Komplex polyeder

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 25 februari 2021; verifiering kräver 1 redigering .

En komplex polytop är en generalisering av en polytop i verkligt utrymme till en liknande struktur i ett komplext Hilbert-utrymme , där en imaginär dimension läggs till varje reell dimension .

En komplex polyeder kan förstås som en samling av komplexa punkter, linjer, plan och så vidare, där flera linjer skär varandra i varje punkt, flera plan skär varandra vid varje linje osv.

En exakt definition finns endast för vanliga komplexa polyedrar , som är konfigurationer . Regelbundna komplexa polyedrar beskrivs fullständigt och kan beskrivas med den symboliska notationen som utvecklats av Coxeter .

Vissa komplexa polytoper som inte är regelbundna beskrivs också.

Definition och inledande kommentarer

Den komplexa linjen har en dimension med verkliga koordinater och en annan med imaginära koordinater. Om reella koordinater används för båda dimensionerna talar man om att sätta två dimensioner över reella tal. Ett riktigt plan med en imaginär axel kallas ett Argand-diagram . På grund av detta kallas det ibland för det komplexa planet. Det komplexa 2-rummet (som ibland också kallas det komplexa planet) är då ett fyrdimensionellt utrymme över de reella talen. $\mathbb {C} ^{1}$

En komplex n -polytop i ett komplext n -rum liknar en verklig n -polytop i ett verkligt n -rum.

Det finns ingen naturlig komplex analog till ordningen för en punkt på den reella axeln (eller relaterade kombinatoriska egenskaper). Som en konsekvens kan en komplex polyeder inte betraktas som en kontinuerlig yta och den begränsar inte det inre, som händer i det verkliga fallet.

När det gäller vanliga polyedrar kan en exakt definition ges med hjälp av begreppet symmetri. För vilken vanlig polyeder som helst , verkar symmetrigruppen (här den komplexa reflektionsgruppen , kallad Shepard-gruppen ) transitivt på flaggor , det vill säga på kapslade uppsättningar av punkter som finns i linjer som hör till planet, och så vidare.

Mer fullständigt sägs en uppsättning P av affina delrum (eller plan ) av ett komplext enhetligt utrymme V med dimensionen n vara en vanlig komplex polytop om den uppfyller följande villkor [1] [2] :

för någon , om F är ett plan i P av dimensionen i och H är ett plan i P av dimensionen k så att , då finns det åtminstone två plan G i P av dimensionen j så att ; $-1\leqslant i<j<k\leqslant n$ $F\subset H$ $F\subset G\subset H$
för alla i , j så att , om är plan i utrymmet P av dimensionerna i , j , då är uppsättningen av plan mellan F och G ansluten, i den meningen att man kan få från vilken medlem av denna mängd som helst som en sekvens av inbäddningar $-1\leqslant i<j-2,j\leqslant n$ $F\subset G$
delmängden av enhetliga transformationer V som inte ändrar P är transitiv på flaggorna för plan P (från dimension i för alla i ) (Här betyder ett plan med dimension −1 den tomma mängden). Således, per definition, är vanliga komplexa polyedrar konfigurationer i ett komplext rum. ${\displaystyle F_{0}\subset F_{1}\subset \ldots \subset F_{n))$ $F_{i}$

Regelbundna komplexa polyedrar upptäcktes av Shepard (1952) och deras teori utvecklades senare av Coxeter (1974).

Tre synpunkter på vanliga komplexa polygoner ,

{_{4}}\{4\}{_{2}}

Denna komplexa polygon har 8 kanter (komplexa linjer) märkta med ..h och 16 hörn. Fyra hörn ligger på varje kant, och två kanter skär varandra vid varje vertex. I den vänstra figuren är kvadraterna inte element i en polyeder, utan är ritade enbart för att hjälpa till att känna igen de hörn som ligger på samma komplexa linje. Den åttakantiga omkretsen av den vänstra bilden är inte ett element i en polyeder, utan det är en Petri-polygon [3] . I den centrala figuren är varje kant representerad som en riktig linje och de fyra hörnen på varje linje kan lätt ses.	Skiss i perspektiv som representerar 16 hörn som svarta prickar och 8 4-kanter som rutor inom varje kant. Den gröna banan representerar den åttakantiga omkretsen av den vänstra bilden.

En komplex polytop existerar i ett komplext utrymme av motsvarande dimension. Till exempel är hörnen i en komplex polygon punkter på det komplexa planet , och kanterna är komplexa linjer som existerar som (affina) delrum i planet som skär varandra vid hörnen. Således kan en kant ges av ett enda komplext tal. $\mathbb {C} ^{2}$ $\mathbb {C} ^{1}$

I en regelbunden komplex polyeder är de hörn som faller in på en kant ordnade symmetriskt kring barycentret , som ofta används som ursprunget till kantens koordinatsystem (i det verkliga fallet är barycentret helt enkelt mitten av kanten). Symmetrin uppstår från komplexa reflektioner kring barycentret. Denna reflektion lämnar modulen för varje vertex oförändrad, men ändrar dess argument med ett konstant värde och flyttar den till koordinaterna för nästa vertex i ordning. Således kan vi anta (efter ett lämpligt val av skala) att hörnen på en kant uppfyller ekvationen , där p är antalet infallande hörn. Sålunda, i ett Argand-kantdiagram, ligger vertexpunkterna vid hörnen på en vanlig polygon centrerad vid origo. $x^{p}-1=0$

Tre reella projektioner av en regelbunden komplex polygon 4{4}2 med kanterna a, b, c, d, e, f, g, h illustreras ovan . Polygonen har 16 hörn, som inte är individuellt märkta för att underlätta visningen. Varje kant har fyra hörn, och varje vertex ligger på två kanter eftersom varje kant skär fyra andra kanter. I det första diagrammet representeras varje kant av en kvadrat. Sidorna på kvadraten är inte en del av polygonen, utan är ritade enbart för att underlätta de visuella kopplingarna mellan de fyra hörnen. Revbenen är symmetriskt anordnade. (Observera att diagrammet liknar B 4 Coxeters platta projektion av tesserakten , men är strukturellt annorlunda.)

Mittdiagrammet upprätthåller inte åttkantig symmetri till förmån för klarhet. Varje kant visas som en riktig linje, och varje skärningspunkt mellan två linjer är en vertex. Sambandet mellan olika kanter är lätt att se.

Det sista diagrammet visar strukturen projicerad in i 3D-rymden - de två vertexkuberna är faktiskt lika stora, men sedda från olika avståndsperspektiv i 4D-rymden.

Regelbundna komplexa endimensionella polyedrar

En verklig 1-dimensionell polyeder existerar som ett slutet segment på den reella linjen , definierad av två ändar eller hörn. Dess Schläfli-symbol är {} . ${\mathbb {R}}^{1}$

På liknande sätt existerar en komplex 1-polytop som en uppsättning p av hörn på den komplexa linjen . De kan representeras som en uppsättning punkter på ett Argand-diagram ( x , y )= x + iy . En regelbunden komplex 1-dimensionell polytop p {} har p ( p ≥ 2) hörn arrangerade som en konvex regelbunden polygon { p } på det komplexa planet [4] . $\mathbb {C} ^{1}$

Till skillnad från punkter på den verkliga linjen har punkter på den komplexa linjen ingen naturlig ordning. Då, i motsats till riktiga polytoper, kan inget inre definieras [5] . I motsats till detta ritas ofta komplexa 1-polytoper, som här, som avgränsade regelbundna polygoner i det komplexa planet.

En vanlig verklig 1-dimensionell polytop representeras av en tom Schläfli-symbol {} eller ett Coxeter-Dynkin-diagram . Punkten eller noden i Coxeter-Dynkin-diagrammet representerar reflektionsgeneratorn, medan cirkeln runt noden betyder att generatorpunkten inte är på spegeln, så dess spegelbild skiljer sig från själva punkten. Enligt den utökade notationen har en regelbunden komplex 1-dimensionell polytop med p hörn ett Coxeter-Dynkin-diagram $\mathbb {C} ^{1}$ för ett positivt heltal p (större än eller lika med 2). Talet p kan utelämnas om det är lika med 2. Denna polyeder kan också representeras av den tomma Schläfli-symbolen eller . 1 är en platshållare som representerar en icke-existerande reflektion eller identitetsgenerator med en period på 1. (En 0-polytop, reell eller komplex, är en punkt och representeras som } { eller som .) ${_{p}}\{\},\}{_{p}}\{,\{\}{_{p}}$ ${_{p}}\{2\}{_{1}}$ ${_{1}}\{2\}{_{1}}$

Symmetri indikeras av Coxeter-diagrammet och kan alternativt beskrivas i Coxeter-notation som , eller , eller . Symmetrin är isomorf till den cykliska gruppen , av ordning p [6] . Undergrupper är alla fullständiga divisorer där . ${_{p}}[],[]{_{p}}$ $]{_{p}}[,{_{p}}[2]{_{1}}$ ${_{p}}[1]{_{p}}$ ${_{p))[]$ $d,{_{d))[]$ $d\geqslant 2$

Enhetsoperatörsgenerator för _ser ut som en 2π/ p radianrotation medurs, ochkanten bildas genom successiv applicering av en komplex reflektion. Den komplexa reflektionsgeneratorn för en 1-polytop med p hörn är . Om p = 2 är generatorn , samma som den centrala symmetrin på det verkliga planet. $e^{2{\pi}i/p}=\cos(2{\pi}/p)+i\sin(2{\pi}/p)$ $e^{{\pi }i}=-1$

I högredimensionella komplexa polytoper bildar 1-polytoper p -kanter. En 2-kant liknar en vanlig reell kant genom att den innehåller två hörn men inte nödvändigtvis finns på den reella linjen.

Regelbundna komplexa polygoner

Även om 1-polytoper kan ha ett obegränsat p -värde , är ändliga regelbundna komplexa polygoner, med undantag för dubbla prismapolygoner , begränsade till 5-kanter (femhörniga kanter), och oändliga regelbundna apeirogoner inkluderar även 6-kanter (hexagonala kanter). ${_{p}}\{4\}{_{2}}$

Notation

Shepards modifierade Schläfli-notation

Shepard kom ursprungligen på en modifierad form av Schläfli-notation för vanliga polyedrar. För en polygon avgränsad av p 1 -kanter, med p 2 -uppsättningar som vertexfigurer och en gemensam symmetrigrupp av ordningen g , betecknar vi polygonen som. ${\displaystyle p_{1}(g)p_{2))$

Antalet hörn V är då lika med , och antalet kanter E är lika med . ${\displaystyle g/p_{2))$ $g/p_{1}$

Den komplexa polygonen som illustreras ovan har åtta kvadratiska kanter ( ) och sexton hörn ( ). Av detta kan vi dra slutsatsen att g = 32, vilket ger den modifierade Schläfli-symbolen 4(32)2. $p_{1}=4$ $p_{2}=2$

Reviderad Schläfli-notation

En mer modern notation beror på Coxeter [8] och bygger på gruppteori. Symmetrigruppsymbolen är . ${\displaystyle {_{p_{1))}\{q\}{_{p_{2))))$ ${_{p_{1}}}[q]{_{p_{2}}}$

Symmetrigruppen representeras av två generatorer , där: . Om q är jämnt, . Om q är udda, . När q är udda, . ${_{p_{1}}}[q]{_{p_{2}}}$ $R_{1},R_{2}$ $R_{1}^{p_{1}}=R_{2}^{p_{2}}=I$ $(R_{2}R_{1})^{q/2}=(R_{1}R_{2})^{q/2}$ $(R_{2}R_{1})^{(q-1)/2}R_{2}=(R_{1}R_{2})^{(q-1)/2}R_{ ett}$ ${\displaystyle p_{1}=p_{2))$

För lastrum , . ${_{4}}[4]{_{2}}$ $R_{1}^{4}=R_{2}^{2}=I$ ${\displaystyle (R_{2}R_{1})^{2}=(R_{1}R_{2})^{2))$

För lastrum , . ${_{3}}[5]{_{3}}$ $R_{1}^{3}=R_{2}^{3}=I$ ${\displaystyle (R_{2}R_{1})^{2}R_{2}=(R_{1}R_{2})^{2}R_{1))$

Coxeter-Dynkin diagram

Coxeter generaliserade också användningen av Coxeter-Dynkin-diagram till komplexa polyedrar. Till exempel representeras en komplex polygon av ett diagram ${_{p}}\{q\}{_{r}}$ , och den ekvivalenta symmetrigruppen representeras av ett diagram utan en cirkel ${_{p}}[q]{_{r}}$ . Noderna p och r representerar speglar som ger bilder av p och r på planet. Omärkta noder i diagrammet har 2 implicita etiketter. Till exempel har en riktig vanlig polygon notationen , eller { q }, eller ${_{2}}\{q\}{_{2}}$ .

Det finns en begränsning: noder sammankopplade med udda grenorder måste ha identiska nodordningar. Om inte, kommer gruppen att skapa "stellerade" polyedrar med överlappande element. På det här sättet,ochär vanliga polygoner, medanär stellar.

