Oändligt impulssvarsfilter

Oändligt impulssvarsfilter ( Rekursivt filter , IIR-filter ) eller IIR-filter (IIR kort för oändligt impulssvar - oändligt impulssvar) - linjärt elektroniskt filter som använder en eller flera av dess utgångar som en ingång, det vill säga bildar en återkoppling . Den huvudsakliga egenskapen hos sådana filter är att deras impulssvar har en oändlig längd i tidsdomänen, och överföringsfunktionen har en fraktionerad rationell form. Sådana filter kan vara antingen analoga eller digitala .

Exempel på IIR-filter är Chebyshev- filtret , Butterworth- filtret , Kalman- filtret och Bessel-filtret .

Beskrivning

Dynamisk prestanda

Skillnadsekvationen som beskriver det diskreta IIR-filtret fastställer förhållandet mellan ingångs- och utsignalerna i tidsdomänen:

y(n)=b_{{0}}x(n)+b_{{1}}x(n-1)+\cdots +b_{{P}}x(nP)-a_{{1}}y (n-1)-a_{{2}}y(n-2)-\cdots -a_{{Q}}y(nQ)

var är ingångssignalens ordning, är insignalens koefficienter, är återkopplingsordningen, är återkopplingskoefficienterna , är insignalen och är utsignalen. $P$ $bi}}$ $F$ $a_{{i}}$ $x(n)$ $y(n)$

En mer kompakt notation för skillnadsekvationen:

y(n)=\summa _{{i=0}}^{P}b_{{i}}x(ni)-\summa _{{k=1}}^{Q}a_{{k}} y(nk)

För att hitta filterkärnan ställer vi in

x(n)=\delta(n)

var är deltafunktionen . $\delta(n)$

Då skrivs impulsövergångsfunktionen (filterkärnan) som

h(n)=\summa _{{i=0}}^{P}b_{{i}}\delta (ni)-\summa _{{k=1}}^{Q}a_{{k} }h(nk)

Z-transformen av impulssvaret ger IIR-filtrets överföringsfunktion:

H(z)={\frac {\summa _{{i=0}}^{P}b_{{i}}z^{{-i}}}{1+\summa _{{k=1} }^{Q}a_{{k}}z^{{-k}}}}

Hållbarhet

Stabiliteten hos ett filter med oändligt impulssvar bedöms av dess överföringsfunktion . För ett diskret filter är det nödvändigt och tillräckligt att alla poler i dess överföringsfunktion modulo är mindre än en (dvs. ligger innanför enhetscirkeln på z-planet ). Alla stabilitetskriterier som är tillämpliga i teorin för linjära stationära system , såsom Nyquist-stabilitetskriteriet eller Routh-stabilitetskriteriet, är också tillämpliga i fallet med IIR-filter.

Till skillnad från FIR-filter är IIR-filter inte alltid robusta.

Implementering av ett IIR-filter

Om en överföringsfunktion av formuläret övervägs:

H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {\summa _{{k=0}}^{{M}}b_{{k}}z^ {{-k}}}{1+\summa _{{k=1}}^{{N}}a_{{k}}z^{{-k}}}}={\frac {B(z )}{A(z)}},

då måste förhållandet mellan input och output från ett sådant system uppfylla differensekvationen:

y(n)=-\summa _{k=1}^{N}a(k)y(nk)+\summa _{k=0}^{M}b(k)x(nk)

Denna ekvation kan skrivas direkt från uttrycket för överföringsfunktionen, så formen för att konstruera kretsen som motsvarar denna ekvation kallas direktform 1.

När vi konstruerar ett IIR-filter kan vi för enkelhets skull anta att M=N. IIR-filter kan implementeras med hjälp av tre element eller grundläggande operationer: en multiplikator, en adderare och ett fördröjningsblock. Dessa element är tillräckliga för alla möjliga digitala filter. Alternativet som visas i figuren är en direkt implementering av typ 1 IIR-filter.

Eftersom uppsättningarna av koefficienter b(k) och a(k) motsvarar polynomen i täljaren B(z) och nämnaren A(z) för överföringsfunktionen H(z), är den direkta formen av IIR-filtret som visas i figur kan tolkas som en kaskadkoppling av två kretsar. Den första av dem implementerar nollor och har en överföringsfunktion B(z), och den andra implementerar poler och har en överföringsfunktion 1/A(z). Betecknar utsignalen från det första systemet w(n), skillnadsekvationen kan ersättas med ekvationssystemet:

y(n)=-\sum _{k=1}^{N}a(k)y(nk)+w(n),

w(n)=\sum _{k=0}^{M}b(k)x(nk)

vilket implementeras av strukturen som visas i figuren.

I diskreta system med konstanta parametrar beror förhållandet mellan ingång och utgång inte på ordningen för den kaskadkopplade anslutningen av block. Den andra direkta formen av att konstruera ett IIR-filter följer av denna egenskap. Om vi först realiserar polerna H(z) som motsvarar den högra sidan av blockschemat för den övre figuren, som har överföringsfunktionen 1/A(z), och sedan nollorna i överföringsfunktionen B(z), då vi får strukturen som visas i figur 2, som motsvarar systemekvationerna:

w(n)=-\sum _{k=1}^{N}a(k)w(nk)+x(n),

y(n)=\sum _{k=0}^{M}b(k)w(nk).

Genom att kombinera fördröjningslinjerna i strukturen som visas i den översta figuren får vi den direkta kanoniska formen av IIR-filtret:

I vissa fall, när det gäller brusprestanda, är ett filter implementerat i direkt form bättre än i kanonisk form.

Se även

Länkar

Den femte modulen i BORES Signal Processing DSP-kurs - Introduktion till DSP Arkiverad 6 juli 2012 på Wayback Machine