Parabolcylinderfunktioner

Parabolcylinderfunktioner ( Weberfunktioner ) är ett vanligt namn för specialfunktioner som är lösningar av differentialekvationer som erhålls genom att tillämpa metoden för separation av variabler för ekvationer inom matematisk fysik , såsom Laplace- ekvationen , Poisson- ekvationen , Helmholtz-ekvationen , etc. i paraboliskt cylinder koordinatsystem .

I det allmänna fallet är funktionerna hos en parabolcylinder lösningar av följande ekvation

{\frac {d^{2}f}{dz^{2}}}+\left(az^{2}+bz+c\right)f=0.\quad (1)

När du utför en linjär förändring av variabeln i denna ekvation erhålls följande ekvation:

{\frac {d^{2}f}{dz^{2}}}+\left(\nu +{\frac 12}-{\frac {z^{2}}{4}}\right)f =0,

vars lösningar kallas Weber- funktioner och betecknas $D_{\nu }(z).$

Funktionerna är lösningar av Weber-ekvationen, och för ett icke-heltal är funktionerna linjärt oberoende. För alla funktioner är också linjärt oberoende. $D_{\nu }(z),D_{\nu}(-z),D_{-\nu -1}(iz),D_{-\nu -1}(-iz)$ $\nu$ $D_{\nu}(z),D_{\nu}(-z)$ $\nu$ $D_{\nu }(z),D_{-\nu -1}(\pm iz)$

I praktiken används ofta andra paraboliska cylinderfunktioner - Hermite funktioner , som är lösningar av Hermitekvationen , som erhålls från ersättningen $(ett)$ $f(\alpha z+\beta )=e^{-z^{2}}y(z)$

{\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}-2z{\frac {dy}{dz}}+2\nu y=0.\qquad (2)

Hermitfunktionerna betecknas med den allmänna lösningen av ekvationen $H_{\nu }(z).$ $(2):$

y(z)=c_{1}H_{\nu}(z)+c_{2}\Phi \left(-{\frac {\nu}{2));{\frac {1}{ 2}};z^{2}\höger),

var är en degenererad hypergeometrisk funktion . $\Phi \left(\alpha ;\beta ;z\right)$

För ett icke-negativt heltal sammanfaller Hermite-funktionen med Hermite-polynomet . För ett negativt heltal uttrycks Hermite-funktionen i sluten form i termer av felfunktionen . $\nu$ $\nu$

Återkommande relationer och differentieringsformler

Återkommande relationer

D_{\nu }(z)={\dfrac {\Gamma (\nu +1)}{\sqrt {2\pi }}}\left(e^{{\frac {1}{2} }\nu \pi i}D_{-\nu -1}(iz)+e^{-{\frac {1}{2}}\nu \pi i}D_{-\nu -1}(-iz )\höger)

D_{\nu }(z)=zD_{\nu -1}(z)-(\nu -1)D_{\nu -2}(z)

H_{\nu }(z)=2zH_{\nu -1}(z)-2(\nu -1)H_{\nu -2}(z)

H_{\nu }(z)={\frac {2z}{2(\nu +1)))H_{\nu +1}(z)-{\frac {1}{2(\nu +1)))H_{\nu +2}(z)

2\nu ~H_{{\nu -1}}(z)+H_{{\nu +1}}(z)=2zH_{\nu}(z)

Differentieringsformler

{\frac {d}{dz}}~D_{\nu}(z)=-{\dfrac {1}{2}}zD_{\nu}(z)+\nu D_{{\nu -1} }(z)

{\frac {d}{dz}}~H_{\nu }(z)=2\nu H_{\nu -1}(z)

{\frac {d}{dz}}~H_{\nu}(z)-2zH_{\nu}(z)=-H_{{\nu +1}}(z)

{\frac {d}{dz}}{\Bigl [}e^{{-z^{2}}}~H_{\nu}(z){\Bigr ]}=-e^{{-z^ {2}}}H_{{\nu +1}}(z)

Integral representationer

Asymptotiskt beteende

Vid ursprunget

I oändligheten

Litteratur

Whittaker, Watson. Course of Modern Analysis, 1963, volym 2
Bateman, Erdeyi Higher Transcendental Functions, volym 2

HF Weber , "Über die Integration der partiellen Differentialgleichung " Math. Ann. , 1 (1869) sid. 1–36

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2))}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2))}+k^{2 }u=0

Länkar

Milton Abramowitz och Irene A. Stegun, red., Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables 1972, Dover: New York. kapitel 19 .
Weisstein, Eric W. Parabolcylinderfunktion. Från MathWorld - En Wolfram webbresurs.
Weisstein, Eric W. Parabolcylinder differentialekvation. Från MathWorld - En Wolfram webbresurs.