Uppräkning av reguljära polygoner

Coxeter gav en lista över vanliga komplexa polygoner i . Regelbunden komplex polygon, eller $\mathbb {C} ^{2}$ ${_{p}}\{q\}{_{r}}$ , har p -kanter och q -gonala vertexfigurer . är en finit polytop om . ${_{p}}\{q\}{_{r}}$ $(p+r)q>pr(q-2)$

Symmetrin av en regelbunden polygon, skriven som , kallas Shepard-gruppen , i analogi med Coxeter-gruppen , vilket möjliggör både verkliga och komplexa reflektioner. ${_{p}}[q]{_{r}}$

För icke-stellerade grupper kan gruppens ordning beräknas som [9] . ${_{p}}[q]{_{r}}$ ${\displaystyle g=8/q\cdot (1/p+2/q+1/r-1)^{-2))$

Coxeter-numret för är , så gruppordningen kan också beräknas som . Ett regelbundet komplext polynom kan ritas i en ortogonal projektion med h -gonal symmetri. ${_{p}}[q]{_{r}}$ $h=2/(1/p+2/q+1/r-1)$ $g=2h^{2}/q$

Rank 2-lösningar genererar följande komplexa polygoner:

Grupp	$G_{3}=G(q,1,1)$	$G_{2}=G(p,1,2)$	${\displaystyle G_{4))$	${\displaystyle G_{6))$	G5 _	G8 _	G14 _	G9 _	G10 _	G20 _	G16 _	G21 _	G17 _	G18 _
	${_{2}}[q]{_{2}}$ , q =3,4…	${_{p}}[4]{_{2}}$ , p = 2,3...	${_{3}}[3]{_{3}}$	${_{3}}[6]{_{2}}$	${_{3}}[4]{_{3}}$	${_{4}}[3]{_{4}}$	${_{3}}[8]{_{2}}$	${_{4}}[6]{_{2}}$	${_{4}}[4]{_{3}}$	${_{3}}[5]{_{3}}$	${_{5}}[3]{_{5}}$	${_{3}}[10]{_{2}}$	${_{5}}[6]{_{2}}$	${_{5}}[4]{_{3}}$

Ordning	2 q	2p2 _ _	24	48	72	96	144	192	288	360	600	720	1200	1800

Lösningar med udda q och ojämna p och r exkluderas : , och . ${_{6}}[3]{_{2}},{_{6}}[3]{_{3}},{_{9}}[3]{_{3}} ,{_{1}2}[3]{_{3}},\ldots ,{_{5}}[5]{_{2}},{_{6}}[5]{_{2 }},{_{8}}[5]{_{2}},{_{9}}[5]{_{2}},{_{4}}[7]{_{2}} ,{_{9}}[5]{_{2}},{_{3}}[9]{_{2}}$ ${_{3}}[11]{_{2}}$

Andra heltal q med ojämna p och r skapar stjärngrupper med överlappande fundamentala områden:,,,,, och.

Den dubbla polygonen för en polygon är . Vypolygonen är självdubbel. Visa grupper har halvsymmetri så att en vanlig polygon ${_{p}}\{q\}{_{r}}$ ${_{r}}\{q\}{_{p}}$ ${_{p}}\{q\}{_{p}}$ ${_{p}}[2q]{_{2}}$ ${_{p}}[q]{_{p}}$ är samma som den kvasireguljära. Även en vanlig polygon med samma nodordningar,, har en alternerande konstruktion, vilket tillåter att intilliggande kanter har två olika färger [10] .

Gruppordningen, g , används för att beräkna det totala antalet hörn och kanter. Polyedern har g / r -hörn och g / p -kanter. Om p = r är antalet hörn och kanter lika. Detta villkor är nödvändigt om q är udda.

Grupp	Ordning	Coxeter nummer	Polygon		Toppar	revben		Anteckningar
G(q, q,2) q=2,3,4,... ${_{2}}[q]{_{2}}=[q]$	2 q	q	${_{2}}\{q\}{_{2}}$		q	q	{}	Verkliga reguljära polygoner Samma som Samma somom q är jämnt

Grupp	Ordning	Coxeter nummer	Polyeder		Toppar	revben		Anteckningar
G( p ,1,2) p=2,3,4,... ${_{p}}[4]{_{2}}$	2p2 _ _	2p _	$p(2p^{2})2$	${_{p}}\{4\}{_{2}}$	$p^{2}$	2p _	${_{p}}\{\}$	samma som eller ${_{p}}\{\}{\times }{_{p}}\{\}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4))$ representation som en p - p duoprism
G( p ,1,2) p=2,3,4,... ${_{p}}[4]{_{2}}$	2p2 _ _	2p _	2(2 p 2 ) sid	${_{2}}\{4\}{_{p}}$	2p _	$p^{2}$	{}	${\displaystyle \mathbb {R} ^{4))$ representation som p - p duopyramid
G(2,1,2) ${_{2}}[4]{_{2}}=[4]$	åtta	fyra		${_{2}}\{4\}{_{2}}=\{4\}$	fyra	fyra	{}	samma som {}×{} eller riktig kvadrat
G(3,1,2) ${_{3}}[4]{_{2}}$	arton	6	6(18)2	${_{3}}\{4\}{_{2}}$	9	6	${_{3}}\{\}$	samma som eller ${_{3}}\{\}{\times }{_{3}}\{\}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4))$ representation som 3-3 duoprism
G(3,1,2) ${_{3}}[4]{_{2}}$	arton	6	2(18)3	${_{2}}\{4\}{_{3}}$	6	9	{}	${\displaystyle \mathbb {R} ^{4))$ representation som 3-3 duoprism
G(4,1,2) ${_{4}}[4]{_{2}}$	32	åtta	8(32)2	${_{4}}\{4\}{_{2}}$	16	åtta	${_{4}}\{\}$	samma som eller ${_{4}}\{\}{\times }{_{4}}\{\}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4))$ representation som 4-4 duoprismer eller {4,3,3}
G(4,1,2) ${_{4}}[4]{_{2}}$	32	åtta	2(32)4	${_{2}}\{4\}{_{4}}$	åtta	16	{}	${\displaystyle \mathbb {R} ^{4))$ representation som 4-4 duoprismer eller {3,3,4}
G(5,1,2) ${_{5}}[4]{_{2}}$	femtio	25	5(50)2	${_{5}}\{4\}{_{2}}$	25	tio	${_{5}}\{\}$	samma som eller ${_{5}}\{\}{\times }{_{5}}\{\}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4))$ representation som en 5,5-duoprism
G(5,1,2) ${_{5}}[4]{_{2}}$	femtio	25	2(50)5	${_{2}}\{4\}{_{5}}$	tio	25	{}	${\displaystyle \mathbb {R} ^{4))$ representation som 5-5 duopyramid
G(6,1,2) ${_{6}}[4]{_{2}}$	72	36	6(72)2	6 {4} 2	36	12	${_{6}}\{\}$	samma som eller ${_{6}}\{\}{\times }{_{6}}\{\}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4))$ representation som 6-6 duoprism
G(6,1,2) ${_{6}}[4]{_{2}}$	72	36	2(72)6	${_{2}}\{4\}{_{6}}$	12	36	{}	${\displaystyle \mathbb {R} ^{4))$ representation som 6-6 duopyramid
$G_{4}=G(1,1,2)$ 3 [3] 3 <2,3,3>	24	6	3(24)3		åtta	åtta	${_{3}}\{\}$	Möbius-Cantor-konfigurationen är självdubbel, samma som ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4))$ representation som {3,3,4}
${\displaystyle G_{6))$ ${_{3}}[6]{_{2}}$	48	12	3(48)2	${_{3}}\{6\}{_{2}}$	24	16	3 {}	samma som ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4))$ representation som {3,4,3}
				${_{3}}\{3\}{_{2}}$	24	16	3 {}	stjärnpolygon
			2(48)3	${_{2}}\{6\}{_{3}}$	16	24	{}	${\displaystyle \mathbb {R} ^{4))$ representation som {4,3,3}
				${_{2}}\{3\}{_{3}}$	16	24	{}	stjärnpolygon
G 5 3 [4] 3	72	12	3(72)3	${_{3}}\{4\}{_{3}}$	24	24	3 {}	självdual, samma som ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4))$ representation som {3,4,3}
G 8 4 [3] 4	96	12	4(96)4	4 {3} 4	24	24	4 {}	självdual, samma som ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4))$ representation som {3,4,3}
G14 _ ${_{3}}[8]{_{2}}$	144	24	3(144)2	${_{3}}\{8\}{_{2}}$	72	48	3 {}	samma som
				3 {8/3} 2	72	48	3 {}	stjärnpolygon, samma som
			2(144)3	2 {8} 3	48	72	{}
				2 {8/3} 3	48	72	{}	stjärnpolygon
G 9 4 [6] 2	192	24	4(192)2	4 {6} 2	96	48	4 {}	samma som
			2(192)4	2 {6} 4	48	96	{}
				4 {3} 2	96	48	{}	stjärnpolygon
				2 {3} 4	48	96	{}	stjärnpolygon
G 10 4 [4] 3	288	24	4(288)3	4 {4} 3	96	72	4 {}
		12		4 {8/3} 3	96	72	4 {}	stjärnpolygon
		24	3(288)4	3 {4} 4	72	96	3 {}
		12		3 {8/3} 4	72	96	3 {}	stjärnpolygon
G 20 3 [5] 3	360	trettio	3(360)3	3 {5} 3	120	120	3 {}	självdual, samma som ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4))$ representation som {3,3,5}
G 20 3 [5] 3	360	trettio		3 {5/2} 3	120	120	3 {}	självdubbel stjärnpolygon
G 16 5 [3] 5	600	trettio	5(600)5	5 {3} 5	120	120	5 {}	självdual, samma som ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4))$ representation som {3,3,5}
G 16 5 [3] 5	600	tio		5 {5/2} 5	120	120	5 {}	självdubbel stjärnpolygon
G 21 3 [10] 2	720	60	3(720)2	3 {10} 2	360	240	3 {}	samma som
				3 {5} 2				stjärnpolygon
				3 {10/3} 2				stjärnpolygon, samma som
				3 {5/2} 2				stjärnpolygon
			2(720)3	2 {10} 3	240	360	{}
				2 {5} 3				stjärnpolygon
				2 {10/3} 3				stjärnpolygon
				2 {5/2} 3				stjärnpolygon
G 17 5 [6] 2	1200	60	5(1200)2	5 {6} 2	600	240	5 {}	samma som ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4))$ representation som {5,3,3}
		tjugo		5 {5} 2				stjärnpolygon
		tjugo		5 {10/3} 2				stjärnpolygon
		60		5 {3} 2				stjärnpolygon
		60	2(1200)5	2 {6} 5	240	600	{}
		tjugo		2 {5} 5				stjärnpolygon
		tjugo		2 {10/3} 5				stjärnpolygon
		60		2 {3} 5				stjärnpolygon
G 18 5 [4] 3	1800	60	5(1800)3	5 {4} 3	600	360	5 {}	${\displaystyle \mathbb {R} ^{4))$ representation som {5,3,3}
		femton		5 {10/3} 3				stjärnpolygon
		trettio		5 {3} 3				stjärnpolygon
		trettio		5 {5/2} 3				stjärnpolygon
		60	3(1800)5	3 {4} 5	360	600	3 {}
		femton		3 {10/3} 5				stjärnpolygon
		trettio		3 {3} 5				stjärnpolygon
		trettio		3 {5/2} 5				stjärnpolygon

Visualisering av vanliga komplexa polygoner

Polygoner av formen p {2 r } q kan visualiseras av q färgade uppsättningar av p -kanter. Varje p -kant ser ut som en vanlig polygon, men det finns inga ytor.

