*-algebra

*-algebra ( algebra med involution , algebra med konjugation ) är en associativ algebra med involution , som har egenskaper som liknar komplex konjugation .

*-ring

*-ring är en ring med den unära operationen *, vilket är

en anti-automorfism , alltså

\ (x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}

\ (xy)^{*}=y^{*}x^{*}

\ 1^{*}=1

och involution , det vill säga

\ (x^{*})^{*}=x.

En sådan ring kallas även involutionsring .

*-algebra

*-algebra A är en *-ring, som är en associativ algebra över en annan *-ring R , med operationsmatchning * i $R\delmängd A.$

Basen *-ringen är vanligtvis komplexa tal (där * är komplex konjugation).

Då är * konjugat-linjär, det vill säga

(\lambda x+\mu y)^{*}=\lambda ^{*}x^{*}+\mu ^{*}y^{*}\quad \lambda ,\mu \in R;\;\ ;x,y\i A

*-homomorfism är en algebrahomomorfism som mappar en involution i A till en involution i B , det vill säga: $\f:A\till B$

f(x^{*})=f(x)^{*}\quad \forall x\in A.

Elementen för vilka kallas självadjoint , symmetrisk eller Hermitian . $\x^{*}=x$
Elementen för vilka kallas skew-conjugate , anti-symmetrisk eller anti-hermitian . $\x^{*}=-x$
Det är möjligt att definiera den hermitiska formen med hjälp av *-operationen i formuläret . $\phi (x,y)=x^{*}\cdot y$

C*-algebra

C*-algebra är en Banach *-algebra över fältet av komplexa tal, för vilken C*-egenskapen är uppfylld :

\|x^{*}x\|=\|x\|\|x^{*}\|,

\|xx^{*}\|=\|x\|\|x^{*}\|.

Båda villkoren är likvärdiga.

De är också likvärdiga med B*-egenskapen

\|xx^{*}\|=\|x\|^{2}.

Exempel

Det mest kända exemplet är komplexa tal med konjugering. $\mathbb {C}$
Kvadratiska matriser med komplexa element med Hermitian Conjugation Operation .
Hermitisk konjugation av en linjär operator i ett Hilbertrum .

Egenskaper

Många konjugationsegenskaper för komplexa tal lagras i *-algebror:

Om element 2 i ringen är inverterbart så är och ortogonala idempotenta . Som ett vektorrum sönderdelas algebra till en direkt summa av delrum av symmetriska och antisymmetriska (hermitiska och antihermitiska) element. ${\frac 12}(1-*)$ ${\frac 12}(1+*)$
De hermitiska elementen i *-algebra bildar Jordanalgebra .
De anti-hermitiska elementen i *-algebra bildar Lie-algebra .

Notation

Involutionsoperationen skrivs vanligtvis som en asterisksymbol ( asterisk ), indikerad efter operanden, som är i nivå med mittlinjen eller något upphöjd ovanför den:

x ↦ x *

eller

x ↦ x ∗ ( Τ Ε Χ :x^*),

men inte " x ∗ " eftersom asterisksymbolen för binära operationer är under mittlinjen. Ibland används också en accent x , som i komplex konjugation, eller x † (ett upphöjt typografiskt kors ).

Se även

Operatörsalgebror
Cayley-Dixon-proceduren konstruerar ibland en *-algebra

Bibliografi

H. G. Dales, Banach algebras and automatic continuity , Clarendon Press, Oxford, 2000, sid. 142-150.