Topologiskt vektorutrymme

Topologiskt vektorrum , eller topologiskt linjärt rymd , är ett vektorrum försett med en topologi , med avseende på vilken operationerna av addition och multiplikation med ett tal är kontinuerliga . Termen används främst inom funktionsanalys [1] .

Definition

En mängd kallas ett topologiskt vektorrum om [2] [1] $E$

$E$ är ett vektorrum över fältet av reella eller komplexa tal ;
$E$ är ett topologiskt utrymme ;
Operationerna med addition och multiplikation med ett tal är kontinuerliga med avseende på den givna topologin, det vill säga $E$
1. om , då för varje grannskap av punkten kan man ange sådana stadsdelar och punkter och , respektive att för , ; $z_{0}=x_{0}+y_{0}$ $U$ $z_{0}$ $V$ $W$ $x_{0}$ $y_0$ $x+y\i U$ $x \i V$ $y\in W$
2. om , då för varje område av punkten finns det en grannskap av punkten och ett antal så att för och . $z_{0}=\alpha _{0}x_{0}$ $U$ $z_{0}$ $V$ $x_{0}$ $\varepsilon >0$ $\alpha x\i U$ $|\alpha -\alpha _{0}|<\varepsilon$ $x \i V$

Exempel

euklidiskt utrymme ;
Banach utrymme .

Typer av linjära topologiska utrymmen

Beroende på specifika applikationer ställs vanligtvis vissa ytterligare villkor på linjära topologiska utrymmen. Vissa typer av linjära topologiska utrymmen listas nedan, ordnade (med en viss grad av konvention) efter närvaron av "bra" egenskaper.

Lokalt konvexa topologiska vektorutrymmen (helt enkelt "lokalt konvexa utrymmen" för kort): i sådana utrymmen har varje punkt en lokal bas som består av konvexa uppsättningar . Med hjälp av de så kallade Minkowski-funktionerna kan det visas att ett topologiskt vektorrum är lokalt konvext om och endast om dess topologi definieras med hjälp av en familj av seminormer . Villkoret för lokal konvexitet har länge varit just det koncept på vilket enbart en teori rik på tillämpningar kan byggas, eftersom utrymmen som inte är lokalt konvexa kan ha olika patologiska egenskaper och deras geometri kan vara för "onaturlig" för tillämpningar . Men för närvarande har teorin om lokalt avgränsade utrymmen (i allmänhet icke-konvexa) börjat utvecklas aktivt.
Barreled spaces : lokalt konvexa utrymmen där principen om enhetlig begränsning gäller .
Stereotypa utrymmen : lokalt konvexa utrymmen som uppfyller reflexivitetsvillkoret , där det dubbla utrymmet är försett med topologin av enhetlig konvergens på totalt avgränsade mängder.
Montelutrymmen : trumutrymmen som har Heine–Borel-egendomen .
Bornologiska utrymmen : lokalt konvexa utrymmen där kontinuerliga linjära operatorer med värden i lokalt konvexa utrymmen är exakt avgränsade linjära operatorer.
LF-mellanrum : LF-mellanrum är den induktiva gränsen för Fréchet-mellanrum. ILH-rum är projektiva gränser för Hilbert-rum.
F-rum : kompletta topologiska vektorrum med invariant (under skift) metrik. I synnerhet är alla mellanslag L p (p > 0) sådana.
Fréchet-rum : lokalt konvexa rum vars topologi ges av någon skiftinvariant metrik, eller motsvarande, av en räkningsbar familj av seminormer. Begreppet ett Fréchet-utrymme är en av de viktigaste generaliseringarna av begreppet ett Banach-utrymme. Många funktionsutrymmen av intresse är Fréchet-utrymmen. Ett Fréchet-utrymme kan också definieras som ett lokalt konvext F-utrymme.
Nuclear spaces : ett viktigt specialfall av Fréchet-utrymmen; i nukleära utrymmen är varje avgränsad kartläggning med värden i ett godtyckligt Banach-utrymme en kärnkraftsoperatör . Nukleära utrymmen, tillsammans med Banach-utrymmen, är Frechet-utrymmen av största intresse. I det här fallet bildar klasserna av kärn- och Banachutrymmen vid skärningspunkten en klass av ändliga dimensionella utrymmen.
Normerade utrymmen : lokalt konvexa utrymmen vars topologi ges av en norm . Linjära operatorer som verkar på normerade utrymmen är kontinuerliga om och endast om de är avgränsade.
Banach utrymmen : kompletta normerade utrymmen. De är föremål för studier av klassisk funktionsanalys; de flesta av analyssatserna är formulerade exakt för Banach-rum.
Reflexiva Banachmellanrum : Banachmellanrum är naturligt isomorfa till sin andra konjugation .
Hilbertrum : Banachrum vars norm genereras av en inre produkt ; trots det faktum att dessa utrymmen kan vara oändligt dimensionella, är deras geometriska egenskaper mycket nära dem för ändliga dimensioner.
Euklidiska rum : ändliga dimensionella Hilbert-rum. Varje lokalt kompakt Hausdorff topologiska vektorrum är isomorft (som ett topologiskt vektorrum) till något euklidiskt rum.

Anteckningar

↑ 1 2 Topologisk vektorrum // Mathematical Encyclopedic Dictionary / kap. ed. Yu. V. Prokhorov . - M., Soviet Encyclopedia , 1988. - sid. 582
↑ Kerin S. G. Funktionsanalys. - M., Nauka , 1972. - sid. 19-21

Litteratur

Shefer H. Topologiska vektorrum. — M.: Mir, 1971.
Bourbaki N. Topologiska vektorrum. — M.: Ed. utländsk lit., 1965.
Robertson A., Robertson V. Topologiska vektorrum. — M.: Mir, 1967.
Smolyanov O. G. Analys av topologiska linjära rum och dess tillämpningar : lärobok. ersättning. - M .: Moscow State Universitys förlag, 1979. - 86 sid.