2D ortogonala projektioner av komplexa polygoner

{_{2}}\{r\}{_{q}}

Synpolyedrar kallas generaliserade ortoplexer . De har samma hörn som 4D q - q duopyramiderna , där hörnen är förbundna med 2-kanter. ${_{2}}\{4\}{_{q}}$

2 {4} 2 ,,
med 4 hörn
och 4 kanter
2 {4} 3 ,,
med 6 hörn och
9 kanter [11]
2 {4} 4 ,,
med 8 hörn
och 16 kanter
2 {4} 5 ,,
med 10 hörn
och 25 kanter
2 {4} 6 ,,
med 12 hörn
och 36 kanter
2 {4} 7 ,,
med 14 hörn
och 49 kanter
2 {4} 8 ,,
med 16 hörn
och 64 kanter
2 {4} 9 ,,
med 18 hörn
och 81 kanter
2 {4} 10 ,,
med 20 hörn
och 100 kanter

Komplexa polygoner

{_{p}}\{4\}{_{2}}

Vypolygoner kallas generaliserade hyperkuber (kvadrater för polygoner). Polygonerna har samma hörn som 4D p − p duoprismer , hörnen är sammankopplade med p-kanter. Vertices är ritade i grönt och p -kanter ritas växelvis i rött och blått. Projektionen är något förvrängd för udda dimensioner för att flytta överlappande hörn bort från mitten. ${_{p}}\{4\}{_{2}}$

2 {4} 2 ,eller,
med 4 hörn
och 4 2-kanter
3 {4} 2 ,eller,
med 9 hörn
och 6 (triangulära) 3-kanter [11]
4 {4} 2 ,eller,
med 16 hörn
och 8 (fyrkantiga) 4-kanter
4 {4} 2 ,eller,
med 25 hörn
och 10 (femkantiga) 5-kanter
4 {4} 2 ,eller,
med 36 hörn
och 12 (hexagonala) 6-kanter
4 {4} 2 ,eller,
med 49 hörn
och 14 (heptagonala) 7-kanter
4 {4} 2 ,eller,
med 64 hörn
och 16 (åttkantiga) 8-kanter
4 {4} 2 ,eller,
med 81 hörn
och 18 (niovinklade) 9-kanter
4 {4} 2 ,eller,
med 100 hörn
och 20 (dekagonala) 10-kanter

3D- perspektivprojektioner av komplexa polygoner p {4} 2

3 {4} 2 , eller
med 9 hörn, 6 3-kanter med 2 färguppsättningar
4 {4} 2 ,eller
med 16 hörn, 8 4-kanter i 2 kolumnuppsättningar (fyrkantiga 4-kanter skuggade)
5 {4} 2 ,ellermed 25 hörn, 10 5-kanter i 2 färguppsättningar

Andra komplexa polygoner p { r } 2

3 {6} 2 ,eller, 24 hörn (svarta) och 16 3-kanter, målade i 2 färger (röd och blå) [12]
3 {8} 2 ,eller, 72 hörn (svarta) och 48 3-kanter målade i 2 färger (röd och blå) [13]

2D ortogonala projektioner av komplexa polygoner, p { r } sid

Vypolygoner har lika många hörn och kanter. De är också självdubbla. ${_{p}}\{r\}{_{p}}$

3 {3} 3 ,eller,
med 8 hörn (svart) och 8 3-kanter färgade i 2 färger (röd och blå) [14]
3 {4} 3 ,eller,
med 24 hörn och 24 3-kanter visas i 3 färger [15]
4 {3} 4 ,eller,
med 24 hörn och 24 4-kanter visas i 4 färger [15]
3 {5} 3 ,eller,
med 120 hörn och 120 3-kanter [16]
5 {3} 5 ,eller,
med 120 hörn och 120 5-kanter [17]

Regelbundna komplexa polyedrar

I allmänhet representeras en vanlig komplex polytop av en Coxeter-symbol eller ett Coxeter-diagram ${_{p}}\{z_{1}\}{_{q}}\{z_{2}\}{_{r}}\{z_{3}\}{_{s} }\ldots$ … har symmetri … eller ${_{p}}[z_{1}]{_{q}}[z_{2}]{_{r}}[z_{3}]{_{s}}$ …. [arton]

Det finns oändliga familjer av vanliga komplexa polyedrar som förekommer i alla dimensioner. Dessa familjer generaliserar hyperkuber och ortoedrar i det verkliga rummet. Shepards "generaliserade hyperrektangel" generaliserar hyperkuben. Den har symbol och diagram ${\gamma }_{n}^{p}={_{p}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\ldots {_{2 }}\{3\}{_{2}}$ …. Dess symmetrigrupp har ett diagram . I Shepard–Todd-klassificeringen är detta gruppen G( p , 1, n ), som generaliserar de signerade permutationsmatriserna. Dess dubbla regelbundna polytop, den "generaliserade korspolytopen", representeras av symbolen och diagrammet ${_{p}}[4]{_{2}}[3]{_{2}}\ldots {_{2}}[3]{_{2}}$ $\beta _{n}^{p}={_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\ldots {_{2}} \{4\}{_{p}}$ …[19] .

En 1-dimensionell regelbunden komplex polytop i representeras som $\mathbb {C} ^{1}$ , har p hörn och har en reell representation som en vanlig polygon { p }. Coxeter ger den också en symbol antingen som en 1-dimensionell generaliserad hyperkub eller en korspolytop. Dess symmetri - eller ${\displaystyle \gamma _{1}^{p))$ ${\displaystyle \beta _{1}^{p))$ ${_{p))[]$ , en cyklisk grupp av ordning p . I polyedrar av högre ordning, eller ${_{p}}\{\}$ representerar ett element av p -kanten. Så, 2-kant, {} ellerrepresenterar en vanlig kant mellan två hörn [20] .

Den dubbla komplexa polytopen konstrueras genom att byta ut de k -te och ( n -1- k ) -te elementen i n -polytopen. Till exempel har den dubbla komplexa polygonen hörn i mitten av varje kant, och de nya kanterna är centrerade vid de gamla hörnen. Den v -valenta vertexen skapar en ny v -kant, och e -kanten blir en e -valent vertex [21] . Den dubbla polytopen av en vanlig komplex polytop har en invers symbol (det vill säga skriven i omvänd ordning). Regelbundna komplexa polyedrar som har symmetriska symboler, d.v.s. , , etc., är självdubbla . ${_{p}}\{q\}{_{p}}$ ${_{p}}\{q\}{_{r}}\{q\}{_{p}}$ ${_{p}}\{q\}{_{r}}\{s\}{_{r}}\{q\}{_{p}}$

Uppräkning av vanliga komplexa polytoper

Coxeter listade icke-stellerade regelbundna komplexa polytoper i rymden , inklusive 5 regelbundna polytoper i [22] . $\mathbb {C} ^{3}$ $\mathbb {R} ^{3}$

Vanlig komplex polyeder eller ${_{p}}\{n_{1}\}{_{q}}\{n_{2}\}{_{r}}$ , Det harkant,revben och toppsiffror .

En komplex vanlig polytop kräver att både g 1 = order( ) och g 2 = order( ) är ändliga. ${_{p}}\{n_{1}\}{_{q}}\{n_{2}\}{_{r}}$ ${_{p}}[n_{1}]_{q}$ ${_{q}}[n_{2}]{_{r}}$

Om g = order( ), är antalet hörn g / g 2 och antalet ytor är . Antalet kanter är g / pr . ${_{p}}[n_{1}]{_{q}}[n_{2}]{_{r}}$ $g/g_{1}$

Mellanslag _	Grupp	Ordning	Coxeter nummer	Polygon	Toppar	revben		ansikten		Vertex figur	Ossa badpolygon	Anteckningar
$\mathbb {R} ^{3}$	G(1,1,3) = [3,3] ${_{2}}[3]{_{2}}[3]{_{2}}$	24	fyra	$\alpha _{3}={_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$ = {3,3}	fyra	6	{}	fyra	{3}	{3}	—	Äkta tetraeder Samma som
$\mathbb {R} ^{3}$	G23 = [3,5] ${_{2}}[3]{_{2}}[5]{_{2}}$	120	tio	${_{2}}\{3\}{_{2}}\{5\}{_{2}}=\{3,5\}$	12	trettio	{}	tjugo	{3}	{5}	—	Riktig ikosaeder
$\mathbb {R} ^{3}$	G23 = [3,5] ${_{2}}[3]{_{2}}[5]{_{2}}$	120	tio	${_{2}}\{5\}{_{2}}\{3\}{_{2}}=\{5,3\}$	tjugo	trettio	{}	12	{5}	{3}	—	riktig dodekaeder
$\mathbb {R} ^{3}$	G(2,1,3) = [3,4] ${_{2}}[3]{_{2}}[4]{_{2}}$	48	6	${\displaystyle \beta _{3}^{2}=\beta _{3}=\{3,4\))$	6	12	{}	åtta	{3}	{fyra}	{fyra}	Riktig oktaeder Samma som {}+{}+{}, ordning 8 Samma som, order 24
$\mathbb {R} ^{3}$	G(2,1,3) = [3,4] ${_{2}}[3]{_{2}}[4]{_{2}}$	48	6	${\displaystyle \gamma _{3}^{2}=\gamma _{3}=\{4,3\))$	åtta	12	{}	6	{fyra}	{3}	—	Real Cube Samma som {}×{}×{} eller
$\mathbb {C} ^{3}$	G(p,1,3) 2 [3] 2 [4] p p=2,3,4,...	6p3 _ _	3p _	$\beta _{3}^{p}={_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{_{p}}$	3p _	$3p^{2}$	{}	p 3	{3}	${_{2}}\{4\}{_{p}}$	${_{2}}\{4\}{_{p}}$	Generaliserad oktaeder Samma som , ordning p 3 Samma som ${_{p}}\{\}+{_{p}}\{\}+{_{p}}\{\}$ , beställning 6 p 2
$\mathbb {C} ^{3}$	G(p,1,3) 2 [3] 2 [4] p p=2,3,4,...	6p3 _ _	3p _	$\gamma _{3}^{p}={_{p}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	p 3	3p2 _ _	p {}	3p _	${_{p}}\{4\}{_{2}}$	{3}	—	Generaliserad kub Samma som eller ${_{p))\{\}{\times }_{p}\{\}{\times }_{p}\{\}$
$\mathbb {C} ^{3}$	G(3,1,3) 2 [3] 2 [4] 3	162	9	$\beta _{3}^{3}={_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{_{3}}$	9	27	{}	27	{3}	${_{2}}\{4\}{_{3}}$	${_{2}}\{4\}{_{3}}$	Samma som , beställning 27 Samma som ${_{3}}\{\}+{_{3}}\{\}+{_{3}}\{\}$ , order 54
$\mathbb {C} ^{3}$	G(3,1,3) 2 [3] 2 [4] 3	162	9	$\gamma _{3}^{3}={_{3}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	27	27	3 {}	9	3 {4} 2	{3}	—	Samma som eller ${_{3}}\{\}{\times }{_{3}}\{\}{\times }{_{3}}\{\}$
$\mathbb {C} ^{3}$	G(4,1,3) ${_{2}}[3]{_{2}}[4]{_{4}}$	384	12	$\beta _{3}^{4}={_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{_{4}}$	12	48	{}	64	{3}	${_{2}}\{4\}{_{4}}$	${_{2}}\{4\}{_{4}}$	Samma som , beställning 64 Samma som ${_{4}}\{\}+{_{4}}\{\}+{_{4}}\{\}$ , order 96
$\mathbb {C} ^{3}$	G(4,1,3) ${_{2}}[3]{_{2}}[4]{_{4}}$	384	12	$\gamma _{3}^{4}={_{4}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	64	48	4 {}	12	${_{4}}\{4\}{_{2}}$	{3}	—	Samma som eller ${_{4}}\{\}{\times }{_{4}}\{\}{\times }{_{4}}\{\}$
$\mathbb {C} ^{3}$	G(5,1,3) 2 [3] 2 [4] 5	750	femton	$\beta _{3}^{5}={_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{_{5}}$	femton	75	{}	125	{3}	${_{2}}\{4\}{_{5}}$	${_{2}}\{4\}{_{5}}$	Samma som , beställ 125 Samma som ${_{5}}\{\}+{_{5}}\{\}+{_{5}}\{\}$ , beställ 150
$\mathbb {C} ^{3}$	G(5,1,3) 2 [3] 2 [4] 5	750	femton	$\gamma _{3}^{5}={_{5}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	125	75	5 {}	femton	${_{5}}\{4\}{_{2}}$	{3}	—	Samma som eller ${_{5}}\{\}{\times }{_{5}}\{\}{\times }{_{5}}\{\}$
$\mathbb {C} ^{3}$	G(6,1,3) 2 [3] 2 [4] 6	1296	arton	$\beta _{3}^{6}={_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{_{6}}$	36	108	{}	216	{3}	2 {4} 6	2 {4} 6	Samma som 6 {}+ 6 {}+ 6 {}, beställning 216 Samma som, order 216
$\mathbb {C} ^{3}$	G(6,1,3) 2 [3] 2 [4] 6	1296	arton	$\gamma _{3}^{6}={_{6}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	216	108	6 {}	arton	6 {4} 2	{3}	—	Samma som eller ${_{6}}\{\}{\times }{_{6}}\{\}{\times }{_{6}}\{\}$
$\mathbb {C} ^{3}$	G 25 3 [3] 3 [3] 3	648	9	3 {3} 3 {3} 3	27	72	3 {}	27	3 {3} 3	3 {3} 3	3 {4} 2	Samma som. representation som 2 21 Hessisk polyeder $\mathbb {R} ^{6}$
	G 26 2 [4] 3 [3] 3	1296	arton	2 {4} 3 {3} 3	54	216	{}	72	2 {4} 3	3 {3} 3	{6}
	G 26 2 [4] 3 [3] 3	1296	arton	3 {3} 3 {4} 2	72	216	3 {}	54	3 {3} 3	3 {4} 2	3 {4} 3	Samma som $\mathbb {R} ^{6}$ representation som 1 22

Visualisering av vanliga komplexa polyedrar 2D ortogonala projektioner av komplexa polyedrar, p { s } t { r } r

Riktigt {3,3} ,eller,
har 4 hörn, 6 kanter och 4 ytor
3 {3} 3 {3} 3 ,eller,
har 27 hörn, 72 3-kanter och 27 sidor, en yta är markerad i blått [23] .
2 {4} 3 {3} 3 ,,
har 54 hörn, 216 enkla kanter och 72 sidor, en yta är markerad i blått [24] /
3 {3} 3 {4} 2 ,eller,
har 72 hörn, 216 3-kanter och 54 hörn, en yta är markerad i blått [25] .

