Ultrafinitism

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 19 augusti 2022; kontroller kräver 2 redigeringar .

Ultrafinitism (även känd som ultraintuitionism [1] , strikt formalism [2] , strikt finitism [2] , aktualism [1] , predikativism [2] [3] och stark finitism ) [2]  är en extrem form av finitism , manifesterad i ett antal matematiska och filosofiska och matematiska begrepp och teorier. Gemensamt för alla former av matematisk finitism är vägran att använda en intuitivt tveksam abstraktion av faktisk oändlighet, till exempel en oändlig uppsättning naturliga tal som en komplett, fullbordad i konstruktionen av ett objekt; ultrafinitism, å andra sidan, förnekar eller betraktar potentiell oändlighet, det vill säga möjligheten att konstruera godtyckligt stora konstruktiva objekt, som en abstraktion med lite innehåll; som en konsekvens av detta förnekas till exempel tillämpligheten av aritmetiska operationer på alla naturliga tal.

Bakgrund

Ultrafinitism fortsätter traditionerna för filosofisk finitism , som var mycket vanlig i den antika världen och på medeltiden, i synnerhet på grund av Aristoteles auktoritet , som förnekade faktisk oändlighet. I modern tid inom matematik är bildandet av dessa åsikter förknippat med framväxten av Georg Cantors naiva uppsättningsteorin , som fritt opererade på faktiska oändligheter, vilket ledde till upptäckten av ett antal paradoxer . Försök att eliminera paradoxer och bevisa matematikens överensstämmelse ledde i sin tur till uppkomsten och bildandet av ett antal nya matematiska trender - Hilberts finitism , formalism , logicism , intuitionism och konstruktivism . Efter uppkomsten av den axiomatiska mängdläran , som eliminerade mängdlärans huvudparadoxer , blev det mängdteoretiska tillvägagångssättet dominerande i undervisningen i matematik [4] , men konstruktivismen som ett självständigt område inom matematiken bevarades och utvecklades meningsfullt. Ultrafinitistiska matematikers åsikter kan betraktas som en fortsättning och extrem form av konstruktivism.

Argument

Ultrafinitism förnekar acceptansen av ändliga matematiska objekt vars konstruktionsalgoritm existerar, men som är så stora att denna algoritm inte kan implementeras på grund av fysiska begränsningar. Följaktligen förnekas också meningsfullheten av operationer med sådana objekt. Om Hilberts finitism och konstruktivism vägrar abstraktionen av den faktiska oändligheten, så vägrar ultrafinitismen att betrakta objekt som är "nästan" oändliga. I synnerhet förnekas förekomsten av heltalsdelen av det första Skewes-numret :

med motiveringen att ingen har kunnat beräkna detta naturliga tal, och det är osannolikt att detta är möjligt i princip. För att registrera Skewes-talet krävs ungefär decimalsiffror, vilket är betydligt större än antalet elementarpartiklar i den observerbara delen av universum, eftersom det inte finns fler av dem [5] .

Denna argumentation tilltalar dock sunt förnuft och är mer fysisk och filosofisk än matematisk. I denna mening är diskussionen kring akademiker-fysikern Zel'dovichs bok "Högre matematik för nybörjare och dess tillämpningar på fysik", som kritiserades hårt och rättvist ur klassisk matematiks synvinkel av akademiker-matematiker Pontryagin , intressant . Till exempel, Zel'dovichs definition av derivatan som ett förhållande mellan "tillräckligt små inkrement" förnekar inte bara behovet av att passera till gränsen, utan är inte alls en matematisk definition. Den akademiske matematikern och delvis fysikern Arnold fann ett starkt argument för försvar [6] :

Boken började med en chockerande definition av derivatan som ett förhållande mellan inkrement "under antagandet att de är tillräckligt små" [7] . Denna definition "fysiskt", hädande ur ortodox matematiks synvinkel, är naturligtvis helt berättigad, eftersom ökningar av en fysisk kvantitet mindre än säg 10 -100 är ren fiktion - strukturen av rum och tid på sådana skalor kan visa sig vara mycket långt från det matematiska kontinuumet.

