Chern-Weils teori

Karakteristiska klasser är en långtgående generalisering av sådana kvantitativa begrepp för elementär geometri som graden av en plan algebraisk kurva eller summan av indexen för singulära punkter i ett vektorfält på en yta. De beskrivs mer i detalj i motsvarande artikel. Chern - Weil- teorin tillåter att vissa karakteristiska klasser representeras som uttryck för krökning .

Inbäddning med ett linjärt system

Uppsättningar av punkter på en algebraisk kurva med vissa multipliciteter kallas divisorer . Om till exempel en kurva ges som ligger på det komplexa projektiva planet (eller, mer allmänt, komplext projektivt utrymme ), då den uppsättning punkter längs vilka den skärs av någon linje, med multipliciteter lika med multipliciteterna av skärningspunkten ( eller, om kurvan ligger i rymden , något hyperplan) är en divisor. I algebraisk geometri betraktas vanligtvis inte individuella divisorer, utan deras klasser. Till exempel kan en plan kurva associeras med en klass av divisorer som består av divisorer utskurna på kurvan av alla möjliga linjer (alla möjliga hyperplan). Det kallas det linjära divisorsystemet som motsvarar den givna inbäddningen (vanligtvis kallas det helt enkelt "linjärt system"). $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}$

Fråga. Låt en abstrakt kurva som inte är inbäddad någonstans ges, och ett linjärt system som motsvarar någon inkludering. Är det möjligt att återställa denna inbäddning från den (upp till en projektiv omvandling av det omgivande rummet)?

Det visar sig att detta är möjligt. För att göra detta måste vi dock bättre förstå vad ett hyperplan är i ett projektivt utrymme. I ett affint utrymme kan ett hyperplan ges som kärnan (uppsättning nollor) för en linjär funktion (och en sådan funktion kommer att vara unik upp till multiplikation med ett tal som inte är noll). På ett projektivt utrymme finns det dock inga linjära funktioner: varje holomorf funktion på ett kompakt komplext grenrör är konstant. Om är ett vektorrum, då är dess projektiviseringspunkter linjer , och om är en linjär funktion på , då är "värdet" vid punkten en linjär funktionell på motsvarande linjära rymd , det vill säga en vektor i det dubbla linjära rummet . Dessutom är linjerna på vilka denna funktion är identiskt noll exakt de linjer som ligger i kärnan ; motsvarande punkter i projektiviseringen bildar ett projektivt hyperplan. $V$ $\mathrm {P} (V)$ $\ell \subset V$ $\varphi$ $V$ $\varphi$ $\ell \in \mathrm {P} (V)$ $\ell \subset V$ $\ell ^{*}$ $\varphi$

Detta formaliseras enligt följande: projektivisering medger en tautologisk linjebunt över sig själv , vars fiber över en punkt är själva linjen , betraktad som ett linjärt utrymme. Denna bunt betecknas med symbolen . Linjeknippet konjugerat till det (det vill säga ett vars skikt vid varje punkt är dubbla med skikten i den ursprungliga bunten vid samma punkter) betecknas med ; dess sektioner motsvarar linjära funktionaler på ett vektorrum . Följaktligen är uppsättningarna av nollor av sektioner hyperplan. Således, om är en projektiv kurva, så består det motsvarande linjära systemet på den av divisorer av nollor av sektioner av bunten . $\mathrm {P} (V)$ $\ell \in \mathrm {P} (V)$ $\ell \subset V$ ${\mathfrak {O}}(-1)$ ${\mathfrak {O}}(1)$ $V$ $C\subset \mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}$ $L={\mathfrak {O}}(1)|_{C}$

Om det finns en abstrakt kurva kan linjebunten på den rekonstrueras från uppsättningarna av nollor i dess olika sektioner (förutsatt att det finns tillräckligt många olika sektioner). Sålunda, givet ett linjärt system av divisorer på en abstrakt kurva, kan man rekonstruera en linjebunt för vilken dessa divisorer är nollnivåer av dess sektioner. Därför kan frågan omformuleras enligt följande.

Fråga. Låt det finnas en inbäddning av en algebraisk kurva , och vara en begränsning av bunten till den . Att bara veta , är det möjligt att återvinna investeringen ? $f\colon C\to \mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}$ $f^{*}{\mathfrak {O}}(1)=L\to C$ ${\mathfrak {O}}(1)$ $L$ $f$

Observera att paketet har följande egenskap: för varje punkt finns det ett avsnitt så att . Detta är till exempel sant, eftersom man för vilken punkt som helst på en rymdkurva kan välja en sektion av ett hyperplan som inte passerar genom den punkten och begränsa motsvarande sektion till kurvan. Buntar med den här egenskapen kallas genererade globala sektioner . Byggnaden av häckning är nu mycket enkel. Tänk på sektionsutrymmet . Varje punkt definierar en mappning genom en beräkningsmapping . Således definierar en punkt på en kurva en vektor i rymden , väldefinierad upp till proportionalitet - det vill säga en punkt i projektiv rymden . Detta definierar inbäddningen , som sammanfaller med den ursprungliga upp till en projektiv överensstämmelse. $L$ $x\in C$ $s\in \Gamma (L)$ $s(x)\neq 0$ ${\mathfrak {O}}(1)$ $\Gamma (L)$ $x\in C$ ${\displaystyle \Gamma (L)\till L_{x))$ $s\mapsto s(x)$ $\Gamma (L)^{*}$ $\mathrm {P} (\Gamma (L)^{*})$ $C\to \mathrm {P} (\Gamma (L)^{*})$

Vad har vi egentligen visat? Vilken linjebunt som helst på en kurva som genereras av globala sektioner kan erhållas som en omvänd bild av bunten med avseende på någon algebraisk mappning . I det här fallet visar sig graden av bunten (antalet nollor vid dess gemensamma sektion) vara lika med graden av bilden av kurvan under en sådan inbäddning. Det kan förstås som antalet skärningspunkter med hyperplanet - det vill säga skärningsindexet för homologiklasserna och , eller som en integral: Fubini-Study-formen är Poincaré-dual till hyperplansektionsklassen (upp till multiplikation med ) , så graden av divisor kan beräknas som . Observera att Fubini-Study- formuläret är en krökningsform på bunten . Sålunda kan graden av en linjebunt på en algebraisk kurva som genereras av globala sektioner uttryckas som krökningsintegralen av någon anslutning på den. Chern-Weil-teorin hävdar mycket mer: i synnerhet är graden av varje linjebunt över en algebraisk kurva (och i allmänhet varje verkligt tvådimensionellt kompakt orienterbart grenrör) lika med krökningsintegralen för varje anslutning i den (delad med ) . ${\mathfrak {O}}(1)\to \mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}$ $C\to \mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}$ $[f(C)]$ $[\mathbb {C} \mathrm {P} ^{n-1}]$ $\omega$ $[\mathbb {C} \mathrm {P} ^{n-1}]$ $2\pi$ ${\frac {1}{2\pi }}\int _{f(C)}\omega ={\frac {1}{2\pi }}\int _{C}f^{*} \omega$ ${\mathfrak {O}}(1)$ $L$ $2\pi$

Klassificering av mappningar för linjebuntar

Implementeringen av linjebuntar med användning av mappningar över ett linjärt system lider av betydande nackdelar: till exempel kan en bunt inte ha några sektioner alls. I fallet med en kurva kan detta korrigeras på konstgjord väg, eftersom det då finns sektioner av den dubbla bunten, och ibland kan man få originalbunten som en tillbakadragning längs den antiholomorfa kartan. Men på en komplex yta kan en linjebunt vara "positiv" i en riktning och "negativ" i den andra, och ett sådant knep kan inte längre undvaras. Samtidigt ger mappningar över ett linjärt system viss intuition, vilket gör att man kan uppnå mycket mer om man inte ges algebraiska eller holomorfa mappningar, utan godtyckliga kontinuerliga. ${\mathfrak {O}}(1)$

