Arnold språk

Arnold-språk - i teorin om dynamiska system , området för rationalitet för rotationsnumret i en tvåparameterfamilj av homeomorfismer av cirkeln , som börjar (vid nollvärdet av en av parametrarna) med rena rotationer.

Förklaring av problemet

Tänk på familjen med cirkelhomeomorfismer

f_{\alpha ,\varepsilon }(x)=x+\alpha +\varepsilon \sin(2\pi x),\quad x,\alpha \in S^{1}=\mathbb {R} / \mathbb {Z} ,\,\varepsilon \in [0,1/10].

För denna familj kan vi överväga en funktion som tilldelar parametrarna rotationsnumret för motsvarande homeomorfism. Uppsättningarna av punkter där det tar rationella värden, $\rho (\alpha ,\varepsilon )$ $(\alpha ,\varepsilon )$

E_{p/q}:=\{(\alpha ,\varepsilon )\mid \rho (\alpha ,\varepsilon )=p/q\},

och kallas Arnoldspråk .

Beskrivning av beteende

När displayen är en rotation med en vinkel . Följaktligen, , och det rationella värdet tas endast vid motsvarande punkt $\varepsilon=0$ ${\displaystyle f_{\alpha ))$ $\alfa$ $\rho (\alpha ,0)=\alpha$ $p/q$ $\alpha =p/q$

Tvärtom, för godtyckligt liten för varje , visar sig skärningen med det horisontella segmentet vara ett segment. Detta beror på att, som Poincarés sats säger , rotationstalet är rationellt med nämnaren q om och endast om avbildningen har en fast punkt. På motsvarande sätt, eftersom familjen är monoton för alla fasta värden, observeras en sekvens av bifurkationer med ökande : $\varepsilon _{0}>0$ $p/q$ ${\displaystyle E_{p/q))$ ${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon _{0))$ $f^{q}$ ${\displaystyle f_{\alpha ,\varepsilon ))$ $\varepsilon$ $\alfa$ $\alfa$

Först (på den vänstra kanten ) visas y en halvstabil periodisk omloppsbana av periodpunkt (eller flera sådana banor uppträder samtidigt); alla punkter som inte hör till sådana banor tenderar till dem och driver "medurs" (i riktning mot att minska ). ${\displaystyle E_{p,q}\cap \{\varepsilon =\varepsilon _{0}\))$ $f_{\alpha ,\varepsilon _{0))$ $q$ $x$
Dessa banor bryts omedelbart upp i stabila och instabila; stabila driver moturs med ökande parameter och instabila driver medurs. $\alfa$
Under ett visst intervall av parametrar driver periodiska punkter, kanske nya banor föds eller gamla banor förstörs. $\alfa$
Slutligen visar det sig vid något tillfälle att alla tillgängliga banor har gått samman till en eller flera halvstabila banor, vars drift dessutom går moturs - i positiv riktning. Detta är den rätta gränsen - med en godtyckligt liten ytterligare ökning försvinner periodens periodiska punkter (och rotationsnumret ökar därmed strikt). ${\displaystyle E_{p,q}\cap \{\varepsilon =\varepsilon _{0}\))$ $\alfa$ $q$

Det enda möjliga beteendet för en analytisk diffeomorfism där det ovan beskrivna scenariot inte håller är en diffeomorfism av ändlig ordning: om kartläggningen för vissa är identisk, så består den motsvarande av en enda punkt . Men överväganden om komplex analys visar lätt att detta inte händer för den familj som betraktas ovan. $\alfa$ $f_{\alpha ,\varepsilon _{0}}^{q}$ ${\displaystyle E_{p,q}\cap \{\varepsilon =\varepsilon _{0}\))$ $(\alpha ,\varepsilon _{0})$

När vi sammanfattar allt ovan ser vi att mängden är ett slags "språk", "växer" från en punkt och avgränsas av två kontinuerliga kurvor. ${\displaystyle E_{p/q))$ $(p/q,0)$

Med hjälp av Denjoy-satsen och monotonitetsöverväganden är det också lätt att se att för varje irrationell mängd är en kontinuerlig kurva som börjar från punkten . $\varphi$ ${\displaystyle E_{\varphi }=\{\rho (\alpha ,\varepsilon )=\varphi \))$ $(\varphi ,0)$

Det är värt att notera att för varje fast rotationsnummer som en funktion av parametern är Cantor-stegen. Till skillnad från den vanliga konstruktionen av Cantor-stegen visar sig Cantor-uppsättningen av dess tillväxtpunkter (stängningen av uppsättningen parametrar som motsvarar irrationella rotationstal) ha ett positivt Lebesgue-mått . $\varepsilon >0$ $\alfa$ $\alfa$

Länkar

Katok A. B. , Hasselblat B. Introduktion till den moderna teorin om dynamiska system / övers. från engelska. A. Kononenko med deltagande av S. Ferleger. - M . : Factorial, 1999. - 768 sid. — ISBN 5-88688-042-9 .