Energi-momentum tensor

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 23 oktober 2021; kontroller kräver 3 redigeringar .

Energimoment-tensorn (EMT) är en symmetrisk tensor av andra rangen (valens) som beskriver densiteten och flödet av energi och rörelsemängd hos materiafält [1] och bestämmer interaktionen mellan dessa fält och gravitationsfältet .

Energimomentumtensorn är en ytterligare relativistisk generalisering av begreppen energi och momentum i klassisk kontinuummekanik . En begreppsgeneralisering nära den är 4-vektorn för energimomentum för en partikel i den speciella relativitetsteorin .

Komponenter i energimomentumtensorn

Energimoment-tensorn kan skrivas som en riktig 4x4 symmetrisk matris:

T^{\mu \nu} \ = \ \left( \begin{matrix} T^{00} & T^{01} & T^{02} & T^{03} \\ T^{10} & T^{11} & T^{12} & T^{13} \\ T^{20} & T^{21} & T^{22} & T^{23} \\ T^{30} & T^{31} & T^{32} & T^{33} \end{matris} \right).

Den innehåller följande fysiska kvantiteter:

T 00 - volymetrisk energitäthet . Som regel bör det vara positivt , men förekomsten av lokala rumsliga regioner med en negativ energitäthet är teoretiskt tillåten. I synnerhet kan en sådan region skapas med hjälp av Casimir-effekten [2] .
T 10 , T 20 , T 30 är komponenterna i densitetsmomentet multiplicerat med c .
T 01 , T 02 , T 03 är komponenterna i energiflödet ( Poynting vektor ) dividerat med c . På grund av symmetrin hos T μν observeras följande likhet: T 0μ = T μ0
3 x 3 submatris av rent rumsliga komponenter

T^{ik} \ = \ \left( \begin{matrix} T^{11} & T^{12} & T^{13} \\ T^{21} & T^{22} & T^{ 23} \\ T^{31} & T^{32} & T^{33} \end{matrix} \right)

är den 3-dimensionella momentumfluxdensitetstensorn, eller spänningstensorn med ett minustecken.

Således har komponenterna i energimoment-tensorn dimensionen ML −1 T −2 .

Specialfall

Inom vätskemekanik motsvarar dess diagonala komponenter tryck, och de andra komponenterna motsvarar tangentiella krafter (spänningar eller, i den gamla terminologin, spänningar) orsakade av viskositet .

För en vätska i vila, minskar energimomentum-tensorn till en diagonal matris , där är massdensiteten och är det hydrostatiska trycket. ${\rm {diag}}({{\rho }c^{2}},~p,~p,~p)$ ${\rho}$ $sid$

I det enkla fallet med dammig materia skrivs energimoment-tensorn som

T^{ik} = \rho\, u^iu^k

var är mass- ( vilo )tätheten, är 4-hastighetskomponenterna - det skrivs också för det enklaste fallet, när alla dammpartiklar rör sig med samma hastighet åtminstone lokalt, och om det senare inte är fallet måste uttrycket även summeras (integreras) över hastigheter. $\rho$ $u^i, u^k$

Kanonisk energimomentumtensor

I den speciella relativitetsteorin är de fysiska lagarna desamma vid alla punkter i rum-tid, så översättningar av 4-koordinater bör inte ändra fältets rörelseekvationer. Enligt Noethers sats måste alltså infinitesimala rum-tidsöversättningar motsvara ett bevarat Noetheriskt flöde, som i detta fall kallas det kanoniska EMT.

För Lagrangian (densitet av Lagrange-funktionen) , som beror på fältfunktionerna och deras första derivator, men inte beror på koordinaterna, kommer handlingsfunktionen att vara invariant under översättningar: $\mathcal{L}_\mathrm{M} = \mathcal{L}_\mathrm{M} ( \phi_i , \partial_{\mu} \phi_i )$ ${\displaystyle \phi _{i))$

\begin{cases} x^{\mu} \to x^{\prime\mu} = x^{\mu} + \delta x^{\mu} \\ \phi_i(x) \to \phi_i^{ \prime}(x^{\prime}) = \phi_i(x). \end{fall}

Från Noether-satsen kommer lagen om bevarande av den kanoniska EMT att följa (skriven i galileiska koordinater)

{{T_c}^\mu}_\nu (x) = \sum^{n}_{i=1} \frac{\partial \mathcal{L}_\mathrm{M)) {\partial (\partial_ {\mu} \phi_{i})} \partial_{\nu} \phi_{i} - \mathcal{L}_\mathrm{M} \delta^\mu_\nu ,

som ser ut

\partial_{\mu} {T^\mu}_\nu \equiv T^\mu_{\nu,\;\mu}=0.

Den kanoniska EMT i sin helt kontravarierande form har formen

T^{\mu\nu} = g^{\nu\rho}\, {T^\mu}_\rho = \sum^{n}_{i=1} \frac{\partial \mathcal{L }_\mathrm{M)) {\partial (\partial_{\mu} \phi_{i})} \partial^{\nu} \phi_{i} - \mathcal{L}_\mathrm{M} g ^{\mu\nu} .

