Weierstrass funktion

Weierstrass-funktionen är ett exempel på en kontinuerlig funktion som inte har någon derivata någonstans ; ett motexempel för Ampères gissningar .

Weierstrass-funktionen ges på hela den reella linjen av ett enda analytiskt uttryck

w(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b^{n}\cos(a^{n}\pi x),

där är ett godtyckligt udda tal som inte är lika med ett och är ett positivt tal mindre än ett. Denna funktionella serie är majoriserad av den konvergerande numeriska serien $a$ $b$

\sum _{n=0}^{\infty }b^{n},

därför är funktionen definierad och kontinuerlig för alla verkliga . Denna funktion har dock ingen derivata, åtminstone för $w$ $x$

ab>{\tfrac {3}{2}}\pi +1.

För att bevisa frånvaron av en derivata vid en godtycklig punkt , konstruera två sekvenser och , konvergerande till punkten , och bevisa att relationerna $x_{0}$ $\{x_{m}\}$ $\{y_{m}\}$ $x_{0}$

{\displaystyle {\frac {w(x_{m})-w(x_{0})}{x_{m}-x_{0))))

och

{\displaystyle {\frac {w(y_{m})-w(x_{0})}{y_{m}-x_{0))))

har olika tecken åtminstone när

ab>{\tfrac {3}{2}}\pi +1

och .

a>1

Dessa sekvenser kan definieras som

{\displaystyle x_{m}={\frac {\gamma _{m}-1}{a^{m))))

och

y_{m}={\frac {\gamma _{m}+1}{a^{m))},

var är närmaste heltal till . $\gamma _{m}$ ${\displaystyle a^{m}x_{0))$

Avsaknad av ett derivat på alla punkter under mer allmänna förhållanden

ab\geqslant 1

och

a>1

etablerades av Hardy . [ett]

Historisk bakgrund

År 1806 försökte Ampère [2] att bevisa analytiskt att varje "godtycklig" funktion är differentierbar överallt förutom för "exceptionella och isolerade" värden i argumentet. Samtidigt togs det som självklart möjligheten att dela upp ändringsintervallet för argumentet i delar där funktionen skulle vara monoton. Med dessa reservationer kan Amperes gissningar betraktas som en icke-strikt formulering av Lebesgues teorem [3] . Under första hälften av 1800-talet gjordes försök att bevisa Ampère-förmodan för en bredare klass, nämligen för alla kontinuerliga funktioner. 1861 gav Riemann sina lyssnare följande funktion som ett motexempel:

r(x)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin n^{2}x}{n^{2))},

dock är studiet av differentierbarheten av denna funktion extremt svårt. Joseph Gerver bevisade att denna funktion fortfarande har en derivata vid vissa rationella punkter först 1970 [ 4] .

1872 föreslog Weierstrass sitt eget motexempel, funktionen som beskrivs ovan , och presenterade ett rigoröst bevis på dess icke -differentieringsbarhet [5] . Detta exempel dök först upp i tryck 1875 i P. Dubois-Reymonds arbete [6] . $w$

Ett annat exempel beror på van der Waerden (1930):

v(x)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {\{10^{n}x\}}{10^{n}}},

där krulliga parenteser betyder att ta bråkdelen. [7]

Anteckningar

↑ Hardy GH Weierstrass icke-särskiljbara funktion // Trans-Amer. Matematik. Soc 17 (1916), sid. 301-325. Weierstrass nämnde dock även detta uttalande i ett brev till Dubois-Reymond 1873, se: Polubarinova-Kochina P. Ya Karl Weierstrass. Moskva: Nauka, 1985. sid. 229.
↑ Ampère, A. M. // Ecole Politechnique, 6 (1806), fasc. 13.
↑ Fig. F., S.-Nagy B. Föreläsningar om funktionsanalys. M.: Mir, 1979. S. 13.
↑ Gerver J. // American Journal of Mathematics, Vol. 92, nr. 1 (januari, 1970), sid. 33-55 Arkiverad 24 mars 2016 på Wayback Machine .
↑ Rapport av Weierstrass, uppläst vid Preussiska vetenskapsakademien den 18 juli 1872, publicerad i samlade arbeten (Weierstrass K. Werke. Bd. 2. Berlin, 1895. Abh. 6.).
↑ Du Bois-Reymond R. // J. fur Math., 79 (1875), sid. 21-37; Weierstrass var redaktör för denna tidskrift och rapporterade sitt motexempel i ett brev till Dubois-Reymond den 23 november 1873, se: Polubarinova-Kochina P. Ya Karl Weierstrass. Moskva: Nauka, 1985. sid. 229.
↑ Van der Waerden B. L. // Math. Zeitschr. 32 (1930), sid. 474-475.

Litteratur

Weierstrass K. Math. Werke . bd. 2. Berlin, 1895. Abh. 6.
Fikon. F., S.-Nagy B. Föreläsningar om funktionsanalys. M.: Mir, 1979.
Polubarinova-Kochina P. Ya Karl Weierstrass. Moskva: Nauka, 1985.