Distributionsfunktion (statistisk fysik)

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 28 maj 2019; kontroller kräver 2 redigeringar .

Den statistiska fördelningsfunktionen (fördelningsfunktionen i statistisk fysik) är sannolikhetstätheten i fasrummet . Ett av de grundläggande begreppen inom statistisk fysik . Kunskap om distributionsfunktionen bestämmer helt och hållet de probabilistiska egenskaperna hos det aktuella systemet.

Det mekaniska tillståndet för vilket system som helst bestäms unikt av koordinaterna och momenten för dess partiklar ( i=1,2,..., d ; d är antalet frihetsgrader för systemet). Uppsättningen av kvantiteter och bildar fasutrymmet . $q_{i}$ ${\displaystyle p_{i))$ ${\displaystyle q\equiv \left\{q_{i}\right\))$ ${\displaystyle p\equiv \left\{p_{i}\right\))$

Komplett statistisk distributionsfunktion

Sannolikheten att hitta ett system i ett element i fasutrymmet , med en punkt (q, p) inuti, ges av formeln: ${\displaystyle \mathrm {d} q\,\mathrm {d} p\equiv \prod \limits _{i}\mathrm {d} q_{i}\,\mathrm {d} p_{i))$

\mathrm {d} \omega =\rho \!\left(t,q,p\right)\mathrm {d} q\,\mathrm {d} p\qquad (1)

Funktionen kallas för den fullständiga statistiska fördelningsfunktionen (eller helt enkelt fördelningsfunktionen). I själva verket representerar den tätheten av representerande punkter i fasrummet. Funktionen uppfyller normaliseringsvillkoret : $\rho \!\left(t,q,p\right)$ $\rho \!\left(t,q,p\right)$

\int {\rho \!\left(t,q,p\right)\,\mathrm {d} q\,\mathrm {d} p}=1,\qquad (2)

och integralen tas över hela fasutrymmet. I det fall som motsvarar mekanik är systemet i ett visst mikroskopiskt tillstånd, det vill säga det har gett och , och sedan ${q}^{(0)}\equiv \left\{{q_{i}}^{(0)}\right\}$ ${p}^{(0)}\equiv \left\{{p_{i}}^{(0)}\right\}$

\rho \!\left(q,p\right)=\delta \!\left(qq^{(0)}\right)\,\delta \!\left(pp^{(0)} \höger),

där (δ är Dirac-funktionen ). Förutom sannolikheterna för olika mikroskopiska tillstånd själva, låter funktionen dig hitta det genomsnittliga statistiska värdet av vilken fysisk kvantitet som helst - en funktion av fasvariablerna q och p : $\delta \!\left(qq^{(0)}\right)\delta \!\left(pp^{(0)}\right)\equiv \prod \limits _{i}\delta \ !\left(q_{i}-{q_{i}}^{(0)}\right)\delta \!\left(p_{i}-{p_{i}}^{(0)}\right )$ $\rho \!\left(t,q,p\right)$ $F\!\left(t,q,p\right)$

\left\langle {\hat {F}}\right\rangle =\int ({\hat {F}}\,{\hat {\rho }}\,\mathrm {d} q\,\ mathrm {d}p},

där "cap" betyder beroende av fasvariabler, och parentesen är statistiskt medelvärde.

Låt oss dela upp systemet i små, men makroskopiska delsystem. Det kan hävdas att sådana delsystem är statistiskt oberoende på grund av sin svaga interaktion med omgivningen (endast partiklar nära delsystemets gräns deltar i interaktion med omgivningen; i fallet med ett makroskopiskt delsystem är deras antal litet jämfört med det totala antalet partiklar). Delsystemens statistiska oberoende leder till följande resultat för distributionsfunktionen

\rho \!\left(t,q,p\right)=\prod \limits _{n}\rho ^{(n)}\!\!\left(t,q^{(n) },p^{(n)}\right)\qquad(3)