Låt oss återgå till bunten , och vi kommer att anta att utrymmet är utrustat med en hermitisk metrik. Sedan förses bunten med ett hermitiskt mått. Vi pekar ut ett knippe vektorer av enhetslängd i den: en enhetlig grupp verkar på den , dessutom i varje lager fritt och transitivt. Det totala utrymmet för detta paket kan identifieras med enhetssfären i . En fibrering med fibercirkel är den välkända Hopf-fibreringen . ${\mathfrak {O}}(1)\to \mathrm {P} (V)$ $V$ ${\mathfrak {O}}(1)$ $\mathrm {U} (1)$ $S^{2n+1}$ $V$ $S^{2n+1}\to \mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}$

Det hermitiska (ofullständiga) utrymmet , realiserat som gränsen för inneslutningar med fackföreningstopologin, innehåller enhetssfären , för vilken ovanstående gäller i samma utsträckning. En kvot genom handling är ett oändligt dimensionellt projektivt rum med topologin för föreningen av dess ändligt dimensionella delrum som utgör någon komplett flagga. Men till skillnad från dess ändliga dimensionella motsvarigheter skiljer den sig åt i följande egenskaper: ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\infty ))$ $\mathbb {C} \subset \mathbb {C} ^{2}\subset \mathbb {C} ^{3}\subset \dots$ ${\displaystyle S^{\infty ))$ $S^{\infty }$ $\mathrm {U} (1)$ ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{\infty ))$

Det totala utrymmet för en oändlig dimensionell Hopf-bunt (det vill säga ) är sammandragbar . $S^{\infty }$
Om det är ett huvudknippe med fiber , d.v.s. en cirkelbunt utrustad med en enhetlig gruppverkan , som är fri och transitiv på varje fiber, så finns det en sådan mappning som är isomorf till den omvända bilden av det oändligt dimensionella Hopf-knippet längs . $P\to X$ $\mathrm {U} (1)$ $\mathrm {U} (1)$ ${\displaystyle f_{P}\colon X\to \mathbb {C} \mathrm {P} ^{\infty ))$ $P$ ${\displaystyle f_{P))$
För ett givet huvudpaket är alla sådana kartor homotopiska till varandra. Någon av dessa kallas en klassificerande mappning . $P\to X$ ${\displaystyle f_{P))$

Även om det totala utrymmet för en oändligt dimensionell Hopf-bunt är sammandragbar, är topologin för dess bas icke-trivial: för varje jämnt tal är dess heltalskohomologi endimensionell. Som en graderad algebra är de isomorfa till polynomringen , där . Tillbakadragningen av generatrisen längs mappningen, på grund av den tredje egenskapen från listan ovan, är en väldefinierad invariant av huvudpaketet. Det här är Chern-klassen. ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{\infty ))$ $2k$ ${\displaystyle H^{2k))$ $\mathbb {Z} [t]$ $\deg t=2$ $t\in H^{2}$

Observera att i begränsningen på var och en av de finita dimensionella klasserna kan representeras i de Rham-kohomologin som klassen av Fubini-Studieformen dividerad med . Å andra sidan är Fubini-Study-formen krökningen av en invariant anslutning i , det vill säga dess spännvidd är krökningen av någon -ekvivariant anslutning i huvudbunten . Om man kontrollerar att krökningarna av -ekvivarianta anslutningar i ett huvud -bunt är slutna 2-former som tillhör samma de Rham kohomologiklass, får man omedelbart påståendet om Chern-Weyl-teorin för linjebuntar: ${\displaystyle \mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}\subset \mathbb {C} \mathrm {P} ^{\infty ))$ $t$ $2\pi$ ${\mathfrak {O}}(1)\to \mathbb {C} \mathrm {P} ^{\infty }$ ${\displaystyle f_{P))$ $\mathrm {U} (1)$ $P$ $\mathrm {U} (1)$ $\mathrm {U} (1)$