Generaliserade oktaedrar

Generaliserade oktaedrar har en konstruktion som regelbundna formeroch som kvasireguljära arter. Alla element är förenklade .

Riktigt {3,4} ,eller, 6 hörn, 12 kanter och 8 ytor
2 {3} 2 {4} 3 ,eller, 9 hörn, 27 kanter och 27 ytor
2 {3} 2 {4} 4 ,eller, 12 hörn, 48 kanter och 64 ansikten
2 {3} 2 {4} 5 ,eller, 15 hörn, 75 kanter och 125 ytor
2 {3} 2 {4} 6 ,eller, 18 hörn, 108 kanter och 216 ytor
2 {3} 2 {4} 7 ,eller, 21 hörn, 147 kanter och 343 ytor
2 {3} 2 {4} 8 ,eller, 24 hörn, 192 kanter och 512 ytor
2 {3} 2 {4} 9 ,eller, 27 hörn, 243 kanter och 729 ytor
2 {3} 2 {4} 10 ,eller, 30 hörn, 300 kanter och 1000 ytor

Generaliserade kuber

Generaliserade kuber är konstruerade som vanliga formeroch hur prismatisk, produkten av tre p -gonala 1-polyedrar. Elementen är generaliserade kuber av lägre dimension.

äkta {4,3} ,eller,
har 8 hörn, 12 kanter och 6 ytor
3 {4} 2 {3} 2 ,eller,
har 27 hörn, 27 3-kanter och 9 sidor [23]
4 {4} 2 {3} 2 ,eller, har 64 hörn, 48 kanter och 12 ansikten
5 {4} 2 {3} 2 ,eller, har 125 hörn, 75 kanter och 15 ytor
6 {4} 2 {3} 2 ,eller, har 216 hörn, 108 kanter och 18 ytor
7 {4} 2 {3} 2 ,eller, har 343 hörn, 147 kanter och 21 ytor
8 {4} 2 {3} 2 ,eller, har 512 hörn, 192 kanter och 24 ytor
9 {4} 2 {3} 2 ,eller, har 729 hörn, 243 kanter och 27 ytor
10 {4} 2 {3} 2 ,eller, har 1000 hörn, 300 kanter och 30 ytor

Uppräkning av vanliga komplexa 4-polytoper

Coxeter listade icke-stellerade regelbundna komplexa 4-polytoper i , inklusive 6 konvexa regelbundna 4-polytoper i [26] . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{4))$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4))$

Mellanslag _	Grupp	Ordning	Coxeter nummer	Polyeder	Toppar	revben	Fasett	celler	Van Oss polygon	Anteckningar
${\displaystyle \mathbb {R} ^{4))$	G(1,1,4) = [3,3,3] ${_{2}}[3]{_{2}}[3]{_{2}}[3]{_{2}}$	120	5	$\alpha _{4}={_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$ = {3,3,3}	5	10 {}	10 {3}	5 {3,3}	—	Riktiga femceller (simplex)
${\displaystyle \mathbb {R} ^{4))$	G28 = [3,4,3 ] ${_{2}}[3]{_{2}}[4]{_{2}}[3]{_{2}}$	1152	12	${_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}=\{3,4,3 \}$	24	96 {}	96 {3}	24 {3,4}	{6}	Riktig tjugofyra cell
	G30 = [3,3,5] ${_{2}}[3]{_{2}}[3]{_{2}}[5]{_{2}}$	14400	trettio	${_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{5\}{_{2}}=\{3,3,5 \}$	120	720 {}	1200 {3}	600 {3,3}	{tio}	Riktiga 600 celler
	G30 = [3,3,5] ${_{2}}[3]{_{2}}[3]{_{2}}[5]{_{2}}$	14400	trettio	${_{2}}\{5\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}=\{5,3,3 \}$	600	1200 {}	720 {5}	120 {5,3}	{tio}	Riktiga 120 celler
${\displaystyle \mathbb {R} ^{4))$	G(2,1,4) =[3,3,4] ${_{2}}[3]{_{2}}[3]{_{2}}[4]{_{p}}$	384	åtta	${\displaystyle \beta _{4}^{2}=\beta _{4}=\{3,3,4\))$	åtta	24 _	32 {3}	16 {3,3}	{fyra}	Verklig hexadecimal cell Samma som, order 192
${\displaystyle \mathbb {R} ^{4))$	G(2,1,4) =[3,3,4] ${_{2}}[3]{_{2}}[3]{_{2}}[4]{_{p}}$	384	åtta	${\displaystyle \gamma _{4}^{2}=\gamma _{4}=\{4,3,3\))$	16	32 {}	24 {4}	8 {4,3}	—	Riktig tesserakt Samma som {} 4 eller, order 16
${\displaystyle \mathbb {C} ^{4))$	G(p,1,4) 2 [3] 2 [3] 2 [4] p p=2,3,4,...	24p4 _ _	4p _	$\beta _{4}^{p}={_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{_{ p}}$	4p _	6 p 2 {}	4 p 3 {3}	s 4 {3,3}	2 {4} sid	Generaliserad 4 - ortoplex Samma som, beställning 24 p 3
${\displaystyle \mathbb {C} ^{4))$	G(p,1,4) 2 [3] 2 [3] 2 [4] p p=2,3,4,...	24p4 _ _	4p _	$\gamma _{4}^{p}={_{p}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{ 2}}$	p4 _	4 p 3 p {}	6 p 2 p {4} 2	4p _ ${_{p}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	—	Generaliserad tesserakt Samma som p {} 4 eller, beställning s 4
${\displaystyle \mathbb {C} ^{4))$	G(3,1,4) 2 [3] 2 [3] 2 [4] 3	1944	12	$\beta _{4}^{3}={_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{_{ 3}}$	12	54 {}	108 {3}	81 {3,3}	2 {4} 3	Generaliserad 4 - ortoplex Samma som, beställ 648
${\displaystyle \mathbb {C} ^{4))$	G(3,1,4) 2 [3] 2 [3] 2 [4] 3	1944	12	$\gamma _{4}^{3}={_{3}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{ 2}}$	81	108 3 _	54 3 {4} 2	12 3 {4} 2 {3} 2	—	Samma som 3 {} 4 eller, order 81
${\displaystyle \mathbb {C} ^{4))$	G(4,1,4) 2 [3] 2 [3] 2 [4] 4	6144	16	$\beta _{4}^{4}={_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{_{ fyra}}$	16	96 {}	256 {3}	64 {3,3}	${_{2}}\{4\}{_{4}}$	Samma som, beställning 1536
${\displaystyle \mathbb {C} ^{4))$	G(4,1,4) 2 [3] 2 [3] 2 [4] 4	6144	16	$\gamma _{4}^{4}={_{4}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{ 2}}$	256	256 4 {}	96 4 {4} 2	16 4 {4} 2 {3} 2	—	Samma som 4 {} 4 eller, beställning 256
${\displaystyle \mathbb {C} ^{4))$	G(5,1,4) 2 [3] 2 [3] 2 [4] 5	15 000	tjugo	$\beta _{4}^{5}={_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{_{ 5}}$	tjugo	150 _	500 {3}	625 {3,3}	2 {4} 5	Samma som, beställ 3000
${\displaystyle \mathbb {C} ^{4))$	G(5,1,4) 2 [3] 2 [3] 2 [4] 5	15 000	tjugo	$\gamma _{4}^{5}={_{5}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{ 2}}$	625	500 5 {}	150 5 {4} 2	tjugo ${_{5}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	—	Samma som 5 {} 4 eller, beställ 625
${\displaystyle \mathbb {C} ^{4))$	G(6,1,4) 2 [3] 2 [3] 2 [4] 6	31104	24	$\beta _{4}^{6}={_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{_{ 6}}$	24	216 {}	864 {3}	1296 {3,3}	${_{2}}\{4\}{_{6}}$	Samma som, beställning 5184
${\displaystyle \mathbb {C} ^{4))$	G(6,1,4) 2 [3] 2 [3] 2 [4] 6	31104	24	$\gamma _{4}^{6}={_{6}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{ 2}}$	1296	864 6 {}	216 6 {4} 2	24 ${_{6}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	—	Samma som 6 {} 4 eller, beställning 1296
${\displaystyle \mathbb {C} ^{4))$	G 32 3 [3] 3 [3] 3 [3] 3	155520	trettio	3 {3} 3 {3} 3 {3} 3	240	2160 3 {}	2160 3 {3} 3	240 3 {3} 3 {3} 3	3 {4} 3	Witting polyhedron representation som 4 21 ${\mathbb {R}}^{8}$

Visualisering av vanliga komplexa 4-polytoper

Verklig {3,3,3} ,, har 5 hörn, 10 kanter, 10 {3} ytor och 5 {3,3} celler
Verklig {3,4,3} ,, har 24 hörn, 96 kanter, 96 {3} ytor och 24 {3,4} celler
Verklig {5,3,3} ,, har 600 hörn, 1200 kanter, 720 {5} ytor och 120 {5,3} celler
Verklig {3,3,5} ,, har 120 hörn, 720 kanter, 1200 {3} ytor och 600 {3,3} celler
Witting polyhedron ,,
har 240 hörn, 2160 3-kanter, 2160 3{3}3 sidor och 240 3{3}3{3}3 celler

Generaliserade 4-ortoplexer

Generaliserade 4-ortoplex har konstruktionen som vanliga vyeroch kvasireguljära typer som. Alla element är förenklade .

Verklig {3,3,4} ,eller,
med 8 hörn, 24 kanter, 32 ytor och 16 celler
2 {3} 2 {3} 2 {4} 3 ,eller,
med 12 hörn, 54 kanter, 108 ytor och 81 celler
2 {3} 2 {3} 2 {4} 4 ,eller,
med 16 hörn, 96 kanter, 256 kanter och 256 celler
2 {3} 2 {3} 2 {4} 5 ,eller,
med 20 hörn, 150 kanter, 500 ytor och 625 celler
2 {3} 2 {3} 2 {4} 6 ,eller,
med 24 hörn, 216 kanter, 864 ytor och 1296 celler
2 {3} 2 {3} 2 {4} 7 ,eller,
med 28 hörn, 294 kanter, 1372 ytor och 2401 celler
2 {3} 2 {3} 2 {4} 8 ,eller,
med 32 hörn, 384 kanter, 2048 ytor och 4096 celler
2 {3} 2 {3} 2 {4} 9 ,eller,
med 36 hörn, 486 kanter, 2916 ytor och 6561 celler
2 {3} 2 {3} 2 {4} 10 ,eller,
med 40 hörn, 600 kanter, 4000 ytor och 10000 celler

Generaliserade 4-kuber

Generaliserade tesserakter är konstruerade som regelbundna formeroch som prismatiska vyer, produkten av fyra p -gonala 1-polyedrar. Elementen är generaliserade kuber av lägre dimension.

Verklig {4,3,3} ,eller, 16 hörn, 32 kanter, 24 ytor och 8 celler
${_{3}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$ ,eller,
81 hörn, 108 kanter, 54 ytor och 12 celler
${_{4}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$ ,eller,
256 hörn, 96 kanter, 96 ytor och 16 celler
${_{5}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$ ,eller,
625 hörn, 500 kanter, 150 ytor och 20 celler
${_{6}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$ ,eller,
1296 hörn, 864 kanter, 216 ytor och 24 celler
${_{7}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$ ,eller,
2401 hörn, 1372 kanter, 294 ytor och 28 celler
${_{8}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$ ,eller,
4096 hörn, 2048 kanter, 384 ytor och 32 celler
${_{9}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$ ,eller,
6561 hörn, 2916 kanter, 486 ytor och 36 celler
${_{1}0}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$ ,eller,
10000 hörn, 4000 kanter, 600 ytor och 40 celler

Uppräkning av vanliga komplexa 5-polytoper

Regelbundna komplexa 5-polytoper i och högre dimensioner finns i tre familjer, verkliga förenklingar , generaliserade hyperkuber och ortoplexer . $\mathbb {C} ^{5}$