Index n hänvisar till det n :e delsystemet. Var och en av funktionerna kan anses normaliserad i enlighet med villkor (2). I detta fall kommer funktionen också att normaliseras automatiskt . Begreppet statistiskt oberoende är ungefärligt. Jämlikhet (3) är i sin tur också ungefärlig: den tar inte hänsyn till korrelationerna mellan partiklar som tillhör olika delsystem. Det är dock betydelsefullt att under vanliga fysiska förhållanden försvagas korrelationerna snabbt när partiklar (eller grupper av partiklar) flyttar bort från varandra. Systemet har en karakteristisk parameter, korrelationsradien , utanför vilken partiklarna beter sig statistiskt oberoende. I delsystem med makroskopiska dimensioner ligger den stora majoriteten av partiklarna i ett delsystem utanför radien för korrelationer från partiklar från ett annat, och med avseende på dessa partiklar är likhet (3) giltig. $\rho ^{(n)}\!\left(t,q^{(n)},p^{(n)}\right)$ $\rho$

Matematiskt sett är inställning av den totala fördelningsfunktionen liktydigt med att ställa in ett oändligt antal oberoende storheter - dess värden på ett kontinuum av punkter i fasutrymmet av kolossal dimension 2d (för makroskopiska system d ~ , där är Avogadro-talet ). $\rho \!\left(t,q,p\right)$ $N_A$ $N_A$

Ofullständig beskrivning

I ett mer realistiskt fall av ofullständig mätning blir sannolikheterna för värden eller till och med medelvärdena för endast vissa fysiska storheter kända . Deras antal är vanligtvis mycket mindre än dimensionen av systemets fasutrymme. Sannolikhetsfördelningsfunktionen för värden ges av likheten ${\hat {A}}\equiv \left\{{\hat {A}}_{m}\right\}$ $\rho \!\left(A\right)$ $A$

\rho \!\left(A\right)=\int {\mathrm {d} q\,\mathrm {d} p\,\delta \!\left(A-{\hat {A)) \right)\rho \!\left(q,p\right)},

var . Distributionsfunktionen kan kallas ofullständig. Uppenbarligen tillåter det en att hitta sannolikheterna för värdena för endast fysiska kvantiteter , vars beroende av fasvariabler realiseras genom . För samma värden låter den dig hitta medelvärdena: $\delta \!\left(A-{\hat {A}}\right)\equiv \prod \limits _{m}\delta \!\left(A_{m}-{\hat {A} }_{m}\right)$ $\rho \!\left(A\right)$ ${\hat {f}}\equiv f\!\left({\hat {A}}\right)$ ${\hat {A}}$

\left\langle {\hat {f}}\right\rangle =\int {\mathrm {d} A\,f\!\left(A\right)\,\rho \!\left(A \höger)},

var och integration utförs över alla möjliga värden av . Naturligtvis kunde medelvärdena för kvantiteterna hittas med hjälp av totalfördelningsfunktionen , om den var känd. För funktionen , såväl som för fullfördelningsfunktionen, är normaliseringsvillkoret sant: ${\displaystyle \mathrm {d} A\equiv \prod \limits _{m}\mathrm {d} A_{m))$ $A$ $\left\langle {\hat {f}}\right\rangle$ ${\hat {f))$ $\rho \!\left(t,q,p\right)$ $\rho \!\left(A\right)$

\int {\mathrm {d} A\,\rho \!\left(A\right)}=1

Beskrivningen av ett system som använder en funktion kallas en ofullständig beskrivning. Specifika exempel är beskrivningen med hjälp av fördelningsfunktionen för koordinaterna och momentan för individuella partiklar i systemet eller beskrivningen med hjälp av medelvärdena för massorna , momentan och energierna för enskilda delsystem i hela systemet. $\rho \!\left(A\right)$

Tidsutveckling av distributionsfunktionen

Tidsutvecklingen av fördelningsfunktionen följer Liouvilles ekvation :

{\frac {\partial {\hat {\rho ))\!\left(t\right)}{\partial t))+i\,L_{t}\,{\hat {\rho } }\!\left(t\right)=0,\qquad(4)

var agerar Liouville-operatören i utrymmet för fasfunktioner: ${\displaystyle L_{t))$