Sats. Låt vara en hermitisk linjebunt, och vara krökningsformen för någon enhetlig anslutning i . Sedan . $L\to X$ $\omega$ $L$ ${\frac {1}{2\pi }}[\omega ]=c_{1}(L)\in H^{2}(X,\mathbb {Z})$

Från den följer till exempel Gauss-Bonnet-satsen omedelbart .

Klassificering av utrymmen

Med andra buntar än linjära buntar kan man också associera principal -buntar för andra grupper : till exempel, med en hermitisk bunt av rang associeras ett huvudknippe med strukturgruppen , vars fibrer är utrymmen som parametriserar ortonormala ramar i en given fiber av vektorbunten. Omvänt rekonstrueras vektorbunten från huvud -bunten och grupprepresentationen . Om en principal -bunt försågs med en -ekvivariant anslutning, kommer den resulterande vektorbunten också att förses med en strukturbevarande anslutning . $G$ $G$ $n$ $\mathrm {U} (n)$ $G$ $G$ $G$ $G$ $G$

Det visar sig att det för en godtycklig Lie-grupp (eller mer allmänt en topologisk grupp) finns en analog till Hopf-fibrationen. Detta är ett huvudpaket; det betecknas , och dess bas kallas klassificeringsutrymmet . Den är unik upp till homotopi-ekvivalens och har följande egenskaper: $G$ $G$ $EG\to BG$

Alla homotopigrupper i dess totala utrymme är triviala. $EG$
För varje principiellt paket finns det en klassificeringskarta så att den erhålls som den omvända bilden av bunten längs . $G$ $P\to X$ $f_{P}\colon X\to BG$ $P$ $EG\to BG$ ${\displaystyle f_{P))$
Alla klassificerande mappningar är homotopiska till varandra.

Till exempel, om , då kan cirkeln väljas som cirkeln, och dess universella täckning, den verkliga linjen. I de flesta fall har dock inte klassificeringsutrymmet homotopitypen av ett kompakt grenrör: alltså redan som en oändligt dimensionell sfär uppstår igen, på vilken den antipodala kartläggningen verkar, och är en faktor över den, det vill säga . Från denna konstruktion, liknande den som beskrivits ovan, får vi den första Stiefel-Whitney-klassen av det riktiga linjepaketet. $G=\mathbb {Z}$ $BG$ $EG$ $G=\mathbb {Z} /2$ $EG$ $\mathbb {Z} /2$ $BG$ ${\displaystyle \mathbb {R} \mathrm {P} ^{\infty ))$

Weyl algebra

Om en kohomologialgebra kan beräknas för en grupp (som redan är en väldefinierad algebra på grund av det faktum att alla klassificeringsutrymmen är homotopiska med varandra), så kommer klasstillbakadrag därifrån längs klassificerande mappningar att vara invarianter av huvudbuntar. Detta problem är dock mycket svårt, åtminstone om kohomologialgebra tas med heltalskoefficienter. $G$ $H(BG)$