Mellanslag _	Grupp	Ordning	Polyeder	Toppar	revben	Fasett	celler	4-ansikten	van Oss polygon	Anteckningar
$\mathbb {R} ^{5}$	G(1,1,5) = [3,3,3,3]	720	α 5 = {3,3,3,3}	6	15 {}	20 {3}	15 {3,3}	6 {3,3,3}	—	Riktigt vanlig 5-simplex
$\mathbb {R} ^{5}$	G(2,1,5) =[3,3,3,4]	3840	${\displaystyle \beta _{5}^{2}=\beta _{5}=\{3,3,3,4\))$	tio	40 {}	80 {3}	80 {3,3}	32 {3,3,3}	{fyra}	Riktigt 5-ortoplex Samma som, beställning 1920
$\mathbb {R} ^{5}$	G(2,1,5) =[3,3,3,4]	3840	${\displaystyle \gamma _{5}^{2}=\gamma _{5}=\{4,3,3,3\))$	32	80 _	80 {4}	40 {4,3}	10 {4,3,3}	—	Real penteract Samma som {} 5 eller, order 32
$\mathbb {C} ^{5}$	G(p,1,5) 2 [3] 2 [3] 2 [3] 2 [4] p	120p5 _ _	$\beta _{5}^{p}={_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{ 2}}\{4\}{_{p}}$	5p _	10p2 { } _	10 p 3 {3}	5 p 4 {3,3}	p 5 {3,3,3}	${_{2}}\{4\}{_{p}}$	Generaliserad 5-ortoplex Samma som, beställ 120 p 4
$\mathbb {C} ^{5}$	G(p,1,5) 2 [3] 2 [3] 2 [3] 2 [4] p	120p5 _ _	$\gamma _{5}^{p}={_{p}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{ 2}}\{3\}{_{2}}$	p5 _	5 p 4 p {}	10p3 _ _ ${_{p}}\{4\}{_{2}}$	10p2 _ _ ${_{p}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	5p _ ${_{p}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	—	Generaliserad penteract Samma som p {} 5 eller, beställning s 5
$\mathbb {C} ^{5}$	G(3,1,5) ${_{2}}[3]{_{2}}[3]{_{2}}[3]{_{2}}[4]{_{3}}$	29160	$\beta _{5}^{3}={_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{ 2}}\{4\}{_{3}}$	femton	90 _	270 {3}	405 {3,3}	243 {3,3,3}	2 {4} 3	Samma som, beställ 9720
$\mathbb {C} ^{5}$	G(3,1,5) ${_{2}}[3]{_{2}}[3]{_{2}}[3]{_{2}}[4]{_{3}}$	29160	$\gamma _{5}^{3}={_{3}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{ 2}}\{3\}{_{2}}$	243	405 3 {}	270 ${_{3}}\{4\}{_{2}}$	90 ${_{3}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	femton ${_{3}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	—	Samma som 3 {} 5 eller, order 243
$\mathbb {C} ^{5}$	G(4,1,5) 2 [3] 2 [3] 2 [3] 2 [4] 4	122880	$\beta _{5}^{4}={_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{ 2}}\{4\}{_{4}}$	tjugo	160 _	640 {3}	1280 {3,3}	1024 {3,3,3}	2 {4} 4	Samma som, beställ 30720
$\mathbb {C} ^{5}$	G(4,1,5) 2 [3] 2 [3] 2 [3] 2 [4] 4	122880	$\gamma _{5}^{4}={_{4}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{ 2}}\{3\}{_{2}}$	1024	1280 4 {}	640 4 {4} 2	160 ${_{4}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	tjugo ${_{4}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	—	Samma som 4 {} 5 eller, beställning 1024
$\mathbb {C} ^{5}$	G(5,1,5) 2 [3] 2 [3] 2 [3] 2 [4] 5	375 000	$\beta _{5}^{5}={_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{ 2}}\{5\}{_{5}}$	25	250 {}	1250 {3}	3125 {3,3}	3125 {3,3,3}	2 {5} 5	Samma som, beställ 75000
$\mathbb {C} ^{5}$	G(5,1,5) 2 [3] 2 [3] 2 [3] 2 [4] 5	375 000	$\gamma _{5}^{5}={_{5}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{ 2}}\{3\}{_{2}}$	3125	3125 5 {}	1250 ${_{5}}\{5\}{_{2}}$	250 ${_{5}}\{5\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	25 ${_{5}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	—	Samma som 5 {} 5 eller, beställ 3125
$\mathbb {C} ^{5}$	G(6,1,5) 2 [3] 2 [3] 2 [3] 2 [4] 6	933210	$\beta _{5}^{6}={_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{ 2}}\{4\}{_{6}}$	trettio	360 {}	2160 {3}	6480 {3,3}	7776 {3,3,3}	${_{2}}\{4\}{_{6}}$	Samma som, beställning 155520
$\mathbb {C} ^{5}$	G(6,1,5) 2 [3] 2 [3] 2 [3] 2 [4] 6	933210	$\gamma _{5}^{6}={_{6}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{ 2}}\{3\}{_{2}}$	7776	6480 6 {}	2160 ${_{6}}\{4\}{_{2}}$	360 ${_{6}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	trettio ${_{6}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	—	Samma som 6 {} 5 eller, beställning 7776

Visualisering av vanliga komplexa 5-polytoper Generaliserade 5-ortoplexer

Generaliserade 5-ortoplex har konstruktionen som vanliga formeroch hur quasi-korrekt. Alla element är förenklade .

Verklig {3,3,3,4} ,,
10 hörn, 40 kanter,
80 ytor, 80 celler och 32 4-sidor
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 3 ,,
15 hörn, 90 kanter,
270 ytor, 405 celler och 243 4-sidor
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 4 ,,
20 hörn, 160 kanter,
640 ytor, 1280 celler och 1024 4-sidor
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 5 ,,
25 hörn, 250 kanter,
1250 ytor, 3125 celler och 3125 4 ytor
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 6 ,,
30 hörn, 360 kanter,
2160 ytor, 6480 celler, 7776 4-sidor
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 7 ,,
35 hörn, 490 kanter,
3430 ytor, 12005 celler, 16807 4-sidor
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 8 ,,
40 hörn, 640 kanter,
5120 ytor, 20480 celler, 32768 4-sidor
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 9 ,,
45 hörn, 810 kanter, 7290 ytor, 32805 celler, 59049 4-sidor
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 10 ,,
50 hörn, 1000 kanter,
10000 ytor, 50000 celler, 100000 4-sidor

Generaliserad penteracts

Generaliserade penterakter har konstruktionen som vanliga formeroch hur prismatisk, produkten av fem p -gonala 1-polyedrar. Elementen är generaliserade kuber av lägre dimension.

Verklig {4,3,3,3} ,,
32 hörn, 80 kanter,
80 ytor, 40 celler och 10 4-ytor
3 {4} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 ,,
243 hörn, 405 kanter, 270 ytor, 90 celler och 15 4-sidor
4 {4} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 ,,
1024 hörn, 1280 kanter,
640 ytor, 160 celler och 20 4-sidor
5 {4} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 ,,
3125 hörn, 3125 kanter,
1250 ytor, 250 celler och 25 4-sidor
6 {4} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 ,,
7776 hörn, 6480 kanter,
2160 ytor, 360 celler och 30 4-sidor

Uppräkning av regelbundna komplexa 6-polyedrar

Mellanslag _	Grupp	Ordning	Polyeder	Toppar	revben	Fasett	celler	4-ansikten	5-ansikte	van Oss polygon	Anteckningar
$\mathbb {R} ^{6}$	G(1,1,6) = [3,3,3,3,3]	720	α 6 = {3,3,3,3,3}	7	21 _	35 {3}	35 {3,3}	21 {3,3,3}	7 {3,3,3,3}	—	Riktig 6-simplex
$\mathbb {R} ^{6}$	G(2,1,6) [3,3,3,4]	46080	${\displaystyle \beta _{6}^{2}=\beta _{6}=\{3,3,3,4\))$	12	60 _	160 {3}	240 {3,3}	192 {3,3,3}	64 {3,3,3,3}	{fyra}	Riktigt 6-ortoplex Samma som, beställning 23040
$\mathbb {R} ^{6}$	G(2,1,6) [3,3,3,4]	46080	${\displaystyle \gamma _{6}^{2}=\gamma _{6}=\{4,3,3,3\))$	64	192 _	240 {4}	160 {4,3}	60 {4,3,3}	12 {4,3,3,3}	—	Verklig hexerakt Samma som {} 6 eller, order 64
$\mathbb {C} ^{6}$	G(p,1,6) ${_{2}}[3]{_{2}}[3]{_{2}}[3]{_{2}}[4]{_{p}}$	720p6 _ _	$\beta _{6}^{p}={_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{ 2}}\{4\}{_{p}}$	6p _	15 p 2 {}	20 p 3 {3}	15 p 4 {3,3}	6 p 5 {3,3,3}	sid 6 {3,3,3,3}	${_{2}}\{4\}{_{p}}$	Generaliserad 6-ortoplex Samma som, beställ 720 p 5
$\mathbb {C} ^{6}$	G(p,1,6) ${_{2}}[3]{_{2}}[3]{_{2}}[3]{_{2}}[4]{_{p}}$	720p6 _ _	$\gamma _{6}^{p}={_{p}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{ 2}}\{3\}{_{2}}$	p6 _	6 p 5 p {}	15 p 4 p {4} 2	20p3 _ _ ${_{p}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	15p2 _ _ ${_{p}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	6p _ ${_{p}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{ 2}}$	—	Generaliserad hexerakt Samma som p {} 6 eller, beställning s 6

Visualisering av vanliga komplexa 6-polytoper Generaliserade 6-ortoplexer

Generaliserade 6-ortoplex har konstruktionen som vanliga formeroch som kvasi-regelbundna former. Alla element är förenklade .

Verklig {3,3,3,3,4} ,,
12 hörn, 60 kanter, 160 sidor, 240 celler, 192 4-sidor och 64 5-sidor
${_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{ 2}}\{4\}{_{3}}$ ,,
18 hörn, 135 kanter, 540 ytor, 1215 celler, 1458 4-sidor och 729 5-sidor
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 4 ,,
24 hörn, 240 kanter, 1280 ytor, 3840 celler, 6144 4-sidor och 4096 5-sidor
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 5 ,,
30 hörn, 375 kanter, 2500 ytor, 9375 celler, 18750 4-sidor och 15625 5-sidor
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 6 ,,
36 hörn, 540 kanter, 4320 ytor, 19440 celler, 46656 4-sidor och 46656 5-sidor
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 7 ,,
42 hörn, 735 kanter, 6860 ytor, 36015 celler, 100842 4-sidor, 117649 5-sidor
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 8 ,,
48 hörn, 960 kanter, 10240 ytor, 61440 celler, 196608 4-sidor, 262144 5-sidor
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 9 ,,
54 hörn, 1215 kanter, 14580 ytor, 98415 celler, 354294 4-sidor, 531441 5-sidor
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 10 ,,
60 hörn, 1500 kanter, 20000 ytor, 150000 celler, 600000 4-ytor, 1000000 5-ytor

Generaliserade 6-kuber (hexerakter)

Generaliserade 6-kuber är konstruerade som vanliga formeroch prismatiska former, produkten av sex p -gonala 1-goner. Elementen är generaliserade kuber av mindre dimensioner.

Verklig {3,3,3,3,3,4} ,, 64 hörn, 192 kanter, 240 ytor, 160 celler, 60 4-sidor och 12 5-sidor
${_{3}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{ 2}}\{3\}{_{2}}$ ,, 729 hörn, 1458 kanter, 1215 ytor, 540 celler, 135 4-sidor och 18 5-sidor
${_{4}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{ 2}}\{3\}{_{2}}$ ,, 4096 hörn, 6144 kanter, 3840 ytor, 1280 celler, 240 4-sidor och 24 5-sidor
${_{5}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{ 2}}\{3\}{_{2}}$ ,, 15625 hörn, 18750 kanter, 9375 ytor, 2500 celler, 375 4-sidor och 30 5-sidor

Uppräkning av regelbundna komplexa infinitohedrons

Coxeter listade icke-stjärniga regelbundna komplexa oändligheter och bikakor [27] .

För varje dimension finns det 12 oändligheter med symboler som finns i vilken dimension som helst , eller om p = q =2. Coxeter kallade dem generaliserade kubiska honungskakor för n > [28] . $\delta _{n+1}^{p,r}$ $\mathbb{C}^n$ $\mathbb {R} ^{n}$

Var och en har ett proportionellt antal element som ges av formlerna:

k-ansikten = , där och n ! betyder faktorn för talet n .

{n \choose k}p^{nk}r^{k}

{n \choose m}={\frac {n!}{m!\,(nm)!}}

Regelbundna komplexa 1-polytoper

Den enda riktiga komplexa 1-polytopen är ∞ {}, eller. Dess verkliga representation är apeirogonen {∞}, eller.

Regelbundna komplexa apeirogoner

Komplexa infinitegons av rang 2 har symmetri p [ q ] r , där 1/ p + 2/ q + 1/ r = 1. Coxeter uttrycker dem som , där q begränsas av [29] . $\delta _{2}^{p,r}$ $q=2/(1-(p+r)/pr)$

Det finns 8 lösningar:

${_{2}}[{\infty }]{_{2}}$	${_{3}}[12]{_{2}}$	${_{4}}[8]{_{2}}$	${_{6}}[6]{_{2}}$	${_{3}}[6]{_{3}}$	${_{6}}[4]{_{3}}$	${_{4}}[4]{_{4}}$	${_{6}}[3]{_{6}}$

Det finns två uteslutna lösningar med udda q och ojämna p och r , dessa är och , ${_{1}0}[5]{_{2))$ ${_{1}2}[3]{_{4))$ eller.

En vanlig komplex oändlighet -gon har p -kant och q -gonala vertexfigurer. Kroppens dubbla oändlighet är . Formens infinity-gon är självdual. Visa grupper har halv symmetri så att oändligheten ${_{p}}\{q\}{_{r}}$ ${_{p}}\{q\}{_{r}}$ ${_{r}}\{q\}{_{p}}$ ${_{p}}\{q\}{_{p}}$ ${_{p}}[2q]{_{2}}$ ${_{p}}[q]{_{p}}$ är samma som den kvasi-regelbundna polyedern[30] .

