En potensserie med en variabel är ett formellt algebraiskt uttryck av formen:
där koefficienterna tas från en viss ring .
Utrymmet av effektserier med en variabel och koefficienter från betecknas med . Utrymmet har strukturen av en differentiell algebra över en ring ( kommutativ , integral, med enhet om så är ringen ). Det används ofta i matematik på grund av att formella differential-algebraiska och till och med funktionella relationer är lätta att representera och lösa i det (se metoden för att generera funktioner ). När du använder det förvandlas dessa relationer till algebraiska ekvationer för seriens koefficienter. Om de är lösta talar man om att få en formell lösning på det ursprungliga problemet i form av en formell potensserie.
Operationerna addition, multiplikation, formell differentiering och formell överlagring definieras . Låta
Sedan:
(I det här fallet är det nödvändigt att observeras )Från en formell potensserie med reella eller komplexa koefficienter, genom att tilldela ett värde till en formell variabel inom området reella eller komplexa tal, kan du få en talserie . En nummerserie anses vara konvergent ( summable ) om en sekvens av delsummor som består av dess medlemmar konvergerar, och kallas absolut konvergent om en sekvens av delsummor sammansatt av dess termer tagna modulo (i norm) konvergerar.
För potensserier finns det flera satser som beskriver villkoren och naturen för deras konvergens.
Invertera detta teorem, får vi att om en maktserie divergerar för , den divergerar för alla sådana att . Det följer också av Abels första teorem att det finns en sådan radie av cirkeln (möjligen noll eller oändlig) att för , serien konvergerar absolut (och likformigt in på kompakta delmängder av cirkeln ), och för , den divergerar. Detta värde kallas radien för radens konvergens, och cirkeln är runt cirkulationen runt.
(För definitionen av den övre gränsen, se artikeln " Partial Sequence Limit ".)
Låt och - två stäpprader med konvergensradie och . Sedan
Om numret har en gratis medlem noll, då
Frågan om seriens konvergens vid punkterna för gränsen för konvergenscirkeln är ganska komplicerad och det finns inget generellt svar här. Här är några av satserna för konvergensen av en rad vid gränspunkterna för konvergenskretsen:
Summan av en potensserie som funktion av en komplex parameter är ett ämne för studier i teorin om analytiska funktioner .
En potensserie i n variabler är ett formellt algebraiskt uttryck av formen:
eller, i multi-index notation,
där är en vektor , är ett multiindex , är en monomial . Utrymmet av potensserier i variabler och koefficienter från betecknas med . Den definierar operationerna addition, multiplikation, differentiering med avseende på varje variabel och -lokal superposition. Låta
Sedan: