Gauss-Manin-förbindelsen

Med en bunt vars fibrer är släta varianter (eller släta algebraiska varianter ) kan man associera något knippe med en platt anslutning , kallad Gauss-Manin-kopplingen .

Definition

Låt vara en bunt vars fibrer är släta grenrör. Tänk på en vektorbunt med fibrer . Med andra ord, istället för varje blad hänger vi dess -th de Rham cohomology . Enligt Ehresmanns sats $Y\to X$ ${\displaystyle Y_{x))$ $E\to X$ $E_{x}=H_{\mathrm {dR} }^{k}(Y_{x})$ $k$ släta buntar är lokalt triviala, så att man i ett tillräckligt litet basområde kan identifiera fibrerna med varandra och deklarera som släta sektioner de sektioner som motsvarar jämna variationer av kohomologiklassen under trivialisering. Strängt taget har vi inte definierat en bunt, utan bara en kärve , men detta kommer verkligen att vara en bunt av delar av bunten. $E$

För enkelhetens skull, låt oss för ett ögonblick anta att lagren är kompakta. De Rham-kohomologin för ett kompakt grenrör är isomorf till singularkohomologin , så varje lager har ett heltalskohomologigitter som smidigt beror på punkten . Gauss-Manin-förbindelsen definieras som den anslutning till vilken de lokala sektionerna, som vid varje punkt tar värden i detta heltalsgitter, är platta. $H^{k}(Y_{x},\mathbb {Z} )\otimes \mathbb {R}$ ${\displaystyle E_{x))$ $x$

Beskrivningen av Gauss-Manin-förbindelsen i termer av plansektioner ger ett bekvämt sätt att visualisera den, men för dess existens är närvaron av en heltalsstruktur på kohomologin absolut inte nödvändig. Det medger följande beskrivning. Vi väljer Ehresmann-anslutningen i paketet $Y\to X$ $H\subset TY$ . Om - något slags avsnitt, kan det realiseras av en uppsättning slutna former . Den valda Ehresmann-kopplingen tillåter oss att utöka den till en enda form , och omdefiniera den i riktningar tvärs över lagren genom ett villkor för alla . Observera att detta formulär inte behöver stängas. Vi definierar Gauss-Manin-kopplingen enligt följande: . Här finns ett godtyckligt vektorfält på basen, och är dess lyftning med hjälp av Ehresmannkopplingen, det vill säga sektionen , som när den projiceras på basen blir . Att kontrollera att detta är en väldefinierad anslutning (det vill säga att en sådan Lie-derivata kommer att stängas i lagerbegränsningen, och denna operation uppfyller Leibniz-identiteten) är inte svårt; det är lite svårare att visa att det inte beror på valet av Ehresmann-förbindelsen. $s\in \Gamma (E)$ $\sigma _{x}\in \Omega ^{k}(Y_{x})$ $\sigma \in \Omega ^{k}(Y)$ $\iota _{h}\sigma =0$ $h\in H$ $\nabla$ $(\nabla _{v}s)_{x}=\left[\left(\mathrm {Lie} _{\widetilde {v}}\sigma \right)|_{Y_{x}}\ höger]\in H_{\mathrm {dR} }^{k}(Y_{x})$ $v$ ${\widetilde {v))$ $H$ $v$

Denna definition av Gauss-Manin-kopplingen är elegant formulerad i termer av differentiellt graderade algebror. Detta tillåter oss att överföra definitionen av Gauss-Manin-kopplingen till icke-kommutativ geometri : Getzler[1] , och Kaledin [2] konstruerade Gauss-Manin-kopplingen på periodisk cyklisk homologi.

Applikation

Gauss-Manin-kopplingen i den första kohomologin av en familj av elliptiska kurvor med ekvationer över en punkterad Riemann-sfär parametriserad av en komplex parameter definierar en differentialekvation känd som Picard-Fuchs-ekvationen $x^{3}+y^{3}+z^{3}=\lambda xyz$ $\lambda$ . Gauss övervägde en liknande ekvation för en familj av kurvor ; en allmän beskrivning av sådana ekvationer i fallet när basen är en algebraisk kurva gavs av Manin [3] , och i det allmänna fallet av Grothendieck [4] . Han äger namnet "Gauss-Manin-förbindelse", samt en abstrakt algebraisk-geometrisk beskrivning av denna koppling som en av pilarna i Leray-spektralsekvensen $y^{2}=x(x-1)(x-\lambda )$ för en lämplig balk.

Gauss-Manin-kopplingen används också i symplektisk geometri . Låt oss nämligen vara ett knippe vars fibrer är Lagrangian tori. Tangentutrymmet till basen av ett sådant knippe kan identifieras med något delutrymme i utrymmet för sektioner av det normala knippet till fibern som hänger ovanför denna punkt. Men för en lagrangisk submanifold är den normala bunten isomorf till cotangensbunten, så dessa sektioner definierar differentiella 1-former på fibern. Det visar sig att dessa former är stängda, och deras kohomologiklasser är alla möjliga första kohomologiklasser av fibern. Således är tangentknippet till basen av en lagrangisk bunt isomorf till bunten av första kohomologifibrer, och har därför en kanonisk platt anslutning, Gauss-Manin-förbindelsen. Inom mekaniken har detta uttalande en följd som kallas Liouville-Arnolds sats : för ett Hamiltonskt system som har lika många oberoende integraler i involution som frihetsgrader, kan rörelseekvationerna lösas i kvadraturer. En holomorf version av Liouville-Arnold-satsen definierar en platt monodromiförbindelse utanför någon divisor på , basen av ett holomorft lagrangiskt knippe på ett hyperkähler-grenrör $Y\to X$ ${\displaystyle \mathrm {SL} (2n,\mathbb {Z} )\ltimes \mathbb {R} ^{2n))$ $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}$ . Det mest illustrativa fallet, när det totala utrymmet är en K3-yta , skikten är elliptiska kurvor, och basen är en Riemann-sfär med 24 punkteringar, studerades av Kontsevich och Soibelman[5] .

Anteckningar

↑ Arkiverad kopia (länk ej tillgänglig) . Hämtad 20 oktober 2018. Arkiverad från originalet 26 mars 2015. (obestämd)
↑ [https://web.archive.org/web/20181021024529/https://arxiv.org/abs/math/0702068v2 Arkiverad 21 oktober 2018 på Wayback Machine [math/0702068v2] Cyklisk homologi med koefficienter]
↑ Algebraiska kurvor över fält med differentiering
^ Om de Rham-kohomologin av algebraiska varianter . Hämtad 20 oktober 2018. Arkiverad från originalet 16 december 2018. (obestämd)
↑ [https://web.archive.org/web/20200528162044/https://arxiv.org/abs/math/0406564 Arkiverad 28 maj 2020 på Wayback Machine [math/0406564] Affina strukturer och icke-arkimedisk analys mellanslag]