Relativistisk jämnt accelererad rörelse

Relativistisk likformigt accelererad rörelse (eller relativistisk likformigt accelererad rörelse ) är rörelsen av ett objekt där dess egen acceleration är konstant. Egen acceleration är accelerationen av ett objekt i den medföljande (egen) referensramen , det vill säga i en tröghetsreferensram, där objektets aktuella momentana hastighet är noll (i detta fall ändras referensramen från punkt till punkt). Ett exempel på en relativistisk likformigt accelererad rörelse kan vara rörelsen av en kropp med konstant massa under inverkan av en konstant (i den kommande referensramen) kraft . Accelerometer placerad på en likformigt accelererande kropp kommer inte att ändra sina avläsningar.

Till skillnad från klassisk mekanik kan en fysisk kropp inte alltid röra sig med konstant (i en fast tröghetsreferensram ) acceleration , eftersom dess hastighet i detta fall förr eller senare kommer att överstiga ljusets hastighet . Den egna accelerationen kan dock vara konstant under en godtyckligt lång tid; i detta fall kommer hastigheten för ett objekt i en fast tröghetsreferensram asymptotiskt närma sig ljusets hastighet, men kommer aldrig att överskrida den.

Inom den relativistiska mekaniken ändrar en konstant kraft som verkar på ett föremål kontinuerligt dess hastighet, och lämnar den ändå mindre än ljusets hastighet. Det enklaste exemplet på en relativistiskt likformigt accelererad rörelse är den endimensionella rörelsen av en laddad partikel i ett likformigt elektriskt fält riktat längs hastigheten [1] .

För en observatör som rör sig med konstant acceleration i Minkowski-rymden finns det två händelsehorisonter , de så kallade Rindler-horisonterna (se Rindler-koordinater ).

Hastighet kontra tid

När en kraft [2] verkar på ett föremål med konstant massa ändras dess rörelsemängd enligt följande [3] : $\textstyle \mathbf {f}$ $\textstyle m$

\mathbf {f} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}={\frac {d}{dt}}{\frac {m\mathbf {u} }{\sqrt { 1-\mathbf {u} ^{2}/c^{2}}}}.

Om kraften är konstant, är denna ekvation lätt integrerad:

{\frac {\mathbf {u} }{\sqrt {1-\mathbf {u} ^{2}/c^{2))))=\mathbf {w} _{0}+\mathbf {a} \,t,

där är en konstant vektor i kraftens riktning, och är en integrationskonstant uttryckt i termer av objektets initiala hastighet vid tidpunkten : $\textstyle \mathbf {a} =\mathbf {f} /m$ $\textstyle \mathbf {w} _{0}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbf {u} _{0))$ $\textstil t=0$

\mathbf {w} _{0}={\frac {\mathbf {u} _{0}}{\sqrt {1-\mathbf {u} _{0}^{2}/c^{ 2}}}}.

Det explicita uttrycket för hastigheten i termer av tid har formen:

\mathbf {u} (t)={\frac {\mathbf {w} _{0}+\mathbf {a} \,t}{\sqrt {1+(\mathbf {w} _{0 }+\mathbf {a} \,t)^{2}/c^{2}}}}.

Hastigheten hos en partikel under påverkan av en konstant kraft tenderar till ljusets hastighet , men överskrider den aldrig. I den icke-relativistiska gränsen för låga hastigheter tar hastighetens beroende av tiden formen

\mathbf {u} \approx \mathbf {u} _{0}+\mathbf {a} \,t

motsvarande den klassiska likformigt accelererade rörelsen .

Rörelsebana

Banan för likformigt accelererad rörelse i det allmänna fallet beror på orienteringen av de konstanta vektorerna och efter att ha integrerat ekvationen erhålls följande uttryck: $\textstyle \mathbf {a}$ $\textstyle \mathbf {w} _{0}.$ $\textstyle \mathbf {u} (t)=d\mathbf {r} /dt$

\mathbf {r} (t)=\mathbf {r} _{0}+{\frac {\displaystyle \mathbf {a} \,c}{\displaystyle a^{2))}\,\ vänster({\sqrt {c^{2}+(\mathbf {w} _{0}+\mathbf {a} \,t)^{2}}}-{\sqrt {c^{2}+\ mathbf {w} _{0}^{2))}\right)+{\frac {[\mathbf {a} \times [\mathbf {w} _{0}\times \mathbf {a} ]]} {a^{2}}}\cdot \tau _{0},

var är radievektorn för kroppens position vid tidpunkten och är objektets rätta tid [4] : ${\displaystyle \textstyle \mathbf {r} _{0))$ $\textstyle t=0,$ $\textstyle \tau _{0}$

\tau _{0}={\frac {c}{a}}\cdot \ln {\frac {\displaystyle {\sqrt {c^{2}+(\mathbf {w} _{0} +\mathbf {a} t)^{2}}}+at+(\mathbf {w} _{0}\mathbf {a} )/a}{\displaystyle {\sqrt {c^{2}+\mathbf {w} _{0}^{2}}}+(\mathbf {w} _{0}\mathbf {a} )/a}}.