Arnolds argumentation har formen av ett antagande, men det kan kompletteras med det obestridliga faktumet att till exempel differentialekvationen för värmeledning vid sådana skalor är meningslös, eftersom temperaturen är resultatet av medelvärdesbildningen av molekylers energier. Den klassiska definitionen av derivatan i detta fall är ohållbar på grund av frånvaron av en gräns. Men ekvationen tillåter högprecisionsberäkningar, eftersom Zel'dovichs definition fungerar.

Betydande framsteg i konstruktionen av en helt "ändlig" matematik uppnåddes av skaparen av alternativ mängdteori   Piotr Vopenka [8] [9] . Ultrafinitism, till skillnad från konstruktivism, har dock inte blivit en fullfjädrad trend inom matematiken och förblir huvudsakligen filosofin för vissa matematiker. Den konstruktivistiska logikern Anne Sherp Troelstra i sin grundläggande recension "Constructivism in Mathematics (1988)" [10] noterade "bristen på tillfredsställande utveckling" i den meningen att det helt enkelt inte finns några motsvarande verk om matematisk logik .

Forskare associerade med ultrafinitism

Yesenin-Volpin publicerade 1962 ett program för att bygga grunderna för ultrafinitistisk matematik [11] . Matematiker som har publicerat artiklar om ämnet ultrafinitism eller offentligt uttryckt nära åsikter inkluderar också Doron Zeilberger , Eduard Nelson , Rohit Jivanlal Parikh, och Jean-Paul van Bendegem , Piotr Wopenka, Robin Gandy .

Vissa matematiker anser inte att det är viktigt och nödvändigt att tala offentligt om matematikfilosofiska frågor som inte är grundläggande för dem, men de kan ha väldigt radikala åsikter. Till exempel karakteriserade den sovjetiske akademikern Ya. V. Uspensky i ett privat brev från 1926 mängdteorin som "Cantor-Lebesgue-skräp". [12]

Anteckningar

  1. ↑ 1 2 Internationell workshop om logik och beräkningskomplexitet, logik och beräkningskomplexitet , Springer, 1995, sid. 31.
  2. ↑ 1 2 3 4 _ Iwan (2000), " On the Untenability of Nelson's Predicativism  (otillgänglig länk) ", Erkenntnis 53 (1-2), pp. 147-154.
  3. ↑ Inte att förväxla med Russells predikativism.
  4. ↑ Akademikern V. V. Arnold karakteriserar formell set-teoretisk undervisning som "emasculated and dead" 1 Arkiverad 3 november 2019 på Wayback Machine
  5. ↑ Universums många ansikten Andrey Dmitrievich Linde, Stanford University (USA), professor . Hämtad 12 maj 2015. Arkiverad från originalet 10 maj 2015.
  6. ↑ V. I. Arnold. YaB och matematik . Hämtad 8 juli 2019. Arkiverad från originalet 3 november 2019.
  7. ↑ För att denna definition ska bli ultrafinitistisk-matematisk är det fortfarande nödvändigt att klargöra storleken på inkrementen.
  8. ↑ Vopěnka, P. Mathematics in the Alternative Set Theory. Teubner, Leipzig, 1979.
  9. ↑ Holmes, Randall M. Alternativa Axiomatic Set Theories Arkiverad 7 augusti 2019 på Wayback Machine i Stanford Encyclopedia of Philosophy .
  10. ↑ AS Troelstra, D. van Dalen. Konstruktivism i matematik
  11. ↑ Ésénine-Volpine, AS (1961), Le program ultra-intuitionniste des fondements des mathématiques, Infinitistic Methods (Proc. Sympos. Foundations of Math., Warszawa, 1959) , Oxford: Pergamon, sid. 201–223  Recensionerad av Kreisel, G. & Ehrenfeucht, A. (1967), Recension av Le Program Ultra-Intuitionniste des Fondements des Mathematiques av AS Ésénine-Volpine , The Journal of Symbolic Logic (Association for Symbolic Logic) . - T. 32 (4): 517 , DOI 10.2307/2270182 
  12. ↑ Ermolaeva N. S. Nytt material för biografin om N. N. Luzin. // Historisk och matematisk forskning . - M . : Nauka, 1989. - Nr 31 . - S. 193 .

Länkar