Singular punkt på kurvan

En singular punkt i en kurva är en punkt i vars grannskap det inte finns någon jämn parametrisering. Den exakta definitionen beror på vilken typ av kurva som studeras.

Algebraiska kurvor i planet

En algebraisk kurva i ett plan kan definieras som en uppsättning punkter som uppfyller en ekvation av formen , där är en polynomfunktion : $\left(x,y\right)$ $f\left(x,y\right)=0$ $f\left(x,y\right)$ $f\colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$

f=a+b_{1}x+b_{2}y+c_{1}x^{2}+2c_{2}xy+c_{3}y^{2}+\dots

Om ursprunget tillhör kurvan, då . Om , Då garanterar den implicita funktionssatsen förekomsten av en jämn funktion , så att kurvan tar formen nära ursprunget. På samma sätt, om , så finns det en funktion sådan att kurvan uppfyller ekvationen i närheten av ursprunget. I båda fallen finns det en jämn mappning som definierar en kurva i ett område av ursprunget. Observera att i närheten av ursprunget för koordinater $\left(0,0\right)$ $a=0$ $b_{2}\not =0$ $g$ $y=g\left(x\right)$ $b_{1}\not=0$ $h$ $x=h\left(y\right)$ $\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$

b_{1}={\partial f \over \partial x},\,b_{2}={\partial f \over \partial y}.

Kurvans singularpunkter är de punkter på kurvan där båda derivatorna försvinner:

f(x,y)={\partial f \over \partial x}={\partial f \over \partial y}=0.

Vanliga prickar

Låt kurvan passera genom origo. Putting , kan det representeras i formen $y=mx$ $f$

f=(b_{1}+b_{2}m)x+(c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2})x^{2}+\dots

Om , då har ekvationen en lösning av multiplicitet 1 vid punkten och origo är punkten för en enda kontakt mellan kurvan och linjen . Om , då har en lösning av multiplicitet 2 eller högre vid punkten och linjen är tangent till kurvan. I detta fall, om , har kurvan dubbel kontakt med linjen . Om , och koefficienten vid inte är lika med noll, då är origo kurvans böjningspunkt . Detta resonemang kan appliceras på vilken punkt som helst på kurvan genom att flytta origo till en given punkt. [ett] $b_{1}+b_{2}m\not =0$ $f=0$ $x=0$ $y=mx$ $b_{1}+b_{2}m=0$ $f=0$ $x=0$ $y=mx$ $c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}\not =0$ $y=mx$ $c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}=0$ $x^{3}$

Dubbla prickar

Om i ovanstående ekvation och , men minst ett av värdena , eller inte är lika med noll, kallas ursprunget för en dubbelpunkt på kurvan. Sätt igen , så kommer det att ta formen $b_{1}=0$ $b_{2}=0$ $c_{1}$ $c_{2}$ $c_{3}$ $y=mx$ $f$

f=(c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2})x^{2}+(d_{1}+3d_{2}m+3d_{3}m ^{2}+d_{4}m^{3})x^{3}+\dots .

Dubbla punkter kan klassificeras genom rötterna av ekvationen . $c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}=0$

Självskärningspunkter

Om ekvationen har två reella lösningar i , det vill säga om , så kallas ursprunget för självskärningspunkten . Kurvan i detta fall har två olika tangenter som motsvarar två lösningar av ekvationen . Funktionen har i detta fall en sadelpunkt vid origo. $c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}=0$ $m$ $c_{2}^{2}-c_{1}c_{3}>0$ $c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}=0$ $f$

Isolerade punkter

Om ekvationen inte har några riktiga lösningar i , det vill säga om , så kallas ursprunget en isolerad punkt . På det verkliga planet kommer ursprunget för koordinaterna att vara isolerat från kurvan, men på det komplexa planet kommer ursprunget för koordinaterna inte att vara isolerat och kommer att ha två imaginära tangenter som motsvarar två imaginära lösningar av ekvationen . Funktionen har i detta fall ett lokalt extremum vid ursprunget. $c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}=0$ $m$ $c_{2}^{2}-c_{1}c_{3}<0$ $c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}=0$ $f$

Casps

Om ekvationen har en verklig lösning i multiplicitet 2, det vill säga om , så kallas ursprunget cusp , eller cusp . Kurvan i detta fall ändrar riktning vid singularispunkten och bildar en cusp. Kurvan vid origo har en enda tangent, vilket kan tolkas som två sammanfallande tangenter. $c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}=0$ $m$ $c_{2}^{2}-c_{1}c_{3}=0$

Ytterligare klassificering

Termen knut ( engelsk node ) används som ett allmänt namn för isolerade punkter och självskärningspunkter. Antalet noder och antalet cusps i en kurva är två invarianter som används i Plückers formler .

Om en av lösningarna till ekvationen också är en lösning till ekvationen , då har motsvarande gren av kurvan en böjning vid origo. I det här fallet kallas ursprunget för koordinater för självtangenspunkten . Om båda grenarna har denna egenskap, är en divisor , och ursprunget kallas en biflektoidal punkt (dubbelkontaktpunkt). [2] $c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2}=0$ $d_{1}+3d_{2}m+3d_{3}m^{2}+d_{4}m^{3}=0$ ${\displaystyle c_{1}+2c_{2}m+c_{3}m^{2))$ ${\displaystyle d_{1}+3d_{2}m+3d_{3}m^{2}+d_{4}m^{3))$

Flera prickar

I det allmänna fallet, när alla termer med grad mindre än är lika med noll, och förutsatt att minst en term med grad inte är lika med noll, säger vi att kurvan har en multipelpunkt av ordningen k . I det här fallet har kurvan tangenter vid origo, men några av dem kan vara imaginära eller sammanfalla. [3] $k$ $k$ $k$

Parametriska kurvor

En parametrisk kurva i R 2 definieras som bilden av funktionen g : R → R 2 , g ( t ) = ( g 1 ( t ), g 2 ( t )). De singulära punkterna i en sådan kurva är de punkter där

{dg_{1} \over dt}={dg_{2} \over dt}=0.

Många kurvor kan anges i båda vyerna, men de två uppdragen stämmer inte alltid överens. Till exempel kan cuspen hittas både för den algebraiska kurvan x 3 − y 2 = 0 och för den parametriska kurvan g ( t ) = ( t 2 , t 3 ). Båda kurvdefinitionerna ger en singular punkt vid origo. Däremot är självskärningspunkten kurvan y 2 − x 3 − x 2 = 0 vid origo singular för en algebraisk kurva, men när g ( t ) = ( t 2 −1, t ( t ) 2 −1)) är parametriskt specificerad, parderivatorna g ′( t ) försvinner aldrig, och därför är punkten inte singular i ovanstående mening.

Försiktighet måste iakttas vid val av parametrering. Till exempel kan linjen y = 0 parametriskt definieras som g ( t ) = ( t 3 , 0 ) och kommer att ha en singular punkt vid origo. Om den däremot parametriseras som g ( t ) = ( t , 0 ), kommer den inte att ha singulära punkter. Således är det tekniskt mer korrekt att tala om singulära punkter i en jämn mappning snarare än singulära punkter i en kurva.

Ovanstående definitioner kan utökas till implicita kurvor , som kan definieras som mängden nollor f −1 (0) för en godtycklig jämn funktion . Definitionerna kan även utvidgas till kurvor i högre dimensionella utrymmen.

Enligt Hassler Whitneys sats , [4] [5] är varje sluten mängd i R n en mängd lösningar f −1 (0) för någon jämn funktion f : R n → R . Därför kan vilken parametrisk kurva som helst definieras som en implicit kurva.

Typer av singulära punkter

Exempel på singular punkter av olika typer:

Isolerad punkt : x 2 + y 2 \u003d 0,
Skärning av två linjer : x 2 − y 2 = 0,
Casp ( cusp ): x 3 − y 2 = 0,
Näbbformad spets: x 5 − y 2 = 0.

Se även

Anteckningar

↑ Hilton Kapitel II § 1
↑ Hilton Kapitel II § 2
↑ Hilton Kapitel II § 3
↑ Brooker och Larden. Differentiella bakterier och katastrofer. — London Mathematical Society. Föreläsningsanteckningar 17. Cambridge. — 1975.
↑ Bruce och Giblin, Curves and singularities , (1984, 1992) ISBN 0-521-41985-9 , ISBN 0-521-42999-4 (pocket)

Litteratur

Harold Hilton. Plana algebraiska kurvor . — Oxford, 1920.