Apeirogoner kan representeras på det komplexa planet av fyra olika arrangemang av hörn. Apeirogoner av en art har ett vertexarrangemang { q /2, p }, apeirogoner av en art har ett arrangemang av hörn r{ p , q /2} och apeirogoner av en art har ett arrangemang av hörn { p , r }. ${_{2}}\{q\}{_{r}}$ ${_{p}}\{q\}{_{2}}$ ${_{p}}\{4\}{_{r}}$

Om affina noder är aktiverade läggs ytterligare 3 oändliga lösningar till ( $\mathbb {C} ^{2}$ ${_{\infty }}[2]{_{\infty }},{_{\infty }}[4]{_{2}},{_{\infty }}[3]{_ {3}}$ ,och). Den första lösningen är en undergrupp med index 2 av den andra. Topparna av dessa oändligheter finns vid . $\mathbb {C} ^{1}$

Rank 2

Mellanslag _	Grupp	Apeirogon	Kant	$\mathbb {R} ^{2}$ representativ [31]	Anteckningar
${\mathbb {R}}^{1}$	2 [∞] 2 = [∞]	$\delta _{2}^{2,2}=\infty$	{}		Verklig oändlighet Samma som
$\mathbb {C} ^{2}$ / $\mathbb {C} ^{1}$	∞ [4] 2	∞ {4} 2	∞ {}	{4,4}	Samma som
$\mathbb {C} ^{1}$	∞ [3] 3	∞ {3} 3	∞ {}	{3,6}	Samma som
$\mathbb {C} ^{1}$	p [ q ] r	$\delta _{2}^{p,r}={_{p}}\{q\}{_{r}}$	p {}
$\mathbb {C} ^{1}$	${_{3}}[12]{_{2}}$	$\delta _{2}^{3,2}={_{3}}\{12\}{_{2}}$	3 {}	r{3,6}	Samma som
$\mathbb {C} ^{1}$	${_{3}}[12]{_{2}}$	$\delta _{2}^{2,3}={_{2}}\{12\}{_{3}}$	{}	{6,3}
$\mathbb {C} ^{1}$	3 [6] 3	$\delta _{2}^{3,3}={_{3}}\{6\}{_{3}}$	3 {}	{3,6}	Samma som
$\mathbb {C} ^{1}$	4 [8] 2	$\delta _{2}^{4,2}={_{4}}\{8\}{_{2}}$	4 {}	{4,4}	Samma som
$\mathbb {C} ^{1}$	4 [8] 2	$\delta _{2}^{2,4}={_{2}}\{8\}{_{4}}$	{}	{4,4}
$\mathbb {C} ^{1}$	4 [4] 4	$\delta _{2}^{4,4}={_{4}}\{4\}{_{4}}$	4 {}	{4,4}	Samma som
$\mathbb {C} ^{1}$	6 [6] 2	$\delta _{2}^{6,2}={_{6}}\{6\}{_{2}}$	6 {}	r{3,6}	Samma som
$\mathbb {C} ^{1}$	6 [6] 2	$\delta _{2}^{2,6}={_{2}}\{6\}{_{6}}$	{}	{3,6}
$\mathbb {C} ^{1}$	6 [4] 3	$\delta _{2}^{6,3}={_{6}}\{4\}{_{3}}$	6 {}	{6,3}
$\mathbb {C} ^{1}$	6 [4] 3	$\delta _{2}^{3,6}={_{3}}\{4\}{_{6}}$	3 {}	{3,6}
$\mathbb {C} ^{1}$	6 [3] 6	$\delta _{2}^{6,6}={_{6}}\{3\}{_{6}}$	6 {}	{3,6}	Samma som

Regelbundna komplexa oändligheter (tredimensionellt utrymme)

Det finns 22 vanliga komplexa oändligheter av formen . 8 kroppar är självduala ( p = r och a = b ), medan 14 existerar som dubbla par av polyedrar. Tre av dem är helt verkliga ( p = q = r = 2). ${_{p}}\{a\}{_{q}}\{b\}{_{r}}$

Coxeter gav tolv av dem symbolerna (eller ) och de är de korrekta formerna av produkten av oändligheter eller , där q beräknas från p och r . $\delta _{3}^{p,r}$ ${_{p}}\{4\}{_{2}}\{4\}{_{r}}$ ${\displaystyle \delta _{2}^{p,r}{\times }\delta _{2}^{p,r))$ ${_{p}}\{q\}{_{r}}{\times }{_{p}}\{q\}{_{r}}$

Polyedra är det samma som, såväl somför p , r = 2,3,4,6. Också,=[32] .

Rank 3

Mellanslag _	Grupp	Oändlig -kant	Toppar	revben		Fasett		Van Oss oändliga -hedron	Anteckningar
$\mathbb {C} ^{3}$	2 [3] 2 [4] ∞	∞ {4} 2 {3} 2			∞ {}		∞ {4} 2		Samma som ∞ {}× ∞ {}× ∞ {} eller Verklig representation {4,3,4}
$\mathbb {C} ^{2}$	p [4] 2 [4] r	p {4} 2 {4} r	p2 _	2pq _	p {}	r2 _	p {4} 2	2 { q } r	Samma som, p , r = 2,3,4,6
$\mathbb {R} ^{2}$	[4,4]	$\delta _{3}^{2,2}=\{4,4\}$	fyra	åtta	{}	fyra	{fyra}	{∞}	Riktigt fyrkantigt kakel Samma somellereller
$\mathbb {C} ^{2}$	3 [4] 2 [4] 2 3 [4] 2 [4] 3 4 [4] 2 [4] 2 4 [4] 2 [4] 4 6 [4] 2 [4] 2 6 [4] 2 [4] 3 6 [4] 2 [4] 6	3 {4} 2 {4} 2 2 {4} 2 {4} 3 3 {4} 2 {4} 3 4 {4} 2 {4} 2 2 {4} 2 {4} 4 4 {4} 2 {4} 4 6 {4} 2 {4} 2 2 {4} 2 {4} 6 6 {4} 2 {4} 3 3 {4} 2 {4} 6 6 {4} 2 {4} 6	9 4 9 16 4 16 36 4 36 9 36	12 12 18 16 16 32 24 24 36 36 72	3 {} {} 3 {} 4 {} {} 4 {} 6 {} {} 6 {} 3 {} 6 {}	4 9 9 4 16 16 4 36 9 36 36	3 {4} 2 {4} 3 {4} 2 4 {4} 2 {4} 4 {4} 2 6 {4} 2 {4} 6 {4} 2 3 {4} 2 6 {4} 2	p { q } r	Samma somellereller Samma som Samma som Samma somellereller Samma som Samma som Samma somellereller Samma som Samma som Samma som Samma som

Mellanslag _	Grupp	Infinitehedron	Toppar	revben		Fasett		van Oss polygon	Anteckningar
$\mathbb {C} ^{2}$	2 [4] r [4] 2	2 {4} r {4} 2	2		{}	2	p {4} 2'	2 {4} r	Samma somochr = 2,3,4,6
$\mathbb {R} ^{2}$	[4,4]	{4,4}	2	fyra	{}	2	{fyra}	{∞}	Samma somoch
$\mathbb {C} ^{2}$	${_{2}}[4]{_{3}}[4]{_{2}}$ ${_{2}}[4]{_{4}}[4]{_{2}}$ ${_{2}}[4]{_{6}}[4]{_{2}}$	${_{2}}\{4\}{_{3}}\{4\}{_{2}}$ ${_{2}}\{4\}{_{4}}\{4\}{_{2}}$ ${_{2}}\{4\}{_{6}}\{4\}{_{2}}$	2	9 16 36	{}	2	${_{2}}\{4\}{_{3}}$ ${_{2}}\{4\}{_{4}}$ ${_{2}}\{4\}{_{6}}$	${_{2}}\{q\}{_{r}}$	Samma somoch Samma somoch Samma somoch[33]

Mellanslag _	Grupp	Polyeder	Toppar	revben		Fasett		van Oss infinite- gon	Anteckningar
$\mathbb {R} ^{2}$	2 [6] 2 [3] 2 = [6,3]	{3,6}	ett	3	{}	2	{3}	{∞}	Riktigt triangulärt kakel
$\mathbb {R} ^{2}$	2 [6] 2 [3] 2 = [6,3]	{6,3}	2	3	{}	ett	{6}	—	Riktigt sexkantigt kakel
$\mathbb {C} ^{2}$	3 [4] 3 [3] 3	3 {3} 3 {4} 3	ett	åtta	3 {}	3	3 {3} 3	3 {4} 6	Samma som
$\mathbb {C} ^{2}$	3 [4] 3 [3] 3	3 {4} 3 {3} 3	3	åtta	3 {}	2	3 {4} 3	3 {12} 2
$\mathbb {C} ^{2}$	4 [3] 4 [3] 4	4 {3} 4 {3} 4	ett	6	4 {}	ett	4 {3} 4	4 {4} 4	Självdual, samma som
$\mathbb {C} ^{2}$	4 [3] 4 [4] 2	4 {3} 4 {4} 2	ett	12	4 {}	3	4 {3} 4	2 {8} 4	Samma som
$\mathbb {C} ^{2}$	4 [3] 4 [4] 2	2 {4} 4 {3} 4	3	12	{}	ett	2 {4} 4	4 {4} 4

Vanliga komplexa 3-oändliga-toppar

Det finns 16 vanliga komplexa infinithedra i . Coxeter gav tolv av dem symbolerna , där q är begränsad till uttrycket . De kan sönderdelas till produkten av oändligheter: $\mathbb {C} ^{3}$ $\delta _{3}^{p,r}$ $q=2/(1-(p+r)/pr)$ =. I det första fallet har vi cubic honeycombs i . $\mathbb {R} ^{3}$

Rank 4

Mellanslag _	Grupp	3-oändlig hedron	revben	Fasett	celler	van Oss infinite- gons	Anteckningar
$\mathbb {C} ^{3}$	p [4] 2 [3] 2 [4] r	$\delta _{3}^{p,r}={_{p}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{ _{r}}$	p {}	${_{p}}\{4\}{_{2}}$	${_{p}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	${_{p}}\{q\}{_{r}}$	Samma som
$\mathbb {R} ^{3}$	2 [4] 2 [3] 2 [4] 2 =[4,3,4]	$\delta _{3}^{2,2}={_{2}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{ _{2}}$	{}	{fyra}	{4,3}		Cubic honeycombs Samma somellereller
$\mathbb {C} ^{3}$	${_{3}}[4]{_{2}}[3]{_{2}}[4]{_{2}}$	$\delta _{3}^{3,2}={_{3}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{ _{2}}$	3 {}	3 {4} 2	3 {4} 2 {3} 2		Samma somellereller
$\mathbb {C} ^{3}$	${_{3}}[4]{_{2}}[3]{_{2}}[4]{_{2}}$	$\delta _{3}^{2,3}={_{2}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{ _{3}}$	{}	{fyra}	{4,3}		Samma som
$\mathbb {C} ^{3}$	${_{3}}[4]{_{2}}[3]{_{2}}[4]{_{3}}$	$\delta _{3}^{3,3}={_{3}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{ _{3}}$	${_{3}}\{\}$	${_{3}}\{4\}{_{2}}$	${_{3}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$		Samma som
$\mathbb {C} ^{3}$	${_{4}}[4]{_{2}}[3]{_{2}}[4]{_{2}}$	$\delta _{3}^{4,2}={_{4}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{ _{2}}$	${_{4}}\{\}$	${_{4}}\{4\}{_{2}}$	${_{4}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$		Samma somellereller
$\mathbb {C} ^{3}$	${_{4}}[4]{_{2}}[3]{_{2}}[4]{_{2}}$	$\delta _{3}^{2,4}={_{2}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{ _{fyra}}$	{}	{fyra}	{4,3}		Samma som
$\mathbb {C} ^{3}$	${_{4}}[4]{_{2}}[3]{_{2}}[4]{_{4}}$	$\delta _{3}^{4,4}={_{4}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{ _{fyra}}$	4 {}	4 {4} 2	4 {4} 2 {3} 2		Samma som
$\mathbb {C} ^{3}$	${_{6}}[4]{_{2}}[3]{_{2}}[4]{_{2}}$	$\delta _{3}^{6,2}={_{6}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{ _{2}}$	${_{6}}\{\}$	${_{6}}\{4\}{_{2}}$	${_{6}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$		Samma somellereller
$\mathbb {C} ^{3}$	${_{6}}[4]{_{2}}[3]{_{2}}[4]{_{2}}$	$\delta _{3}^{2,6}={_{2}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{ _{6}}$	{}	{fyra}	{4,3}		Samma som
$\mathbb {C} ^{3}$	${_{6}}[4]{_{2}}[3]{_{2}}[4]{_{3}}$	$\delta _{3}^{6,3}={_{6}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{ _{3}}$	${_{6}}\{\}$	${_{6}}\{4\}{_{2}}$	${_{6}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$		Samma som
$\mathbb {C} ^{3}$	${_{6}}[4]{_{2}}[3]{_{2}}[4]{_{3}}$	$\delta _{3}^{3,6}={_{3}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{ _{6}}$	${_{3}}\{\}$	${_{3}}\{4\}{_{2}}$	${_{3}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$		Samma som
$\mathbb {C} ^{3}$	6 [4] 2 [3] 2 [4] 6	$\delta _{3}^{6,6}={_{6}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{ _{6}}$	6 {}	${_{6}}\{4\}{_{2}}$	${_{6}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$		Samma som

Placering 4, undantagsfall

Mellanslag _	Grupp	3-oändlig hedron	Toppar	revben	Fasett	celler	van Oss infinite- gon	Anteckningar
$\mathbb {C} ^{3}$	${_{2}}[4]{_{3}}[3]{_{3}}[3]{_{3}}$	${_{3}}\{3\}{_{3}}\{3\}{_{3}}\{4\}{_{2}}$	ett	24 ${_{3}}\{\}$	27 ${_{3}}\{3\}{_{3}}$	2 ${_{3}}\{3\}{_{3}}\{3\}{_{3}}$	${_{3}}\{4\}{_{6}}$	Samma som
$\mathbb {C} ^{3}$	${_{2}}[4]{_{3}}[3]{_{3}}[3]{_{3}}$	${_{2}}\{4\}{_{3}}\{3\}{_{3}}\{3\}{_{3}}$	2	27	24 ${_{2}}\{4\}{_{3}}$	ett ${_{2}}\{4\}{_{3}}\{3\}{_{3}}$	${_{2}}\{12\}{_{3}}$
$\mathbb {C} ^{3}$	${_{2}}[3]{_{2}}[4]{_{3}}[3]{_{3}}$	${_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{_{3}}\{3\}{_{3}}$	ett	27	72 ${_{2}}\{3\}{_{2}}$	åtta ${_{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{_{3}}$	${_{2}}\{6\}{_{6}}$
$\mathbb {C} ^{3}$	${_{2}}[3]{_{2}}[4]{_{3}}[3]{_{3}}$	${_{3}}\{3\}{_{3}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	åtta	72 ${_{3}}\{\}$	27 ${_{3}}\{3\}{_{3}}$	ett ${_{3}}\{3\}{_{3}}\{4\}{_{2}}$	${_{3}}\{6\}{_{3}}$	Samma someller

Vanliga komplexa 4-oändliga toppar

Det finns 15 vanliga komplexa infinithedra i . Coxeter gav tolv av dem symbolerna , där q är begränsad till uttrycket . De kan sönderdelas till en produkt av oändligheter: ${\displaystyle \mathbb {C} ^{4))$ $\delta _{4}^{p,r}$ $q=2/(1-(p+r)/pr)$ =. I det första fallet har vi tesseract honeycombs som verkliga lösningar . 16-cells honeycomb och 24-cell honeycomb i . Den sista lösningen har Witting polyhedra som element . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4))$

Rank 5

Mellanslag _	Grupp	4-oändlig hedron	Toppar	revben	Fasett	celler	4-ansikten	van Oss oändlig -gon	Anteckningar
${\displaystyle \mathbb {C} ^{4))$	${_{p}}[4]{_{2}}[3]{_{2}}[3]{_{2}}[4]{_{r}}$	$\delta _{4}^{p,r}={_{p}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{ _{2}}\{4\}{_{r}}$		${_{p}}\{\}$	${_{p}}\{4\}{_{2}}$	${_{p}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	${_{p}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	${_{p}}\{q\}{_{r}}$	Samma som
${\displaystyle \mathbb {R} ^{4))$	${_{2}}[4]{_{2}}[3]{_{2}}[3]{_{2}}[4]{_{2}}$	${\displaystyle \delta _{4}^{2,2}=\{4,3,3,3\))$		{}	{fyra}	{4,3}	{4,3,3}	{∞}	Tesseract honeycomb Samma som
${\displaystyle \mathbb {R} ^{4))$	${_{2}}[3]{_{2}}[4]{_{2}}[3]{_{2}}[3]{_{2}}$ =[3,4,3,3]	{3,3,4,3}	ett	12 {}	32 {3}	24 {3,3}	3 {3,3,4}		Real 16 cell honeycomb Samma som
${\displaystyle \mathbb {R} ^{4))$	${_{2}}[3]{_{2}}[4]{_{2}}[3]{_{2}}[3]{_{2}}$ =[3,4,3,3]	{3,4,3,3}	3	24	32 {3}	12 {3,4}	1 {3,4,3}		Riktiga 24-cells honeycombs Samma someller
${\displaystyle \mathbb {C} ^{4))$	${_{3}}[3]{_{3}}[3]{_{3}}[3]{_{3}}[3]{_{3}}$	${_{3}}\{3\}{_{3}}\{3\}{_{3}}\{3\}{_{3}}\{3\}{_{ 3}}$	ett	80 ${_{3}}\{\}$	270 ${_{3}}\{3\}{_{3}}$	80 ${_{3}}\{3\}{_{3}}\{3\}{_{3}}$	ett ${_{3}}\{3\}{_{3}}\{3\}{_{3}}\{3\}{_{3}}$	${_{3}}\{4\}{_{6}}$	${\mathbb {R}}^{8}$ prestanda 5 21

Vanliga komplexa 5-oändliga toppar och över

Det finns bara 12 vanliga komplexa oändligheter vid och över [34] , som betecknas med , där q begränsas av . De kan sönderdelas till en produkt av n oändlighetsoper: $\mathbb {C} ^{5}$ $\delta _{n}^{p,r}$ $q=2/(1-(p+r)/pr)$ …=…. I det första fallet har vi hyperkubiska honungskakor i . $\mathbb {R} ^{n}$

Placering 6

Mellanslag _	Grupp	5-oändliga	Toppar	revben	Fasett	celler	4-ansikten	5-ansikte	Van Oss polygoner	Anteckningar
$\mathbb {C} ^{5}$	${_{p}}[4]{_{2}}[3]{_{2}}[3]{_{2}}[3]{_{2}}[4]{_ {r}}$	$\delta _{5}^{p,r}={_{p}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{ _{2}}\{3\}{_{2}}\{4\}{_{r}}$		${_{p}}\{\}$	${_{p}}\{4\}{_{2}}$	${_{p}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	${_{p}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$	${_{p}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{2}}\{3\}{_{ 2}}$	${_{p}}\{q\}{_{r}}$	Samma som
$\mathbb {R} ^{5}$	${_{2}}[4]{_{2}}[3]{_{2}}[3]{_{2}}[3]{_{2}}[4]{_ {2}}$ =[4,3,3,3,4]	${\displaystyle \delta _{5}^{2,2}=\{4,3,3,3,4\))$		{}	{fyra}	{4,3}	{4,3,3}	{4,3,3,3}	{∞}	5-kubisk honeycomb Samma som

Van Oss polygoner

Van Oss- polygonen är en regelbunden polygon i ett plan (verkligt plan eller komplext plan ) som innehåller både kanterna och barycentret av en vanlig polytop, och som bildas av polytopens element. Alla vanliga polyedrar har inte van Oss-polygoner. $\mathbb {R} ^{2}$ $\mathbb {C} ^{2}$

Till exempel är van Oss-polygonerna i en riktig oktaeder tre kvadrater vars plan passerar genom mitten av oktaedern. Däremot har kuben inga van Oss-polygoner, eftersom planet skär två fyrkantiga ytor diagonalt från kant till mitt, så att de två kanterna på kuben på det resulterande planet inte bildar en polygon.

Oändliga honungskakor har också van Oss-polygoner . Till exempel har den riktiga kvadratiska plattsättningen och den triangulära plattsättningen apeirogoner { ∞} som van Oss-polygoner [35] .

Van Oss-polygonen för en vanlig komplex polytop av formen …, om den finns, har p -kanter. ${_{p}}\{q\}{_{r}}\{s\}{_{t}}$

Oregelbundna komplexa polyedrar

Produkt av komplexa polytoper

Ett exempel på en produkt av komplexa polyedrar

Komplex produkt av polygonereller , har 10 hörn förbundna med fem 2-kanter och två 5-kanter, och representeras som ett 3-dimensionellt femkantigt prisma . $\{\}{\times }{_{5}}\{\}$	Dubbel polygon , har 7 hörn placerade i mitten av de ursprungliga kanterna, förbundna med 10 kanter. Dess verkliga representation är en femkantig bipyramid . $\{\}+{_{5}}\{\}$

Vissa komplexa polytoper kan representeras som en direkt produkt . Dessa produkter av polyedrar är inte strikt regelbundna eftersom de har mer än en typ av facett, men vissa kan uppvisa lägre symmetrier av regelbundna former om alla ortogonala polyedrar är likadana. Till exempel ett verk eller ${_{p}}\{\}{\times }{_{p}}\{\}$ två 1-polytoper är detsamma som en vanlig polytop eller ${_{p}}\{4\}{_{2}}$ . Mer allmänna produkter som har verkliga representationer som 4-dimensionella p - q duoprismer . Den dubbla polytopen av en produkt av polytoper kan skrivas som en summa och har en reell representation som en 4-dimensionell p - q duopyramid . En polyeder kan ha dubbelt så stor symmetri som en vanlig komplex polyeder, eller ${_{p}}\{\}{\times }{_{q}}\{\}$ ${_{p}}\{\}+{_{q}}\{\}$ ${_{p}}\{\}+{_{p}}\{\}$ ${_{2}}\{4\}{_{p}}$ .

På liknande sätt kan en komplex polytop konstrueras som en trippelprodukt: eller $\mathbb {C} ^{3}$ ${_{p}}\{\}{\times }{_{p}}\{\}{\times }{_{p}}\{\}$ - samma som den vanliga generaliserade kuben , eller ${_{p}}\{4\}{_{2}}\{3\}{_{2}}$ , som ett verk eller ${_{p}}\{4\}{_{2}}{\times }{_{p}}\{\}$ [36] .

Kvasireguljära polyedrar

En kvasi-regelbunden polygon är en trunkering av en vanlig polygon. Kvasiregelbunden polygoninnehåller en växling av kanter av vanliga polygoneroch. En kvasi-regelbunden polygon har p hörn på regelbundna p-kanter.

Exempel på kvasi-regelbundna polyedrar

p [ q ] r	2 [4] 2	3 [4] 2	4 [4] 2	5 [4] 2	6 [4] 2	7 [4] 2	8 [4] 2	3 [3] 3	3 [4] 3
Höger	4 2-ribben	9 3-ribben	16 4-ribben	25 5-ribben	36 6-ribbor	49 8-ribben	64 8-ribben
Kvasikorrekt _	= 4+4 2-kanter	6 st 2-ribbor 9 3-ribbor	8 2-ribbor 16 4-ribbor	10 st 2-ribbor 25 st 5-ribbor	12 2-ribbor 36 6-ribbor	14 2-ribbor 49 7-ribbor	16 2-ribbor 64 8-ribbor	=	=
Höger	4 2-ribben	6 2-ribben	8 2-ribben	10 2-kanter	12 2-ribben	14 2-ribben	16 2-ribben

Kvasireguljära apeirogoner

Det finns 7 kvasi-regelbundna komplexa oändligheter som alternerar kanterna på den vanliga oändligheten och dess dubbla. Arrangemangen av hörnen i denna oändlighetsgon har representationer med regelbundna och enhetliga plattsättningar av det euklidiska planet. Den sista kolumnen för 6{3}6 innehåller oändligheter som inte bara är självduala, utan för dem sammanfaller dualen med sig själv med överlagrade hexagonala kanter, så att deras kvasi-regelbundna former också har överlagrade hexagonala kanter och den kan inte ritas med två omväxlande färger, som i andra kolumner. Symmetrin för självdubbla familjer kan fördubblas, vilket skapar en identisk geometri, som i de vanliga formerna:=

${_{p}}[q]{_{r}}$	${_{4}}[4]{_{4}}$	${_{3}}[6]{_{3}}$	${_{6}}[3]{_{6}}$
Höger eller p { q } r
Kvasikorrekt	=	=	=
Riktig dual eller r { q } sid

Kvasireguljära polygoner

Som i fallet med riktiga polytoper kan en komplex kvasi-regelbunden polytop konstrueras som en fullständig trunkering av en vanlig polytop. Topparna är bildade i mitten av kanterna på en vanlig polyeder, och ytorna på en vanlig polyeder och deras dualer är växelvis placerade längs gemensamma kanter.

Till exempel en p-generaliserad kub,
har p 3 hörn, 3 p 2 kanter och 3 p p -generaliserade fyrkantsytor, medan en p -generaliserad oktaeder,
har 3 p hörn, 3 p 2 kanter och p 3 triangulära ytor. Genomsnittlig kvasi-reguljär form av den p -generaliserade kuboktaedern,
har 3 p 2 hörn, 3 p 3 kanter och 3 p + p 3 ytor.

Även den fullständiga trunkeringen av den hessiska polyedern - detta är, en kvasi-regelbunden form som delar geometrin med en vanlig komplex polyeder.

