Karaktärstabell

Teckentabellen är en tvådimensionell tabell, vars rader motsvarar de irreducerbara representationerna av gruppen och vars kolumner motsvarar konjugationsklasserna för elementen i gruppen. Elementen i en matris är sammansatta av tecken , spår av matriser som representerar en grupp av element i en kolumnklass i en raddefinierad grupprepresentation.

Inom kemi , kristallografi och spektroskopi används punktgruppkaraktärstabeller för att till exempel klassificera molekylers vibrationer enligt deras symmetri och för att förutsäga om en övergång från ett tillstånd till ett annat skulle vara förbjudet av symmetriskäl.

Definition och exempel

De irreducerbara komplexa tecknen i en finit grupp bildar en teckentabell , som kodar mycket användbar information om gruppen G i kompakt form. Varje rad är märkt med ett irreducerbart tecken , och elementen i raden är värdena för tecknet på representationerna av motsvarande konjugationsklasser i gruppen G (eftersom tecken är funktioner av klasser ). Kolumnerna är märkta med (representanter för) konjugationsklasser i gruppen G . Vanligtvis är den första raden märkt med ett trivialt tecken, och den första kolumnen är märkt med (konjugationsklassen) för det neutrala elementet . Elementen i den första kolumnen är värdena för de irreducerbara tecknen på det neutrala elementet, graderna för de irreducerbara tecknen. Tecken av grad 1 kallas linjära tecken .

Nedan visas teckentabellen C 3 = <u> för en cyklisk grupp med tre element och en generator u :

	(ett)	(u)	(u 2 )
ett	ett	ett	ett
${\displaystyle \chi _{1))$	ett	$\omega$	$\omega ^{2}$
${\displaystyle \chi _{2))$	ett	$\omega ^{2}$	$\omega$

var är enhetens primitiva kubrot. Teckentabellen för allmänna cykliska grupper är (upp till en skalär) en DFT-matris . $\omega$

Ett annat exempel är gruppteckentabellen : $S_{3}$

	(ett)	(12)	(123)
${\displaystyle \chi _{triv))$	ett	ett	ett
${\displaystyle \chi _{sgn))$	ett	$-$ ett	ett
${\displaystyle \chi _{stativ))$	2	0	$-$ ett

där (12) representerar konjugationsklassen bestående av (12),(13),(23) och (123) representerar konjugationsklassen bestående av (123),(132). Du kan läsa om teckentabeller för symmetriska grupper i artikeln Teori om linjära representationer av symmetriska grupper .

Den första raden i teckentabellen består alltid av ettor och motsvarar den triviala representationen (en endimensionell representation bestående av 1×1-matriser som innehåller 1 som enda element). Dessutom är teckentabellen alltid kvadratisk, eftersom (1) irreducerbara tecken är parvis ortogonala och (2) ingen annan icke-trivial klass av funktioner är ortogonal mot alla tecken. Detta är relaterat till det viktiga faktum att irreducibla representationer av en finit grupp G har en bijektion med dess konjugationsklasser. Denna bijektion följer också av det faktum att klasssummorna utgör en grund för mitten av gruppalgebra i gruppen G , som har en dimension lika med antalet irreducerbara representationer av gruppen G .

Ortogonalitetsrelationer

Utrymmet av komplext värderade funktioner av klasser i en ändlig grupp G har en naturlig skalär produkt:

\left\langle \alpha ,\beta \right\rangle :={\frac {1}{\left|G\right|}}\summa _{g\in G}\alpha (g){\ överlinje {\beta (g)}}

där anger det komplexa konjugatet av ett värde på g . Med tanke på denna inre produkt bildar de irreducerbara tecknen en ortonormal bas för utrymmet för klassfunktioner och ger en ortogonalitetsrelation för tabellens teckenrader: ${\overline {\beta (g)))$ $\beta$

\left\langle \chi _{i},\chi _{j}\right\rangle ={\begin{cases}0&i\neq j,\\1&i=j.\end{cases))

För ortogonalitetsrelationen för kolumnerna är följande: $g,h\in G$

\sum _{\chi _{i}}\chi _{i}(g){\overline {\chi _{i}(h)))={\begin{cases}\left|C_{ G}(g)\right|,&g={\overline {h}}\\0&g\neq {\overline {h}}\end{cases}}

där summeringen är över alla irreducerbara tecken i grupp G och symbolen betyder centraliserarens ordning . $\chi _{i}$ $\left|C_{G}(g)\right|$ $g$

Ett okänt tecken är irreducerbart om och endast om . $\chi _{i}$ $\left\langle \chi _{i},\chi _{i}\right\rangle =1$

Ortogonalitetsrelationer kan användas:

För expansion av en okänd karaktär som en linjär kombination av irreducerbara tecken.
Att bygga en komplett tabell med tecken om bara några av de irreducerbara tecknen är kända.
För att hitta beställningarna av centraliserare av representanter för konjugationsklasser i en grupp.
För att hitta ordningen på en grupp.

Mer specifikt, överväga en vanlig representation som är en permutation på en finit grupp G. Tecknen i denna representation är också för g inte lika med en. Sedan för en oreducerbar representation , $\chi (e)=\left|G\right|$ $\chi (g)=0$ $V_i$

\left\langle \chi _{\text{reg)),\chi _{i}\right\rangle ={\frac {1}{\left|G\right|}}\summa _{g \in G}\chi _{i}(g){\overline {\chi _{\text{reg}}(g)))={\frac {1}{\left|G\right|}}\ chi _{i}(1){\overline {\chi _{\text{reg}}(1)}}=\operatörsnamn {dim} V_{i}

Om vi expanderar regelbundna representationer som summan av irreducibla representationer av gruppen G, får vi . Härifrån avslutar vi $V_{\text{reg}}=\oplus V_{i}^{\operatörsnamn {dim} V_{i}}$

\left|G\right|=\operatörsnamn {dim} V_{\text{reg}}=\summa (\operatörsnamn {dim} V_{i})^{2}

över alla irreducerbara representationer . Summan kan hjälpa till att minska dimensionen av irreducerbara representationer i teckentabellen. Till exempel, om en grupp har ordning 10 och 4 konjugationsklasser (till exempel en dihedrisk grupp av ordning 10), är det enda sättet att uttrycka gruppens ordning som summan av fyra kvadrater , så vi vet dimensionerna på alla irreducerbara representationer. $V_i$ $10=1^{2}+1^{2}+2^{2}+2^{2}$

Egenskaper

Komplex böjning verkar på teckentabellen - eftersom den komplexa böjningen av en representation återigen är en representation, gäller detsamma för tecken, och sedan har tecken som tar på sig icke-triviala komplexa värden konjugerade tecken.

Vissa egenskaper hos gruppen G kan härledas från teckentabellen:

Ordningen för gruppen G bestäms av summan av kvadraterna av elementen i den första kolumnen (grader av irreducerbara tecken). (Se tillämpningen av Schur Lemma .) Mer generellt ger summan av kvadraterna av de absoluta värdena för elementen i en kolumn ordningen för centraliseraren av elementet i motsvarande konjugationsklass.
Alla normala undergrupper av G (och även om G är enkel) kan kännas igen från teckentabellen. Kärnan i tecknet är uppsättningen av element g i gruppen G för vilken . Detta är en normal undergrupp av gruppen G . Vilken normal undergrupp som helst av gruppen G är skärningspunkten mellan kärnorna av några irreducerbara tecken i G. $\chi$ $\chi (g)=\chi (1)$
Den genererade undergruppen av gruppen G är skärningspunkten mellan kärnorna för de linjära tecknen i gruppen G. I synnerhet är G abelsk om och endast om alla dess irreducerbara tecken är linjära.
Av några resultat av Richard Brouwer i teorin om modulära representationer följer det att primtalsdivisorerna för ordningen av element i varje konjugationsklass i en finit grupp kan härledas från gruppens teckentabell ( Graham Higmans observation ).

Teckentabellen definierar i allmänhet inte en grupp upp till en isomorfism . Till exempel delar quaterniongruppen Q och den 8-elements dihedriska gruppen ( D4 ) samma teckentabell. Brouwer frågade om teckentabellen, tillsammans med att veta hur krafterna hos elementen i konjugationsklasser är fördelade, bestämmer en ändlig grupp upp till isomorfism. 1964 svarade E. K. Dade nekande på frågan.

Linjära tecken bildar en teckengrupp , som har ett viktigt samband med talteorin .

Externa automorfismer

Gruppen av yttre automorfismer verkar på teckentabellen genom att permutera kolumnerna (konjugationsklasser) och följaktligen raderna, vilket ger en annan symmetri till tabellen. Till exempel har Abeliska grupper en yttre automorfism, som är icke-trivial förutom elementära Abeliska 2-grupper , och yttre, eftersom Abeliska grupper är just de för vilka konjugationer (inre automorfismer) verkar trivialt. I exempletovan översätter denna kartaoch växlar följaktligenoch(omordnar deras värdenoch). Observera att denna automorfism (invers i abelska grupper) överensstämmer med komplex konjugering. $g\mapsto g^{-1}$ $C_{3}$ $u\mapsto u^{2},u^{2}\mapsto u,$ ${\displaystyle \chi _{1))$ ${\displaystyle \chi _{2))$ $\omega$ $\omega ^{2}$

Formellt, om är en automorfism av gruppen G och är en representation, då är en representation. Om är en inre automorfism (konjugering med något element a ), så verkar det trivialt på representationer, eftersom representationer är funktionsklasser (konjugering ändrar inte deras värde). Detta ger en klass av yttre automorfismer som verkar på karaktärer. $\phi \colon G\to G$ $\rho \colon G\to \operatörsnamn {GL}$ $\rho ^{\phi }:=g\mapsto \rho (\phi (g))$ ${\displaystyle \phi =\phi _{a))$

Denna relation kan användas på två sätt: givet en yttre automorfism kan nya representationer göras, och vice versa kan man begränsa de möjliga yttre automorfismerna baserat på teckentabellen.

Anteckningar

Litteratur

I. Martin Isaacs. Karaktärsteori för ändliga grupper. — Dover, 1976.
Rowland, Todd; Weisstein, Eric W. Character Table (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .