3-3 duoprisism

3-3 duoprism Schlegel-diagram
typ	Homogen duoprism
Schläfli symbol	{3}×{3} = {3} 2
Coxeter-Dynkin diagram
celler	6 triangulära prismor
ansikten	9 rutor , 6 trianglar
revben	arton
Toppar	9
Vertex figur	Isoedrisk tetraeder
Symmetri	[[3,2,3]] = [6,2 + ,6], ordning 72
Dubbel	3-3 duopyramid
Egenskaper	konvex , vertexhomogen , facetttransitiv

En 3-3 duoprism eller triangulär duoprism , den minsta av pq - duoprismerna , är en fyrdimensionell polyeder som erhålls genom den direkta produkten av två trianglar.

Polyedern har 9 hörn, 18 kanter, 15 ytor (9 kvadrater och 6 trianglar ) i 6 celler i form av triangulära prismor . Den har ett Coxeter-diagram och symmetri [[3,2,3]] av ordning 72. Dess hörn och kanter bildar en torngraf . $3 gånger 3$

Hypervolym

Hypervolymen för en homogen 3-3 duoprism med kanter av längd a är lika med . Det beräknas som kvadraten på arean av en vanlig triangel , . $V_{4}={3 \over 16}a^{4}$ $A={{\sqrt {3}} \over 4}a^{2}$

Bilder

Ortografiska projektioner

Skanna	Vertexperspektiv	3D-perspektivprojektion med 2 olika rotationer

Symmetri

I 5-dimensionella utrymmen har vissa enhetliga polyedrar 3-3 duoprismer som vertexfigurer , några med olika kantlängder och därför mindre symmetri:

Symmetri	[[3,2,3]], order 72	[3,2], ordning 12
Coxeter diagram
Schlegel diagram
namn	t 2 α 5	t 03 α 5	t 03 γ 5	t 03 β 5

Bi-upprätade 16-cells honeycombs har också 3-3 duoprismer som vertexfigurer . Det finns tre konstruktioner för bikakor med två mindre symmetrier.

Symmetri	[3,2,3], ordning 36	[3,2], ordning 12	[3], ordning 6
Coxeter diagram
Sned ortogonal projektion

Relaterade komplexa polygoner

Vanlig komplex polytop 3 {4} 2 ,c har en verklig representation som en 3-3 duoprism i ett 4-dimensionellt rum. 3 {4} 2 har 9 hörn och 6 3-kanter. Dess symmetrigrupp 3 [4] 2 har ordning 18. Polyedern har också en konstruktion med mindre symmetri $\mathbb {C} ^{2}$ eller 3 {}× 3 {} med symmetri 3 [2] 3 av ordning 9. Denna symmetri uppstår om röda och blå 3-kanter anses vara olika [1] .

perspektivprojektion	Ortografisk projektion med sammanfallande mittpunkt	Offset ortogonal projektion för att undvika överlappande element.

Relaterade polytoper

k 22 figurer i n-dimensionella rum

Plats	slutlig			euklidisk	Hyperbolisk
n	fyra	5	6	7	åtta
Coxeter grupp	2A2 _	A5 _	E 6	${\tilde {E}}_{6}$ = E6 +	${\bar{T}}_7$ = E6 ++
Coxeter diagram
Symmetri	[[3 2,2,-1 ]]	[[3 2,2,0 ]]	[[3 2,2,1 ]]	[[3 2,2,2 ]]	[[3 2,2,3 ]]
Ordning	72	1440	103,680	∞
Graf				∞	∞
namn	-1 22	0 22	1 22	222 _	3 22

3-3 duopyramid

3-3 duopyramider
typ	Homogen dubbel duopyramid
Schläfli symbol	{3}+{3} = 2{3}
Coxeter diagram
celler	9 isoedriska tetraedrar
grpani	18 likbenta trianglar
revben	15 (9+6)
Toppar	6 (3+3)
Symmetri	[[3,2,3]] = [6,2 + ,6], ordning 72
Dubbel	3-3 duoprisism
Egenskaper	konvex , vertexhomogen , facetttransitiv

Den dubbla polyhedronen för en 3-3 duopyramid kallas en 3-3 duopyramid eller en triangulär duopyramid . Den har 9 celler i form av isoedriska tetraedrar , 18 triangulära ytor, 15 kanter och 6 hörn.

En polyeder kan ses i ortogonal projektion som en 6-gon där kanter förbinder alla par av hörn, precis som i en 5-simplex .

ortogonal projektion Associerad komplex polygon

Den komplexa polygonen 2 {4} 3 har 6 hörn in med en reell representation i med samma arrangemang av hörn som i 3-3 duopyramiden. Polyedern har 9 2-kanter som motsvarar duopyramidens 3-3 kanter, men de 6 kanterna som förbinder de två trianglarna ingår inte. Den kan ses i hexagonal projektion med 3 uppsättningar färgade kanter. Detta arrangemang av hörn och kanter ger en komplett tvådelad graf , där varje hörn i en triangel är ansluten till varje hörn i en annan. Grafen kallas även Thomsen-grafen eller 4 -cell [2] . $\mathbb {C} ^{2}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4))$

2 {4} 3 med 6 hörn (blå och röd) förbundna med 9 2-kanter som en komplett tvådelad graf .	Grafen har 3 uppsättningar med 3 kanter som visas i färg.

Se även

Anteckningar

↑ Coxeter, 1991 .
↑ Coxeter, 1991 , sid. 110, 114.

Litteratur

Coxeter HSM Regular Polytopes . - 3:a (1947, 63, 73). - New York: Dover Publications Inc., 1973. - ISBN 0-486-61480-8 .
Coxeter HSM Kapitel 5: Regular Skew Polyhedra in three and four dimensions and their topological analogs // The Beauty of Geometry: Twelve Essays . - Dover Publications, 1999. - S. 212-213 . - ISBN 0-486-40919-8 .
- Coxeter HSM Regular Skew Polyhedra in Three and Four Dimensions // Proc. London Math. Soc.. - 1937. - Utgåva. 43 . — s. 33–62 .
John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Kapitel 26 // Sakernas symmetrier. - 2008. - ISBN 978-1-56881-220-5 .
NW Johnson . Uniforma polytoper. - 1991. - (Manuskript).
- NW Johnson . Teorin om enhetliga polytoper och honungskakor. - University of Toronto, 1966. - (Ph.D.-avhandling).
Katalog över Convex Polychora, sektion 6 George Olshevsky
Ordlista för Hyperspace George Olshevsky
Apolloniska kulpackningar och staplade polytoper // Diskret och beräkningsgeometri. - 2016. - Juni ( vol. 55 , nummer 4 ). — S. 801–826 .
- HSM Coxeter . Vanliga komplexa polytoper. — 2:a. - Cambridge University Press, 1991. - ISBN 978-0-521-39490-1 .

Länkar

Den fjärde dimensionen enkelt förklarat — beskriver duoprismor som "dubbla prismor" och duocylindrar som "dubbla cylindrar"
Polygloss – ordlista med högre dimensionella termer
Utforska hyperrymden med den geometriska produkten