För grenrör förenklas problemet med att beräkna kohomologi med verkliga koefficienter av det faktum att de kan betraktas som de Rham kohomologi . Klassificeringsutrymmen är dock inte mångfaldiga. Idén om hur de Rhams syn på kohomologi kan förverkligas ges av det så kallade Chevalley-Eilenberg-komplexet . Om är en Lie-grupp, så innehåller dess komplex av differentialformer ett subkomplex av vänsterinvarianta differentialformer. En vänsterinvariant differentialform definieras av dess värde på tangentutrymmet vid unity , det vill säga en skevsymmetrisk multilinjär form på Lie-algebra . Således, som en algebra med skev-symmetrisk multiplikation, är utrymmet för vänster-invarianta differentialformer isomorft till den yttre algebra . Differentialen på denna algebra, som lätt kan utläsas av standardformeln för de Rham-differentialen, finns en mappning i termen som är dubbel med parentesen (närmare bestämt med ett minustecken), och sedan fortsätter den enl. den graderade Leibniz-regeln , med hjälp av det faktum att den externa algebra genereras av dess första kalibreringskomponent. Så det finns ett ändligt dimensionellt subkomplex , som, trots den geometriska motivationen, kan definieras algebraiskt, i termer av Lie-algebra. Dess kohomologi kallas Lie algebra kohomologi ; de ligger naturligt i Lie-gruppens de Rham-kohomologi , och dessutom, när de är kompakta, är de lika med hela Lie-gruppens de Rham-kohomologi . $BG$ $G$ $e\in G$ $\mathfrak{g}$ $\Lambda ({\mathfrak {g}}^{*})$ ${\mathfrak {g}}^{*}\to \Lambda ^{2}{\mathfrak {g}}^{*}$ $[\cdot ,\cdot ]\colon \Lambda ^{2}{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$ $\Lambda {\mathfrak {g}}^{*}\subset \Omega (G)$ $\mathfrak{g}$ $G$ $G$ $G$

Detta motiverar oss att försöka formellt , i termer av Lie-algebra enbart , definiera vad som är de Rham-algebra för det klassificerande rummet - mer exakt, de Rham-algebra för rummet . Låt mig påminna er om att det krävs två saker: det är ett sammandragbart utrymme på vilket det agerar fritt. Motsvarande algebraiska krav är följande: det finns en differentiellt graderad algebra med nollkohomologi (förutom i nollgradering, där de är endimensionella) på vilken Lie-algebra verkar genom härledningar , och den naturliga kartan är surjektiv. $\mathfrak{g}$ $EG$ $EG$ $G$ $\Omega (EG)$ $\mathfrak{g}$ $\Omega (EG)\to \Lambda {\mathfrak {g}}^{*}$

En algebra med de egenskaper som krävs är ganska lätt att konstruera, den kallas Weil-algebra och betecknas med . Detta är nämligen en graderad extern algebra — det vill säga två exemplar av , varav den ena har en jämn gradering och den andra en udda. På motsvarande sätt är detta en tensorprodukt , där generatorerna för den yttre algebra har gradering 1, och den symmetriska algebra har gradering 2. Den kan också representeras som det totala komplexet av följande bikomplex: $W({\mathfrak {g)))$ $\Lambda ({\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {g}}[1])$ $\mathfrak{g}$ $\Lambda ({\mathfrak {g}}^{*})\otimes \mathrm {Sym} ({\mathfrak {g}}^{*})$

$k$	$\till$	$\Lambda ^{1}({\mathfrak {g}}^{*})$	$\till$	$\Lambda ^{2}({\mathfrak {g}}^{*})$	$\till$	$\Lambda ^{3}({\mathfrak {g}}^{*})$	$\to \dots$
		$\nedåtpil$		$\nedåtpil$		$\nedåtpil$
		$\mathrm {Sym} ^{1}({\mathfrak {g}}^{*})$	$\till$	$\mathrm {Sym} ^{1}({\mathfrak {g}}^{})\otimes \Lambda ^{1}({\mathfrak {g}}^{})$	$\till$	$\mathrm {Sym} ^{1}({\mathfrak {g}}^{})\otimes \Lambda ^{2}({\mathfrak {g}}^{})$	$\to \dots$
				$\nedåtpil$		$\nedåtpil$
				$\mathrm {Sym} ^{2}({\mathfrak {g}}^{*})$	$\till$	$\mathrm {Sym} ^{2}({\mathfrak {g}}^{})\otimes \Lambda ^{1}({\mathfrak {g}}^{})$	$\to \dots$
						$\nedåtpil$
						$\mathrm {Sym} ^{3}({\mathfrak {g}}^{*})$	$\to \dots$

