Schur-Sassenhaus teorem

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 24 april 2021; verifiering kräver 1 redigering .

Schur-Sassenhaus- satsen är ett teorem inom gruppteorin som säger att om G är en finit grupp och N är en normal undergrupp vars ordning är coprime till ordningen för faktorgruppen G/N , så är G en halvdirekt produkt (eller split förlängning) av undergruppen N och faktorgrupperna G/N .

Alternativ formulering av satsen. Varje normal Hall-undergrupp N i en finit grupp G har ett undergruppskomplement i gruppen G . Dessutom, om antingen N eller G/N kan avgöras, säger Schur-Sassenhaus-satsen också att alla komplement till N i G är konjugerade . Antagandet att antingen N eller G/N är avgörbart kan utelämnas, eftersom det alltid gäller, men alla kända bevis på detta kräver tillämpningen av den mycket mer komplicerade Feit-Thompson-satsen .

Schur-Sassenhaus-satsen svarar åtminstone delvis på frågan: "I en kompositionsserie , hur kan vi klassificera grupper med en viss uppsättning kompositionsfaktorer?" Den andra delen, där sammansättningsfaktorerna inte har en coprime-ordning, behandlas i teorin om gruppförlängningar .

Historik

Schur-Sassenhaus-satsen lades fram av Hans Sassenhaus [1] . Sats 25, som han tillskriver Isai Shur , bevisar existensen av ett undergruppskomplement, och sats 27 bevisar att alla komplement är intilliggande under antagandet att N eller G/N är lösbara. Det är inte lätt att hitta ett uttryckligt påstående om existensen av ett komplement i Schurs publicerade tidningar, även om Schurs resultat [2] [3] om Schur-multiplikatorer antyder att det finns ett komplement i det speciella fallet när en normal undergrupp är en Centrum. Zassenhaus påpekade att Schur-Sassenhaus-satsen för olösliga grupper skulle vara sann om alla grupper av udda ordning var lösliga, vilket senare bevisades av Feith och Thompson. Ernst Witt visade att detta också skulle följa av Schreiers gissningar [4] , men Schreiers gissningar bevisades med hjälp av klassificeringen av ändliga enkla grupper , vilket är betydligt mer komplicerat än Feit-Thompson-satsen.

Exempel

Om vi inte inför coprime-villkoret blir satsen ogiltigt. Betrakta till exempel en cyklisk grupp och dess normala undergrupp . Sedan, om det var en halvdirekt produkt av och , då måste den innehålla två element av ordning 2, men den innehåller bara ett element. Ett annat sätt att visa att det är omöjligt att splittra (dvs. uttrycka en grupp som en halvdirekt produkt) är observationen att automorfismer av en grupp är en trivial grupp , så att den enda möjliga [semi] direkta produkten av en grupp med sig själv är den direkta produkt (som ger Klein fyrdubbla gruppen , gruppen, som inte är isomorf ). $C_{4}$ $C_{2}$ ${\displaystyle C_{4}/C_{2))$ $C_{2}$ $C_{4}/C_{2}\cong C_{2}$ $C_{4}$ $C_{4}$ $C_{2}$ $C_{2}$ $C_{4}$

Ett exempel på ett fall där Schur-Sassenhaus-satsen gäller är den 3-teckens symmetriska gruppen , , som har en normal undergrupp av ordningen 3 (isomorf till ), som i sin tur har index 2 i (vilket stämmer överens med Lagranges sats ), så att . Eftersom 2 och 3 är coprime gäller också Schur-Sassenhaus-satsen . Observera att gruppens automorfismgrupp är lika och den gruppautomorfism som används i den semidirekta produkten som ger är en icke-trivial automorfism som permuterar två icke-triviala element i gruppen . Dessutom är tre undergrupper av ordning 2 i (vilka som helst kan fungera som komplement i ) intill varandra. $S_{3}$ $C_{3}$ $S_{3}$ $S_{3}/C_{3}\cong C_{2}$ ${\displaystyle S_{3}\cong C_{3}\r gånger C_{2))$ $C_{3}$ $C_{2}$ $C_{3}$ $S_{3}$ $C_{3}$ $S_{3}$ $C_{3}$ $S_{3}$

Slutsatsen om icke-trivialiteten av (komplementär) närhet kan illustreras på Klein-fyrgruppen som ett falskt exempel. Vilken som helst av gruppens tre riktiga undergrupper (alla av ordning 2) är normal i . Genom att fixa en av dessa undergrupper, kompletterar någon av de två återstående (riktiga) undergrupperna den i , men ingen av dessa tre undergrupper i gruppen ligger intill den andra, eftersom gruppen är abelisk . $V$ $V$ $V$ $V$ $V$ $V$

Kvaterniongruppen har normala undergrupper av ordning 4 och 2, men är inte en [halv]direkt produkt. Schurs artiklar i början av 1900-talet introducerade begreppet en central expansion för exempel som quaternions. $C_{4}$

Bevis

Förekomsten av komplementet till en normal Hall-undergrupp H i en finit grupp G kan bevisas genom följande steg:

Genom induktion i storleksordningen G kan vi anta att detta är sant för alla mindre grupper.
Om undergruppen H är abelsk, så följer existensen av komplementet av det faktum att kohomologigruppen H 2 ( G / H , H ) försvinner (eftersom H och G / H har coprime-ordningar) och det faktum att närliggande till alla komplement följer av försvinnandet av H 1 ( G / H , H ).
Om en undergrupp H är lösbar, har den en icke-trivial abelisk undergrupp A som är en egenskap i H och därför normal i G. Schur-Sassenhaus-applikationen till G / A förkortar beviset för fallet när H = A är Abelian, vilket görs i föregående steg.
Om normalisatorn N = N G ( P ) för någon p -Sylow-undergrupp P i en undergrupp H är lika med G , så är H nilpotent, och i synnerhet avgörbart, så satsen följer från föregående steg.
Om normalisatorn N = N G ( P ) för någon p -Sylow-undergrupp P av H är mindre än G , så gäller genom induktion Schur–Sassenhaus-satsen för N och komplementet N ∩ H i N är komplementet till H i G eftersom G = NH .

Anteckningar

↑ Zassenhaus, 1958 , sid. IV kap 7 §.
↑ Schur, 1904 .
↑ Schur, 1907 .
↑ Witt, 1998 , sid. 277.

Litteratur

Joseph J. Rotman. En introduktion till teorin om grupper. — Fjärde. - New York: Springer-Verlag, 1995. - V. 148. - (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 978-0-387-94285-8 . - doi : 10.1007/978-1-4612-4176-8 .
David S. Dummit, Richard M. Foote. Abstrakt algebra. — Tredje. - Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, Inc., 2004. - ISBN 978-0-471-43334-7 .
Wolfgang Gaschütz. Zur Erweiterungstheorie der endlichen Gruppen // J. Reine Angew. Math.. - 1952. - T. 190 . — S. 93–107 . - doi : 10.1515/crll.1952.190.93 .
John S. Rose. En kurs i gruppteori . - Cambridge-New York-Melbourne: Cambridge University Press, 1978. - ISBN 0-521-21409-2 .
I. Martin Isaacs. Finita gruppteori. — Providence, RI: American Mathematical Society, 2008. — V. 92. — ( Graduate Studies in Mathematics ). — ISBN 978-0-8218-4344-4 . doi : 10.1090 / gsm/092 .
Hans Kurzweil, Bernd Stellmacher. Theory of Finita Groups: An Introduction. - New York: Springer-Verlag, 2004. - (Universitex). — ISBN 0-387-40510-0 . - doi : 10.1007/b97433 .
James E. Humphreys. En kurs i gruppteori. - New York: The Clarendon Press, Oxford University Press, 1996. - (Oxford Science Publications). — ISBN 0-19-853459-0 .
Issai Schur . Über die Darstellung der endlichen Gruppen durch gebrochen lineare Substitutionen // Journal für die reine und angewandte Mathematik . - 1904. - T. 127 . - S. 20-50 .
Issai Schur . Untersuchungen über die Darstellung der endlichen Gruppen durch gebrochene lineare Substitutionen // Journal für die reine und angewandte Mathematik . - 1907. - T. 132 . - S. 85-137 .
Ernst Witt. Samlade papper. Gesammelte Abhandlungen / Ina Kersten. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 1998. - ISBN 978-3-540-57061-5 . - doi : 10.1007/978-3-642-41970-6 .
Hans Zassenhaus. Lehrbuch der Gruppentheorie. - Leipzig och Berlin: Teubner, 1937. - V. 21. - (Hamburger Mathematische Einzelschriften).
- Hans J. Zassenhaus. Gruppteorin.. - 2:a. - New York: Chelsea Publishing Company, 1958. Engelsk översättning