Om korrekt acceleration och initial hastighet är parallella med varandra, är vektorprodukten lika med noll, och uttrycket för banan är märkbart förenklat. $\textstyle \mathbf {a}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbf {u} _{0))$ $\textstyle [\mathbf {a} \times [\mathbf {w} _{0}\times \mathbf {a} ]]$

I det här fallet, om objektet rör sig längs x - axeln , är dess världslinje på planet ( x, t ) en hyperbel . Därför kallas endimensionell likformigt accelererad relativistisk rörelse ibland hyperbolisk. $x(t)=\mathrm {const} +{\sqrt {c^{2}t^{2}+c^{4}/a^{2))}.$

Korrekt tid är lika med den tid som förflutit på klockan som är associerad med objektet, från det initiala ögonblicket till tidpunkten i en fast referensram, i förhållande till vilken rörelsen observeras. Som ett resultat av tidsutvidgning alltid $\textstyle \tau _{0}$ $\textstil t=0$ $\textstil t$ $\textstyle \tau _{0}<t.$

I den icke-relativistiska gränsen (små hastigheter) erhålls ekvationen för klassisk likformigt accelererad rörelse : $\textstyle c\to \infty$

\mathbf {r} (t)\approx \mathbf {r} _{0}+\mathbf {u} _{0}\,t+{\frac {\mathbf {a} \,t^{2 }}{2}}.

Egen acceleration

Den konstanta vektorn har betydelsen av vanlig acceleration i den momentana referensramen som är associerad med den accelererande kroppen. Om kroppen ändrar hastighet relativt sin tidigare position någonstans i en fast referensram kommer en sådan rörelse att accelereras relativt likformigt. Av denna anledning kallas parametern för inre acceleration . Genom att acceptera en sådan definition av rörelse kan man erhålla hastighetens beroende av tid utan att hänvisa till dynamiken, och endast hålla sig inom ramen för relativitetsteorins kinematik [5] . $\textstyle \mathbf {a}$ $\textstyle a\,dt',$ $\textstyle a={\textrm {const)),$ $\textstil a$

Den inneboende accelerationsmodulen a i det endimensionella fallet är relaterad till 3-accelerationsmodulen a′ = d u /d t , observerad i en fast tröghetsram Λ med koordinattiden t , enligt följande:

a=a^{\prime }\gamma ^{3}={\frac {1}{\left(1-u^{2}/c^{2}\right)^{3/2} }}{\frac {{\textrm {d}}u}{{\textrm {d}}t)),

där γ är Lorentz-faktorn för objektet, u är dess hastighet i Λ . Om de initiala värdena för koordinaten och hastigheten tas lika med noll, kan vi, genom att integrera ovanstående ekvation, erhålla beroendet av hastigheten och objektets position i systemet Λ på koordinattiden:

u(t)={\frac {at}{\sqrt {1+\left({\frac {at}{c}}\right)^{2}}}}=c\operatörsnamn {th} \left(\operatörsnamn {Arsh} {\frac {at}{c}}\right);

x(t)={\frac {c^{2}}{a}}\left({\sqrt {1+\left({\frac {at}{c}}\right)^{2 ))}-1\right)={\frac {c^{2}}{a}}\left(\operatörsnamn {ch} \left(\operatörsnamn {Arsh} {\frac {at}{c}}\ höger)-1\höger).

Beroendet av samma kvantiteter av objektets rätta tid:

u(\tau )=c\operatörsnamn {th} {\frac {a\tau}{c));

x(\tau )={\frac {c^{2}}{a}}\left(\operatörsnamn {ch} {\frac {a\tau}{c}}-1\right).

Beroende av rätt tid på koordinattid:

\tau (t)={\frac {c}{a}}\ln \left({\sqrt {1+\left({\frac {at}{c}}\right)^{2} ))+{\frac {at}{c}}\right)={\frac {c}{a}}\operatörsnamn {Arsh} {\frac {at}{c}}.

Beroende av koordinattid på rätt tid:

t(\tau )={\frac {c}{a}}\operatörsnamn {sh} {\frac {a\tau }{c}}.

Strålning av en likformigt accelererad laddning

En laddning e , som rör sig med konstant egen acceleration a , utstrålar elektromagnetiska vågor med kraft (i det Gaussiska systemet ). I detta fall finns det ingen strålningsfriktion [6] . $P={\frac {2e^{2}a^{2}}{3c^{3}}}$

Se även

Anteckningar

↑ Rörelsen av en laddad partikel i en vinkel som inte är lika med 0 eller 180° mot ett enhetligt elektriskt fält accelereras inte likformigt, eftersom det elektromagnetiska fältet i allmänhet förändras under Lorentz-transformationen , vilket leder till en förändring i kraften verkar på kroppen i den kommande referensramen. Det enda undantaget är den Lorentziska transformationen längs ett homogent elektriskt fält; i detta fall ändras inte fältet.
↑ I den här artikeln är 3-vektorer betecknade i direkt fet stil, och deras längder (i någon tröghetsreferensram) är i normal kursiv stil.
↑ Landau L. D. , Lifshitz E. M. Fältteori. - 7:e upplagan, reviderad. — M .: Nauka , 1988. — 512 sid. - (" Teoretisk fysik ", volym II). — ISBN 5-02-014420-7 .
↑ Logunov A. A. föreläser om relativitetsteorin och gravitationen: Modern analys av problemet. - M .: "Nauka", 1987.
↑ Accelerated Motion Arkiverad 9 augusti 2010 på Wayback Machine in Relativity
↑ Ginzburg V. L. Om strålning och strålningsfriktionskraften med en likformigt accelererad rörelse av en laddning // Uspekhi fizicheskikh nauk . - Ryska vetenskapsakademin , 1969. - T. 98 . - S. 569-585 . (ryska)