Differentialerna i raderna här är Chevalley-Eulenberg-komplex med en extra åtgärd på -moduler (särskilt den första differentialen i en rad mappar ett element till operatorn , ), och varje kolumn är ett Koszul-komplex , som inte kan relateras till endast till Lie-algebra, men också med valfritt vektorrum. Från dess acyklicitet kan vi sluta oss till att Weil-komplexet inte heller har någon kohomologi, förutom noll ettor. $\mathfrak{g}$ $\mathrm {Sym} ^{k}({\mathfrak {g}}^{*})$ $m\in M=\mathrm {Sym} ^{k}({\mathfrak {g))^{*})$ ${\mathfrak {g}}\to M$ $v\mapsto [m,v]$ $\Lambda ^{k}(V)\to V\otimes \Lambda ^{k-1}(V)\to \mathrm {Sym} ^{2}(V)\otimes \Lambda ^{k- 2}(V)\to \dots \to \mathrm {Sym} ^{k-1}(V)\otimes V\to \mathrm {Sym} ^{k}(V)$

Om Weil-bikomplexet är en approximation av differentialformer på utrymmet , och dess nollrad, Chevalley-Eilenberg-algebra, är algebra för vänster-invarianta differentialformer på , då analogen av differentialformerna som stiger från basen – dvs. , "de Rham-algebra"—är beståndsdelarna i diagonalen av bikomplexet, algebra av symmetriska funktioner på . I det här fallet kommer de slutna formerna att vara exakt de som är stängda med avseende på differentialen i Weyl-algebra. Av hur det fungerar på de diagonala elementen (vilket indikerades i föregående stycke) följer det att dessa helt enkelt är polynomfunktioner på , som är invarianta under gruppens adjunktverkan på deras Lie-algebra. $W({\mathfrak {g}}^{*})$ $EG$ $G$ $BG$ $\mathfrak{g}$ $\mathfrak{g}$ $G$

Chern-Weil homomorfism

Låt vara en Lie-grupp och vara en huvud -bunt. Låt oss välja en anslutning i den, det vill säga en delbunt så att projektionen mappar fibrerna i denna delbunt på tangentutrymmena till k isomorft, och detta delpaket bevaras av åtgärden . Den kan kodas av en -invariant projektion på ett vertikalt delpaket (det vill säga en bunt tangentrum till -banor). Tangentrymden till omloppsbanan för en fri verkan av en Lie-grupp är kanoniskt isomorft till Lie-algebra , så denna form kan ges som en 1-form . En annan invariant av anslutningen är dess krökning, i detta fall erhållen som en projektion av kommutatorn av två horisontella vektorfält (det vill säga sektioner ) på tangentutrymmena till lagren. Detta är en 2-form med koefficienter i . $G$ $P\to X$ $G$ $Hor\subset TP$ $X$ $G$ $G$ $G$ $G$ $\mathfrak{g}$ $\theta \colon TP\to {\mathfrak {g))$ $Hor$ $\Phi$ $\mathfrak{g}$

Detta tillåter oss att associera med kopplingen en homomorfism av differentiellt graderade algebror , som kommer att ersätta den klassificerande kartläggningen. I det här fallet visar det sig vara bekvämare att definiera det mellan totala utrymmen och inte mellan baser. Det räcker med att definiera det på generatorer, det vill säga och . Båda dessa utrymmen är helt enkelt funktionella på Lie-algebra; men den första måste mappas till 1-former på det totala utrymmet och den andra till 2-former. Låt oss skicka det funktionella till 1-formen och det funktionella till 2-formen . Denna kartläggning kallas Chern-Weil homomorfism , och man kan verifiera att det verkligen är en ekvivariant homomorfism av differentiellt graderade algebror . I synnerhet mappar den element från diagonalen av Weyl-bikomplexet till -invarianta former på , det vill säga tillbakadragningarna av differentialformer på . Eftersom element stängda med avseende på Weil-differentialen går över till slutna former, ger invarianta polynom på Lie-algebra slutna former på basis av huvudbunten. De kallas karaktäristiska former . De kan uttryckligen skrivas som $W({\mathfrak {g}})\to \Omega (P)$ $\Lambda ^{1}({\mathfrak {g}}^{*})$ $\mathrm {Sym} ^{1}({\mathfrak {g}}^{*})$ $P$ $\varphi \in \Lambda ^{1}({\mathfrak {g}}^{*})$ $v\mapsto \varphi (\theta (v))$ $\psi \in \mathrm {Sym} ^{1}({\mathfrak {g}}^{*})$ $v\wedge w\mapsto \psi (\Phi (v,w))$ $G$ $W({\mathfrak {g}})\to \Omega (P)$ $G$ $P$ $X$

$\psi (\Theta )(v_{1},\dots ,v_{2k})={\frac {1}{(2k)!}}\summa _{\sigma \in S_{2k}} (-1)^{\sigma }\psi (\Theta (v_{\sigma (1)},v_{\sigma (2)}),\dots ,\Theta (v_{\sigma (2k-1)} ,v_{\sigma (2k)})))$

Här är ett invariant polynom, och är krökningen. När man väljer en annan anslutning i huvudbunten ändras krökningen och de karakteristiska formerna, men deras kohomologiklasser förblir desamma. $\psi \in \mathrm {Sym} ^{k}({\mathfrak {g}}^{*})$ $\Theta$

Exempel

För en grupp kan man definiera invarianta funktioner på dess Lie-algebra genom villkoret . De resulterande klasserna är Chern-klasserna . En liknande formel för definierar klasser, kallade Pontryagin-klasser (bara vi behöver ta bort ) från nämnaren. $\mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )$ $\psi _{i}$ ${\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C} )$ $\det \left(\mathrm {Id} -t{\frac {x}{2\pi {\sqrt {-1}}}}\right)=\summa _{i=1}^{n }\psi _{i}(x)t^{i}$ $\mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )$ ${\sqrt {-1}}$

I fall av allmänna linjära grupper genereras algebra av invarianta polynom av polynom . Generellt sett är detta inte fallet: till exempel på en speciell ortogonal Lie-algebra finns det ett Pfaffiskt polynom av grad . Motsvarande klass (delat med ) kallas Euler-klassen . $A\mapsto \mathrm {Tr} (A^{k})$ ${\mathfrak {so}}(2n)$ $n$ ${\displaystyle (2\pi )^{n))$

I fysik

Chern-Weil-teorin är ett av många likvärdiga sätt att definiera karakteristiska klasser. Ur en matematisk synvinkel har den många nackdelar: den, liksom de Rham-kohomologin, fungerar endast för fallet när basen är en mångfaldig, fångar inte klasserna som tillhör torsionsundergruppen i kohomologin, och klassernas integritet erhålls genom att integrera vissa differentialuttryck är långt ifrån självklart (medan heltal på andra sätt erhålls automatiskt).

Men denna integralitet, åtminstone för linjebuntar, har en oväntad tillämpning inom fysiken. Den elektromagnetiska fälttensorn är en 2-form på rymdtid, som faktiskt är krökningsformen för någon anslutning i den hermitiska linjebunten. Det brukar anses fysiskt rimligt att anta att denna bunt är trivial. Dirac anmärkte att, om man antar att denna bunt kan vara icke-trivial, så skulle dess Chern-klass vara lika med den magnetiska laddningen . Av integriteten hos Chern-klasserna följer alltså att om ett enda magnetfält fortfarande existerar, så är dess laddning en integralmultipel av någon elementär magnetisk laddning.

Det är anmärkningsvärt att Diracs teorem om kvantisering av magnetisk laddning dök upp 1931, det vill säga mer än 10 år före tillkomsten av Chern-Weil-teorin.

Historik

Sambandet mellan krökning och topologi märktes först, förmodligen av Lhuillier . Gauss-Bonnet-satsen , som fungerade som ett viktigt steg mot Chern-Weil-teorin, formulerades först i sin moderna form (för kompakta orienterbara ytor) 1888 av von Dyck .

En multidimensionell analog av Gauss-Bonnet-satsen föreslogs 1925 av Hopf : han ansåg hyperytor i rymden , och introducerade en analog av Gaussisk krökning på dem som en omvänd bild av volymformen på enhetens sfär med avseende på Gaussisk kartläggning . Han lyckades uttrycka denna form som ett polynom i lokala krökningar, liknande formeln för den karakteristiska formen (se ovan). För jämndimensionella undergrenar av ett euklidiskt utrymme med samdimension större än 1, etablerades analoger till Gauss-Bonnet-satsen oberoende av Allendorfer och Fenchel 1940. Deras bevis reducerade problemet till gränsen för ett litet rörformigt område av ett undergrenrör, vilket är en hyperyta som täcks av Hopfs teorem. Gränsen, i moderna termer, är enhetssfärknippet i det normala hyperytknippet, och ovanstående lokala krökningar gör att man kan erhålla en formel för Euler-klassen i denna undergren. $\R^{2n+1}$

Chern , på förslag av Weil , började söka efter ett liknande resultat för godtyckliga riemannska grenrör som inte är inbäddade någonstans, och kom till slutsatsen att analogen till den gaussiska kartläggningen för en abstrakt riemanngren är bunten av enhetssfärer i tangentbunt. Hans slutresultat från 1944, känt som den generaliserade Gauss-Bonnet-formeln , säger att Euler-karaktäristiken för en jämndimensionell Riemann-gren är lika med den Pfaffiska integralen av dess krökning. Denna sats hade tidigare bevisats av Weil och Allendorfer, men deras bevis tycktes Weil vara otillfredsställande (den förlitade sig på lokala inbäddningar av grenröret i det euklidiska rymden och efterföljande limning, vilket inte ger en tillräcklig förståelse för geometrin bakom denna formel). Därefter lyckades Chern hitta ett uttryck inte bara för Euler-klassen utan också för Chern-klasserna. Han försökte definiera dem för en godtycklig jämndimensionell Riemann-grenrör, men det visade sig att detta var möjligt endast för hermitiska grenrör. Denna förståelse var ett viktigt steg i utvecklingen av komplex geometri.

Samtidigt försökte Pontryagin bygga karaktäristiska klasser genom differentialformer ; han övervägde endast delgrenar i , men istället för en Gaussisk kartläggning av gränsen för ett rörformigt kvarter, övervägde han en kartläggning till en Grassmann, och lyckades 1944 skriva ut korrekta formler för de karakteristiska formerna. Men han övervägde inte fallet med abstrakta Riemannska grenrör, och uppenbarligen var Cherns senaste verk inte känt för honom. $\mathbb {R} ^{n}$

Den homologiska algebra bakom Cherns bevis klargjordes av Henri Cartan i en anteckning från 1951 baserad på Weyls opublicerade text. I synnerhet introducerade den begreppet en Weyl-algebra.

Sambandet mellan differentialgeometrin för olika Gaussiska kartor och inbäddningar med hjälp av linjära system i algebraisk geometri, som ansågs av geometrar från den italienska skolan sedan Veronese , blev tydlig först efter arbetet med Kodaira .

Länkar

Cartan, Henri (1951), "Notions d'algèbre différentielle; application aux groupes de Lie et aux variétés où opère un groupe de Lie", Colloque de topologie (espaces fibrés), Bruxelles, 1950, Georges Thone, Liege, pp. 15–27, MR 0042426
Wu Hung Hsi. Historisk utveckling av Gauss-Bonnet-satsen , i Science in China Series A Mathematics april 2008