Baker-Hegner-Starks sats

Baker-Hegner-Stark-satsen [1]  är ett påstående inom algebraisk talteori om exakt vilka kvadratiska komplexa talfält som tillåter en unik nedbrytning i dess ring av heltal . Satsen löser ett specialfall av det Gaussiska problemet med antalet klasser , där det krävs för att bestämma antalet imaginära kvadratiska fält som har ett givet fast antal klasser .

Det algebraiska talfältet (där  är ett heltal som inte är en kvadrat) är en finit förlängning av fältet med rationella tal av ordning 2, kallad en kvadratisk förlängning. Antalet fältklasser  är antalet ekvivalensklasser för idealen i fältets heltalring , där två ideal och är ekvivalenta om och endast om det finns huvudideal ) och , så att . Då är fältets heltal en principiell idealdomän (och därmed en domän med en unik nedbrytning ) om och bara om antalet fältklasser är lika med 1. Baker-Hegner-Stark-satsen kan alltså formuleras som följer: om , då är antalet fältklasser lika med 1 om och endast om:

.

Dessa nummer är kända som Hegner-nummer .

Genom att ersätta -1 med -4 och -2 med -8 (vilket inte ändrar marginalen) kan listan skrivas på följande sätt [2] :

,

där tolkas som diskriminant (av antingen ett algebraiskt fält eller en elliptisk kurva med komplex multiplikation ). Detta är ett mer standardiserat tillvägagångssätt, eftersom då är den grundläggande diskriminanten .

Historik

Hypotesen formulerades av Gauss i punkt 303 i Arithmetic Investigations . Det första beviset gavs av Kurt Hegner 1952 , men det innehöll ett antal tekniska brister och accepterades inte av matematiker förrän Harold Stark gav ett fullständigt rigoröst bevis 1967, vilket hade mycket gemensamt med Hegners arbete. [3] . Hegner "dog innan någon riktigt förstod vad han hade gjort" [4] . Andra tidningar gav liknande bevis med hjälp av modulära funktioner, men Stark koncentrerade sig enbart på att fylla i Hegners luckor och slutförde det till slut 1969 [5] .

Alan Baker gav ett helt annat bevis något tidigare ( 1966 ) av Starks arbete (närmare bestämt reducerade Baker resultatet till ett ändligt antal beräkningar, även om Stark redan hade utfört dessa beräkningar i 1963/4 avhandlingarna) och fick Fields Prize för hans metoder. Stark påpekade senare att Bakers bevis, med hjälp av linjära former i 3 logaritmer, kunde reduceras till 2 logaritmer om resultatet hade varit känt 1949 för Gelfond och Linnik [6] .

I en tidning från 1969 citerade Stark [5] också en text från 1895 av Heinrich Martin Weber och noterade att om Weber hade "noterat att reducerbarheten [av vissa ekvationer] leder till en diofantisk ekvation , kunde klassnummerproblemen ha lösts efter 60 år sedan." Brian Birch observerade att Webers bok, och faktiskt hela området för modulära funktioner, föll ur övervägande i ett halvt sekel: "Tyvärr fanns det 1952 ingen kvar som var tillräckligt expert på Webers algebra för att uppskatta Hegners prestation" [7] .

Deuring, Siegel och Choula gav ett något annorlunda bevis baserat på modulära funktioner direkt efter Stark [8] . Andra versioner i den här genren har dykt upp under åren. Till exempel, 1985 gav Monsour Kenku ett bevis med hjälp av Klein quartic (men också med modulära funktioner) [9] . Sedan 1999 gav Yiming Chen en annan version av beviset med hjälp av modulära funktioner (enligt Siegels skiss) [10] .

Gross och Zagirs (1986) [11] arbete i kombination med Goldfelds (1976) ger också ett alternativt bevis [4] .

Verkligt fall

Det är inte känt om det finns oändligt många för vilka antalet klasser har 1. Beräkningsresultat visar att det finns många sådana fält; en lista över numeriska fält bibehålls med antalet klasser 1 .

Anteckningar

  1. ↑ Elkies ( Elkies 1999 ) hänvisar till satsen som Hegner-Stark-satsen (som har ett gemensamt ursprung med Stark-Hegner-punkterna på Darmons artikelsida ( Darmon 2004 )), men omnämnandet utan Bakers namn är atypiskt. Chowla ( 1970 ) lade felaktigt till Duering och Siegel till titeln på sin artikel.
  2. ↑ Elkies, 1999 , sid. 93.
  3. ↑ Stark, 2011 , sid. 42.
  4. ↑ 12 Goldfeld , 1985 .
  5. ↑ 12 Stark, 1969a .
  6. ↑ Stark, 1969b .
  7. ↑ Björk, 2004 .
  8. ↑ Chowla, 1970 .
  9. ↑ Kenku, 1985 .
  10. ↑ Chen, 1999 .
  11. ↑ Gross, Zagier, 1986 .

Litteratur