Denna tensor är tvetydig. Egenskapen tvetydighet kan användas för att generellt sett föra en asymmetrisk tensor till en symmetrisk form genom att lägga till en tensorkvantitet där tensorn är antisymmetrisk i de två sista indexen . Ja, för en symmetrisk EMT ${\displaystyle T^{\mu \nu ))$ $\frac{\partial \psi^{\mu\nu\lambda}}{\partial x^{\lambda}}\;,$ $\psi^{\mu\nu\lambda}\;$ ${\displaystyle \psi ^{\mu \nu \lambda }=-\psi ^{\mu \lambda \nu ))$

\Theta^{\mu\nu} = T^{\mu\nu} + \partial_\lambda \psi^{\mu\nu\lambda}

följer automatiskt fredningslagen $\partial_\nu \Theta^{\mu\nu} = 0 .$

Metrisk energi-momentum tensor

I den allmänna relativitetsteorin uttrycks den så kallade metriska EMT i termer av variationsderivatan med avseende på den metriska tensorn vid en punkt i rum-tid från den lagrangiska densiteten för den funktionella handlingen, som är invariant under förändringar av koordinater : $T^ {\mu \nu} (x)$ $g_{\mu \nu }$ $x$

{T_m}^{\mu \nu} (x) = \frac {2}{\sqrt{-g)) \frac {\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M} )}{ \delta g_{\mu \nu} (x)}=g^{\mu \nu} \mathcal{L}_\mathrm{M} - 2 \frac{\delta \mathcal{L}_\ mathrm{M}}{\delta g_{\mu \nu}}=

=\frac {2}{\sqrt{-g}}\left(\frac{\partial (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{ \partial g_{\mu \ nu} (x)}-\frac{\partial}{\partial x^\lambda}\frac {\partial (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{\partial\ displaystyle\frac{\partial g_{\mu \nu} (x)}{\partial x^\lambda))+\ldots\right),

där Denna energi-momentum-tensor är uppenbarligen symmetrisk. Den metriska EMT ingår i Einsteins ekvationer som en extern källa till gravitationsfältet: $g(x) = \det \left ( g_{\mu \nu} (x) \right ).$

\frac {c^4}{8 \pi G} \left ( R_{ \mu \nu } - \frac {1}{2} g_{ \mu \nu } R + \Lambda g_{ \mu \nu } \right ) = T_{ \mu \nu } (x),

var är Ricci-tensorn , är den skalära krökningen . För denna tensor, på grund av åtgärdens invarians med avseende på koordinatsubstitutioner, är en differentiell bevarandelag giltig i formen $R_{ \mu \nu }$ $R = g^{ \mu \nu } R_{ \mu \nu }$

T^\mu_{\nu;\mu}=0.

Energimoment-tensorn i klassisk elektrodynamik

Inom klassisk elektrodynamik har det elektromagnetiska fältets energimomentumtensor i International System of Units (SI) formen:

T_{00} = \frac{\mathbf E \cdot \mathbf D}{2} + \frac{\mathbf B \cdot \mathbf H}{2}

\begin{pmatrix} T_{01} & T_{02} & T_{03} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} T_{10} & T_{20} & T_{30} \end{pmatrix} = \frac{1}{c} \left[ \mathbf E \times \mathbf H \right]

T_{ij} = E_i D_j + B_i H_j - \frac{1}{2}\delta_{ij}(\mathbf E \cdot \mathbf D + \mathbf B \cdot \mathbf H) = E_i D_j + B_i H_j - \delta_{ij}T_{00}.

De rumsliga komponenterna bildar en tredimensionell tensor, som kallas Maxwells spänningstensor [3] eller Maxwell spänningstensor [4] . $T_{ij}$

I samvariant form kan vi skriva:

T^{\mu\nu} = -\frac{1}{\mu_0}[ F^{\mu \alpha}F_{\alpha}{}^{\nu} + \frac{1}{4} \ eta^{\mu\nu}F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta}]\,.

Energimoment-tensorn i kvantfältteorin

Anteckningar

↑ Materiefält (materiella fält) i den allmänna relativitetsteorin kallas traditionellt för alla fält, utom gravitation.
↑ M. Morris, K. Thorne och U. Yurtsever, Wormholes, Time Machines, and the Weak Energy Condition Arkiverad 17 juli 2012. , Physical Review , 61 , 13, september 1988, sid. 1446-1449
↑ Landau L. D., Lifshitz E. M. Fältteori. - 7:e upplagan, reviderad. — M .: Nauka , 1988 . - S. 115. - ("Teoretisk fysik", volym II). — ISBN 5-02-014420-7 .
↑ Stepanovsky Yu. P. Maxwell stresstensor // Physical Encyclopedia / Ch. ed. A. M. Prokhorov . - M. : Great Russian Encyclopedia , 1992. - T. 3. Magnetoplasma-kompressor - Poyntings teorem. - S. 32-33. — 672 sid. - 48 000 exemplar. — ISBN 5-85270-019-3 .

Litteratur

Landau L. D. , Lifshits E. M. Fältteori . - 8:e upplagan, stereotypt. — M .: Fizmatlit , 2001. — 534 sid. - (" Teoretisk fysik ", volym II). — ISBN 5-9221-0056-4 .
- § 32 - kanonisk TEI
- § 94 - metrisk TEI.