som nämnts ovan kan konstanten i Borels teorem inte förbättras, vilket Hurwitz visade 1891 [17] . Låt vara det gyllene snittet . Sedan för varje reell konstant finns det bara ändligt många rationella tal p / q så att $\phi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ $c>{\sqrt {5}}\;$

\left|\phi -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{c\,q^{2}}}.

Därför kan en förbättring endast erhållas genom att eliminera siffror som motsvarar . Mer exakt [18] [19] : För varje rationellt tal som inte är ekvivalent med , finns det oändligt många bråk så att $\phi$ $\alfa$ $\phi$ ${\tfrac {p}{q}}\;$

\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}({\sqrt {8}}q^{2}}}.

Genom att successivt eliminera ekvivalensklasser - var och en måste utesluta tal som är ekvivalenta - kan man höja den nedre gränsen. De värden som kan erhållas som ett resultat av denna process är Lagrange-tal , som är en del av Lagrange-spektrumet . De konvergerar till 3 och är relaterade till Markov-tal [20] [21] . ${\sqrt {2}}$

Khinchins teorem och dess förlängningar

Låta vara en icke-ökande funktion från positiva tal till positiva reella tal. Ett reellt tal x (inte nödvändigtvis algebraiskt) kallas - approximativt om det finns oändligt många rationella tal p / q så att [22] $\psi$ $\psi$

\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {\psi (q)}{|q|}}.

Khinchin 1926 bevisade att om sekvensen divergerar så är nästan alla reella tal (i betydelsen av Lebesgue-måttet ) -approximable, och i fallet med konvergens av sekvensen är nästan alla reella tal inte -approximable. $\sum _{q}\psi (q)$ $\psi$ $\psi$

Duffin och Shaffer [23] bevisade en mer allmän sats från vilken Khinchins resultat följer och gjorde en gissning nu känd som Duffin-Schaffer-förmodan [24] . Beresnevich och Velani [25] bevisade att analogen till Duffin-Schaffer-förmodan på Hausdorff-måttet är likvärdig med den ursprungliga Duffin-Schaffer-förmodan, som är a priori svagare.

Hausdorff dimension av exceptionella uppsättningar

Ett viktigt exempel på en funktion som Khinchins sats kan appliceras på är en funktion , där c > 1. För denna funktion konvergerar motsvarande serie, så att, enligt Khinchins sats, mängden -approximable tal har noll Lebesgue-mått på verklig axel. Jarnik - Besicovitch - satsen säger att Hausdorff-dimensionen av denna uppsättning är [26] . Speciellt har uppsättningen siffror -approximable för vissa (känd som mycket väl approximerbara siffror ) dimension ett, medan uppsättningen siffror -approximable för alla (känd som Liouville-tal ) har Hausdorff dimension noll. $\psi$ ${\displaystyle \psi _{c}(q)=q^{-c))$ $\psi _{c}$ $1/c$ $\psi _{c}$ $c>1$ $\psi _{c}$ $c>1$

Ett annat viktigt exempel är funktionen där . För denna funktion avviker motsvarande sekvenser, och enligt Khinchins teorem är nästan alla tal -approximable. Med andra ord, dessa siffror är väl approximerade (det vill säga de är inte illa approximerade). Således måste en analog till Yarnick-Besicovitch-satsen röra Hausdorff-dimensionen av dåligt approximerade tal. Och Yarnik bevisade verkligen att Hausdorff-dimensionen för uppsättningen av sådana tal är lika med ett. Detta resultat förbättrades av Schmidt , som visade att uppsättningen av dåligt approximerbara tal är inkompressibel i den meningen att om är en sekvens av bi- Lipschitz -mappningar, då Hausdorff-dimensionen av uppsättningen av tal x , för vilka alla är dåligt approximerbar, är lika med ett. Schmidt generaliserade Jarnicks teorem till högre dimensioner, vilket är en betydande prestation, eftersom Jarnicks fortsatta bråkresonemang förlitar sig mycket på rymdens endimensionalitet. ${\displaystyle \psi _{\epsilon }(q)=\epsilon q^{-1))$ $\epsilon > 0$ ${\displaystyle \psi _{\epsilon ))$ $f_{1},f_{2},\ldots$ $f_{1}(x),f_{2}(x),\ldots$

Enhetlig fördelning

Ett annat område som studeras är teorin om en ekvifördelad sekvens modulo 1 . Låt oss ta en sekvens a 1 , a 2 , … av reella tal och betrakta deras bråkdelar . Det vill säga, mer formellt, betrakta en sekvens i R/Z som är cyklisk (kan ses som en cirkel). För varje intervall I på en cirkel betraktar vi bråkdelen av element upp till något heltal N som ligger inuti intervallet och jämför detta värde med bråkdelen av cirkeln som upptas av intervallet I . Enhetlig fördelning innebär att i gränsen, när N växer , tenderar andelen träffar i intervallet till det "förväntade" värdet. Weyl bevisade det grundläggande resultatet att detta är ekvivalent med gränsen för Weyl-summorna som bildas från sekvensen. Detta visar att Diophantine approximationer är nära besläktade med det allmänna problemet med ömsesidig annullering i Weyl-summor (återstående uppskattningar) som förekommer i analytisk talteori .

Ett ämne relaterat till enhetlig fördelning är ämnet ojämna fördelningar , som har en kombinatorisk karaktär.

Olösta problem

Det finns fortfarande enkelt formulerade men olösta problem med Diophantine approximationer, som Littlewood-förmodan och ensamlöpare . Det är inte heller känt om det finns algebraiska tal med obegränsade koefficienter i fortsatt bråkexpansion.

Ny forskning

Vid plenarmötet för International Congress of Mathematicians i Kyoto (1990) skisserade Grigory A. Margulis ett brett program baserat på ergodisk teori , som gör det möjligt att bevisa talteoretiska resultat med hjälp av de dynamiska och ergodiska egenskaperna hos undergruppshandlingar av semisenkla lögner. grupper . Verket av D. Ya. Kleinbock och G. A. Margulis (med medförfattare) visar kraften i denna nya inställning till klassiska problem med diofantiska approximationer. Anmärkningsvärda prestationer inkluderar beviset av Margulis av Oppenheim-förmodan som lades fram för decennier sedan med ytterligare förlängningar (Dani och Margulis, Eskin-Margulis-Moses), och beviset av Kleinbock och Margulis av bagaren och Sprindzhuks gissningar om diofantiska approximationer på grenrör. Olika generaliseringar av ovanstående Khinchin- resultat på metriska diofantapproximationer har erhållits med denna metod.

Se även

Davenport-Schmidts sats
Duffin-Shaffer-hypotes
Enhetligt fördelad sekvens

Anteckningar

↑ Sprindzhuk, 1977 , sid. 4-5 Förord.
↑ 1 2 Khinchin, 1978 , sid. 32.
↑ Cassels, 1961 , sid. tio.
↑ 1 2 Leng, 1970 , sid. 19.
↑ 1 2 Khinchin, 1978 , sid. 35.
↑ Cassels, 1961 , sid. 10–17.
↑ Khinchin, 1978 , sid. 21-22.
↑ Bugeaud, 2012 , sid. 245.
↑ Tors, 1909 .
↑ Siegel, 1921 .
↑ Dyson, 1947 .
↑ Roth, 1955 .
↑ Perron, 1913 , sid. Kapitel 2, sats 15.
↑ Hurwitz, 1891 , sid. 284.
↑ Hardy och Wright 1979 , sid. Kapitel 10.11.
↑ Se Perrons artikel ( Perron 1929 , kapitel 2, sats 23, s. 63)
↑ Hardy och Wright 1979 , sid. 164.
↑ Cassels, 1961 , sid. 21.
↑ Hurwitz, 1891 .
↑ Cassels, 1961 , sid. 29.
↑ Se Michel Waldschmidt: Introduktion till diofantiska metoder irrationalitet och transcendens Arkiverad 9 februari 2012 på Wayback Machine , s 24-26.
↑ Sprindzhuk, 1977 , sid. Kapitel 9
↑ Duffin, Schaeffer, 1941 .
↑ Sprindzhuk, 1977 , sid. 23.
↑ Beresnevich, Velani, 2006 .
↑ Bernik, Beresnevich, Götze, Kukso, 2013 , sid. 24.

Litteratur

Victor Beresnevich, Sanju Velani. En massöverföringsprincip och Duffin-Schaeffer-förmodan för Hausdorff-mått // Annals of Mathematics . - 2006. - T. 164 . — S. 971–992 . - doi : 10.4007/annals.2006.164.971 .
V. Bernik, V. Beresnevich, F. Götze, O. Kukso. Distribution of algebraic numbers and metric theory of Diophantine approximation // Limit Theorems in Probability, Statistics and Number Theory: In Honor of Friedrich Götze / Peter Eichelsbacher, Guido Elsner, Holger Kösters, Matthias Löwe, Franz Merkl, Silke Rolles. - Heidelberg: Springer, 2013. - T. 42. - S. 23-48. - (Springer Proceedings in Mathematics & Statistics). - doi : 10.1007/978-3-642-36068-8_2 .
Yann Bugeaud. Distribution modulo ett och Diophantine approximation. - Cambridge: Cambridge University Press , 2012. - V. 193. - ISBN 978-0-521-11169-0 .
J. W. S. Cassels . Introduktion till teorin om diofantiska approximationer. - M . : Förlag för utländsk litteratur, 1961.
RJ Duffin, AC Schaeffer. Khintchines problem i metrisk diofantinapproximation // Duke Mathematical Journal . - 1941. - T. 8 . — S. 243–255 . — ISSN 0012-7094 . - doi : 10.1215/s0012-7094-41-00818-9 .
Freeman Dyson . Approximationen till algebraiska tal genom rationaler // Acta Mathematica . - 1947. - T. 79 . — S. 225–240 . — ISSN 0001-5962 . - doi : 10.1007/BF02404697 .
GH Hardy , EM Wright. En introduktion till talteorin . — 5:a. - Oxford University Press, 1979. - ISBN 978-0-19-853170-8 .
A. Hurwitz . Ueber die angenäherte Darstellung der Irrationalzahlen durch rationale Brüche (tyska) // Mathematische Annalen. - 1891. - Bd. 39 , H.2 . — S. 279–284 . - doi : 10.1007/BF01206656 .
A. Ya. Khinchin. Kedjeskott. - 4. - M . : "Nauka", GIFML, 1978.
DY Kleinbock, G.A. Margulis . Flöden på homogena utrymmen och Diophantine approximation på grenrör , Ann. Math.. - 1998. - Vol. 148 , nr. 1 . — S. 339–360 . - doi : 10.2307/120997 . — .
S. Leng. Introduktion till teorin om diofantiska approximationer. - M . : "Mir", 1970. - (Bibliotek i samlingen "Mathematics"). — ISBN 0-387-94456-7 .
G. A. Margulis . Ett panorama av talteori eller utsikten från Bakers trädgård. - Cambridge: Cambridge University Press , 2002. - s. 280-310. — ISBN 0-521-80799-9 .
Oscar Perron. Die Lehre von den Kettenbrüchen (tyska) . — Leipzig: BG Teubner, 1913.
Oscar Perron. Die Lehre von den Kettenbrüchen (tyska) . — 2:a. — Chelsea, 1929.
Klaus Friedrich Roth . Rationella approximationer till algebraiska tal // Mathematika . - 1955. - T. 2 . — S. 1–20, 168 . — ISSN 0025-5793 . - doi : 10.1112/S0025579300000644 .
Wolfgang M. Schmidt. Diofantisk approximation. — =1996. - Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag , 1980. - T. 785. - (Lecture Notes in Mathematics). — ISBN 3-540-09762-7 .
Wolfgang M. Schmidt. Diofantiska approximationer och diofantiska ekvationer. — = 2:a. - Springer-Verlag , 1996. - T. 1467. - (Lecture Notes in Mathematics). — ISBN 3-540-54058-X .
Carl Ludwig Siegel . Approximation algebraischer Zahlen // Mathematische Zeitschrift . - 1921. - T. 10 , nr. =3 . — S. 173–213 . — ISSN 0025-5874 . - doi : 10.1007/BF01211608 .
V. G. Sprindzhuk. Metrisk teori om diofantiska approximationer. - M . : GRFML "Nauka", 1977.
A. Thue . Über Annäherungswerte algebraischer Zahlen // Journal für die reine und angewandte Mathematik . - 1909. - T. 135 . — S. 284–305 . — ISSN 0075-4102 . - doi : 10.1515/crll.1909.135.284 .

Länkar

Diophantine Approximation: historisk undersökning Arkiverad 14 februari 2012 på Wayback Machine . From Introduction to Diophantine methods- kurs av Michel Waldschmidt.
Hazewinkel, Michiel, red. (2001), p/d032600 , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4