L_{t}\,\cdot \equiv -i\left\({\hat {H))_{t},\cdot \right\}\equiv -i\sum \limits _{j}\ vänster({\frac {\partial {\hat {H}}_{t}}{\partial p_{j}}}{\frac {\partial }{\partial q_{j}}}-{\frac { \partial {\hat {H}}_{t}}{\partial q_{j}}}{\frac {\partial }{\partial p_{j}}}\right)

${\hat {H}}_{t}$ är systemets Hamilton-funktion . I fallet när Liouville-operatören inte är beroende av tid ( ), har lösningen till ekvation (4) formen $L_{t}=L$

{\hat {\rho }}\!\left(t\right)=e^{-itL}{\hat {\rho }}\!\left(0\right)\qquad (5)

För att använda (5) för att faktiskt konstruera en lösning behöver man känna till operatörens egenfunktioner och egenvärden . ${\displaystyle {\hat {\psi }}^{(n)))$ $L^{(n)}$ $L$

Med hjälp av fullständighet och ortonormalitet skriver vi: ${\displaystyle {\hat {\psi }}^{(n)))$

{\displaystyle {\hat {\rho }}\!\left(0\right)=\sum \limits _{n}c_{n}{\hat {\psi }}^{(n)))

där ( spektrumet antas vara diskret). Som ett resultat får vi $c_{n}=\left({\hat {\psi }}^{(n)},{\hat {\rho }}\!\left(0\right)\right)$

{\displaystyle {\hat {\rho }}\!\left(t\right)=\sum \limits _{n}e^{-i\cdot t\cdot L^{(n)))c_{n }\,{\hat {\psi }}^{(n)))

Se även

Delfördelningsfunktion

Litteratur

Gibbs J. V. "Basic Principles of Statistical Mechanics" - M. - L., 1946. // Reprinted: Publishing House "Regular and Chaotic Dynamics", 2002. - 204 sid. ISBN 5-93972-127-3 .
Balescu R. Jämvikts- och icke-jämviktsstatistisk mekanik. I två volymer. — M.: Mir, 1978.
Berezin F. A. Föreläsningar om statistisk fysik. - Moskva - Izhevsk: Institutet. datorforskning, 2002. - 192s. (2:a upplagan, Rev. Förlag: MTSNMO, 2008. - 200 s. ISBN 978-5-94057-352-4 )
Bogolyubov NN Problem med dynamisk teori i statistisk fysik. — M. — L.: OGIZ. Gostekhizdat , 1946.
Bogolyubov NN Utvalda verk om statistisk fysik . - M .: Moscow State Universitys förlag, 1979.
Bogolyubov N. N. Samling av vetenskapliga verk. I 12 band. Vol 5: Nonequilibrium Statistical Mechanics, 1939-1980. — M.: Nauka, 2006. ISBN 5020341428 .
Vlasov AA Icke-lokal statistisk mekanik . — M.: Nauka, 1978.
Zubarev D. N. , Morozov V. G., Repke G. Statistisk mekanik för icke-jämviktsprocesser. Volym 1. - M .: Fizmatlit , 2002. - 432 sid. ISBN 5-9221-0211-7 , ISBN 5-9221-0210-9 .
Prigogine I. Nonequilibrium Statistical Mechanics . - Förlag: Editorial URSS, 2005. - 312 sid. ISBN 5-354-01004-7
Khinchin A. Ya. Matematiska grunder för statistisk mekanik. - Publishing House: Regular and Chaotic Dynamics, 2003. - 128s. ISBN 5-93972-273-3
Ruel D. Statistisk mekanik. Strikta resultat . — M.: Mir, 1971. — 368s.
Krylov NS Arbetar med att underbygga statistisk fysik . - M.-L .: Från USSRs vetenskapsakademi, 1950.
Kubo R. Statistisk mekanik. — M.: Mir, 1967.
Landau L. D. , Lifshits E. M. Statistisk fysik. Del 1. - (" Teoretisk fysik ", volym V).
Terletsky Ya. P. Statistisk fysik. (2:a upplagan). - M .: Högre skola, 1973.
Uhlenbeck J. , Ford J. Föreläsningar om statistisk mekanik. — M.: Mir, 1965.]
Huang K. Statistisk mekanik . — M.: Mir, 1966.

Ordböcker och uppslagsverk	Stor ryss Britannica (online)