Langevins ekvation

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 22 oktober 2021; kontroller kräver 5 redigeringar .

Langevinekvationen är en stokastisk differentialekvation som beskriver Brownsk rörelse .

Den första ekvationen som Langevin studerade beskrev Brownsk rörelse vid en konstant potential, det vill säga accelerationen av en Brownsk massapartikel uttrycks i termer av summan av den viskösa friktionskraften, som är proportionell mot partikelns hastighet ( Stokes lag ) , brustermen (ett namn som används i fysiken för att hänvisa till en stokastisk process i differentialekvationer ) - på grund av kontinuerliga kollisioner av en partikel med vätskemolekyler, och - en systematisk kraft som uppstår från intramolekylära och intermolekylära interaktioner: $\mathbf {a}$ $m$ ${\mathbf v}$ ${\boldsymbol \eta }(t)$ ${\mathbf \Phi }({\mathbf x})$

m\mathbf{a} = m\frac{d^2\mathbf{x}}{dt^2} = \mathbf \Phi(\mathbf x) - \gamma \mathbf{v} + \boldsymbol\eta(t ).

Lösning av ekvationen

Låt oss skriva om Langevin-ekvationen utan yttre krafter. Dessutom, utan förlust av generalitet, kan endast en av koordinaterna beaktas.

m{\ddot x}=-{\frac {1}{B}}{\dot x}+F(t)

Vi antar att den slumpmässiga kraften uppfyller följande villkor:

\langle F(t)\rangle =0

\langle F(t_{1})F(t_{2})\rangle =b\delta (t_{1}-t_{2})

där b är någon konstant, som vi kommer att definiera senare, är Dirac delta-funktionen . Vinkelparenteser anger tidsgenomsnitt . Detta är den så kallade. delta-korrelerad slumpvariabel: dess autokorrelationsfunktion är lika med deltafunktionen. En sådan slumpmässig process kallas även vitt brus . $\delta (t_{1}-t_{2})$

Låt oss skriva om ekvationen i termer av hastighet:

{\dot v}=-\lambda v+{\frac Fm}

, var

\lambda ={\frac {1}{mB}}

Låt partikeln vid det första ögonblicket ha en hastighet . Vi kommer att leta efter en lösning i formen: , då får vi följande differentialekvation: $t=t_{0}$ $v_{0}$ $v(t)=u(t)\exp(-\lambda t)$ $u(t)$

{\dot u}(t)=\exp(\lambda t){\frac Fm}

Som ett resultat får vi det önskade uttrycket för hastigheten:

v(t)=v_{0}\exp(-\lambda t)+\exp(-\lambda t)\int \limits _{0}^{t}{\frac {F(\tau )}{m }}\exp(\lambda \tau )d\tau

Två viktiga relationer följer av detta:

$\langle v(t)\rangle =v_{0}\exp(-\lambda t)$ . Det vill säga att medelvärdet för hastigheten tenderar att bli noll över tiden.
$\langle v^{2}(t)\rangle =v_{0}^{2}\exp(-2\lambda t)+{\frac {b}{2\lambda m^{2}}}\vänster (1-\exp(-2\lambda t)\höger)$ . Medelkvadraten på hastigheten tenderar till värdet över tiden . Om vi antar att partikelns kinetiska energi tenderar till termisk energi över tiden, kan vi bestämma värdet på koefficienten : ${\frac {b}{2\lambda m^{2}}}$ $b$

b=2{\frac {k_{B}T}{B}}

Genom att omvandla det ursprungliga uttrycket kan du få det:

{\frac {d\left\langle x^{2}(t)\right\rangle }{dt))={\frac {2}{\lambda ))\left\langle \left({\ frac {dx}{dt}}\right)^{2}\right\rangle

\left\langle \mathbf {x} ^{2}\right\rangle =6k_{B}TBt

Var kommer Einstein-relationen ifrån :

D=k_{B}TB

där B är rörligheten för den Brownska partikeln .

Länkar

WT Coffee, Yu. P. Kalmykov, JT Waldron, The Langevin Equation, With Applications to Stokastical Problems in Physics, Chemistry and Electrical Engineering (Andra upplagan), World Scientific Series in Contemporary Chemical Physics - Vol 14. (Den första upplagan är Vol 10)
Reif, F. Fundamentals of Statistical and Thermal Physics , McGraw Hill New York, 1965. Se avsnitt 15.5 Langevin Ekvation