Kvasikorrekta exempel

Generaliserad kub/oktaeder						Hessisk polyeder
	p=2 (verklig)	p=3	p=4	p=5	p=6	Hessisk polyeder
Generaliserade kuber (höger)	kub ,, 8 hörn, 12 2-kanter och 6 ansikten.	, 27 hörn, 27 3-kanter och 9 ansikten, en varderaansikten (blått och rött)	, 64 hörn, 48 4-kanter och 12 ansikten.	, 125 hörn, 75 5-kanter och 15 ansikten.	, 216 hörn, 108 6-kanter och 18 sidor.	, 27 hörn, 72 6-kanter och 27 ansikten.
Generaliserad cuboctahedron (kvasikorrekt)	Cuboctahedron , 12 hörn, 24 2-kanter och 6+8 sidor.	, 27 hörn, 81 2-kanter och 9+27 sidor, enkant (blå)	, 48 hörn, 192 2-kanter och 12+64 sidor, enkant (blå)	, 75 hörn, 375 2-kanter och 15+125 sidor.	, 108 hörn, 648 2-kanter och 18+216 sidor.	=, 72 hörn, 216 3-kanter och 54 ansikten.
Generaliserad oktaeder (höger)	Oktaeder , 6 hörn, 12 2-kanter och 8 {3} sidor.	, 9 hörn, 27 2-kanter och 27 {3} sidor.	, 12 hörn, 48 2-kanter och 64 {3} ansikten.	, 15 hörn, 75 2-kanter och 125 {3} sidor.	, 18 hörn, 108 2-kanter och 216 {3} sidor.	, 27 hörn, 72 6-kanter och 27 ansikten.

Andra komplexa polytoper med komplexa reflektioner av period två

Andra oregelbundna komplexa polytoper kan konstrueras med hjälp av komplexa reflektionsgrupper, som inte producerar Coxeter-linjediagram. I loopade Coxeter-diagram markerar Coxeter perioden, som i diagrammeteller symbol och grupp [37] [38] . Dessa komplexa polytoper har inte systematiskt undersökts utöver några speciella fall. $(1_{1}1~1)^{3}$ ${\displaystyle [1~1~1]^{3))$

Gruppbestäms av 3 komplexa reflektioner, , alla av ordning 2: . Perioden p kan ses som en dubbelrotation i det verkliga rummet . ${\displaystyle R_{1},R_{2},R_{3))$ $R_{1}^{2}=R_{1}^{2}=R_{3}^{2}=(R_{1}R_{2})^{3}=(R_{2} R_{3})^{3}=(R_{3}R_{1})^{3}=(R_{1}R_{2}R_{3}R_{1})^{p}=1$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4))$

Som i fallet med Wythoff-konstruktioner , för polytoper som genereras av reflektioner, är antalet hörn av en polytop med ett Coxeter-diagram med en cirkel lika med ordningen för gruppen dividerat med ordningen för undergruppen där den inringade noden tas bort . Till exempel har den riktiga kuben ett Coxeter-diagram, med oktaedrisk symmetri ordning 48 och undergruppen av dihedrisk symmetriordning 6, så antalet kubhörn är s 48/6=8. Fasetter byggs genom att man tar bort en nod, den som är längst bort från noden med en cirkel, till exempelför en kub. Vertexformer genereras genom att ta bort en konturerad nod och placera en cirkel eller cirklar på angränsande noder,för en kub.

Coxeter representerar dessa grupper med följande symboler. Vissa grupper har samma ordning men olika struktur, som definierar samma arrangemang av hörn i komplexa polyedrar, men olika kanter och högre dimensionella element, som i diagramochmed p ≠3 [39]

Grupper genererade av komplexa reflektioner

Coxeter diagram	Ordning	Symbol eller position i tabell VII av Shepard eller Todd (1954)
, (och),,…	p n − 1 n !, p ≥ 3	${\displaystyle G(p,p,n),[p],[1~1~1]^{p},[1~1(n-2)^{p}]^{3))$
,	72•6!, 108•9!	Nr. 33, 34, , ${\displaystyle [1~2~2]^{3))$ ${\displaystyle [1~2~3]^{3))$
, (och), (och)	14•4!, 3•6!, 64•5!	Nr 24, 27, 29

Coxeter kallar några av dessa komplexa polytoper nästan regelbundna , eftersom de har regelbundna fasetter och vertexfigurer. Den första är en variant av den generaliserade korspolytopen med mindre symmetri i . Den andra är en fraktionerad generaliserad kub där p -kanter reduceras till separata hörn, vilket lämnar enkla 2-kanter. Tre av dem är relaterade till en ändlig regelbunden sned polyeder i . $\mathbb {C} ^{3}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4))$

Några nästan vanliga komplexa polyedrar [40]

Mellanslag _	Grupp	Ordning	Coxeter symboler	Toppar	revben	Fasett	Vertex figur	Anteckningar
$\mathbb {C} ^{3}$	${\displaystyle [1~1~1^{p}]^{3))$ p =2,3,4…	$6p^{2}$	${\displaystyle (1~1~1_{1}^{p})^{3))$	3p _	3p2 _ _	{3}	{ 2p }	Shepards symbol är densamma som ${\displaystyle (1~1;1_{1})^{p))$ $\beta _{3}^{p}=$
$\mathbb {C} ^{3}$	${\displaystyle [1~1~1^{p}]^{3))$ p =2,3,4…	$6p^{2}$	$(1_{1}1~1^{p})^{3}$	p2 _		{3}	{6}	Shepards symbol ${\displaystyle (1_{1}1;1)^{p))$ ${\displaystyle 1/p\gamma _{3}^{p))$
$\mathbb {R} ^{3}$	${\displaystyle [1~1~1^{2}]^{3))$	24	${\displaystyle (1~1~1_{1}^{2})^{3))$	6	12	8 {3}	{fyra}	Samma som $\beta _{3}^{2}=$ = riktig oktaeder
$\mathbb {R} ^{3}$	${\displaystyle [1~1~1^{2}]^{3))$	24	${\displaystyle (1_{1}1~1^{2})^{3))$	fyra	6	4 {3}	{3}	1/2 $\gamma _{3}^{2}=$ = = verklig tetraeder $\alpha {_{3))$
$\mathbb {C} ^{3}$	${\displaystyle [1~1~1]^{3))$	54	${\displaystyle (1~1~1_{1})^{3))$	9	27	{3}	{6}	Shepards symbol är densamma som ${\displaystyle (1~1;1_{1})^{3))$ $\beta _{3}^{3}=$
$\mathbb {C} ^{3}$	${\displaystyle [1~1~1]^{3))$	54	$(1_{1}1~1)^{3}$	9	27	{3}	{6}	Shepard Symbol 1/3 $(1_{1}1;1)^{3}$ ${\displaystyle \gamma _{3}^{3}=\beta _{3}^{3))$
$\mathbb {C} ^{3}$	$[1~1~1^{4}]^{3}$	96	$(1~1~1_{1}^{4})^{3}$	12	48	{3}	{åtta}	Shepards symbol är densamma som $(1~1;1_{1})^{4}$ $\beta _{3}^{4}=$
$\mathbb {C} ^{3}$	$[1~1~1^{4}]^{3}$	96	$(1_{1}1~1^{4})^{3}$	16		{3}	{6}	Shepard Symbol 1/4 $(1_{1}1;1)^{4}$ ${\displaystyle \gamma _{3}^{4))$
$\mathbb {C} ^{3}$	${\displaystyle [1~1~1^{5}]^{3))$	150	${\displaystyle (1~1~1_{1}^{5})^{3))$	femton	75	{3}	{tio}	Shepards symbol är densamma som $(1~1;1_{1})^{5}$ $\beta _{3}^{5}=$
$\mathbb {C} ^{3}$	${\displaystyle [1~1~1^{5}]^{3))$	150	$(1_{1}1~1^{5})^{3}$	25		{3}	{6}	Shepard Symbol 1/5 $(1_{1}1;1)^{5}$ $\gamma _{3}^{5}$
$\mathbb {C} ^{3}$	${\displaystyle [1~1~1^{6}]^{3))$	216	${\displaystyle (1~1~1_{1}^{6})^{3))$	arton	216	{3}	{12}	Shepards symbol är densamma som $(1~1;1_{1})^{6}$ $\beta _{3}^{6}=$
$\mathbb {C} ^{3}$	${\displaystyle [1~1~1^{6}]^{3))$	216	$(1_{1}1~1^{6})^{3}$	36		{3}	{6}	Shepard Symbol 1/6 $(1_{1}1;1)^{6}$ ${\displaystyle \gamma _{3}^{6))$
$\mathbb {C} ^{3}$	$[1~1~1^{4}]^{4}$	336	$(1~1~1{_{1}}^{4})^{4}$	42	168	112 {3}	{åtta}	${\displaystyle \mathbb {R} ^{4))$ representation {3,8\|,4} = {3,8} 8
$\mathbb {C} ^{3}$	$[1~1~1^{4}]^{4}$	336	$(1_{1}1~1^{4})^{4}$	56		{3}	{6}
$\mathbb {C} ^{3}$	${\displaystyle [1~1~1_{5}]^{4))$	2160	${\displaystyle (1~1~1_{1}^{5})^{4))$	216	1080	720 {3}	{tio}	${\displaystyle \mathbb {R} ^{4))$ prestanda ${\displaystyle \{3,10{\mid},4\}=\{3,10\}_{8))$
$\mathbb {C} ^{3}$	${\displaystyle [1~1~1_{5}]^{4))$		${\displaystyle (1_{1}1~1^{5})^{4))$	360		{3}	{6}
$\mathbb {C} ^{3}$	${\displaystyle [1~1~1^{4}]^{5))$		$(1~1~1_{1}^{4})^{5}$	270	1080	720 {3}	{åtta}	${\displaystyle \mathbb {R} ^{4))$ prestanda $\{3,8{\mid },5\}=\{3,8\}_{10}$
$\mathbb {C} ^{3}$	${\displaystyle [1~1~1^{4}]^{5))$		$(1_{1}1~1^{4})^{5}$	360		{3}	{6}

Coxeter identifierade andra grupper med anti-enhetlig konstruktion, som dessa tre. Den första gruppen upptäcktes och ritades av McMullen, Peter 1966 [41]

Några andra nästan regelbundna komplexa polyedrar [40]

Mellanslag _	Grupp	Ordning	Coxeter symboler	Toppar	revben	Fasett	Vertex figur	Anteckningar
$\mathbb {C} ^{3}$	${\displaystyle [1~1^{4}1^{4}]^{(3)))$	336	${\displaystyle (1_{1}1^{4}1^{4})^{(3)))$	56	168	84 {4}	{6}	${\displaystyle \mathbb {R} ^{4))$ prestanda $\{4,6{\mid },3\}=\{4,6\}_{6}$
$\mathbb {C} ^{3}$	${\displaystyle [1^{5}1^{4}1^{4}]^{(3)))$	2160	${\displaystyle (1_{1}^{5}1^{4}1^{4})^{(3)))$	216	1080	540 {4}	{tio}	${\displaystyle \mathbb {R} ^{4))$ prestanda $\{4,10{\mid},3\}=\{4,10\}_{6}$
$\mathbb {C} ^{3}$	${\displaystyle [1^{4}1^{5}1^{5}]^{(3)))$	2160	${\displaystyle (1_{1}^{4}1^{5}1^{5})^{(3)))$	270	1080	432 {5}	{åtta}	${\displaystyle \mathbb {R} ^{4))$ prestanda $\{5,8{\mid },3\}=\{5,8\}_{6}$

Några komplexa 4-polyedrar [40]

Mellanslag _	Grupp	Ordning	Coxeter symboler	Toppar	Andra element	celler	Anteckningar
${\displaystyle \mathbb {C} ^{4))$	${\displaystyle [1~1~2^{p}]^{3))$ p =2,3,4…	$24p^{3}$	${\displaystyle (1~1~2_{2}^{p})^{3))$	4p _			Shepard samma som ${\displaystyle (2_{2}1;1)^{p))$ $\beta _{4}^{p}=$
${\displaystyle \mathbb {C} ^{4))$	${\displaystyle [1~1~2^{p}]^{3))$ p =2,3,4…	$24p^{3}$	$(1_{1}1~2^{p})^{3}$	$p^{3}$			Shepard ${\displaystyle (2~1;1_{1})^{p))$ ${\displaystyle 1/p\gamma _{4}^{p))$
${\displaystyle \mathbb {R} ^{4))$	$[1~1~2^{2}]^{3}$ $=[3^{1,1,1}]$	192	${\displaystyle (1~1~2_{2}^{2})^{3))$	åtta	24 kanter 32 ytor	16	$\beta _{4}^{2}=$ , verklig hexadecimal
${\displaystyle \mathbb {R} ^{4))$	$[1~1~2^{2}]^{3}$ $=[3^{1,1,1}]$	192	${\displaystyle (1_{1}1~2^{2})^{3))$	åtta	24 kanter 32 ytor	16	1/2 $\gamma _{4}^{2}=$ = , verklig hexadecimal ${\displaystyle \beta _{4}^{2))$
${\displaystyle \mathbb {C} ^{4))$	${\displaystyle [1~1~2]^{3))$	648	${\displaystyle (1~1~2_{2})^{3))$	12			Shepard samma som $(2_{2}1;1)^{3}$ $\beta _{4}^{3}=$
${\displaystyle \mathbb {C} ^{4))$	${\displaystyle [1~1~2]^{3))$	648	$(1_{1}1~2^{3})^{3}$	27			Shepard $(2~1;1_{1})^{3}$ ${\displaystyle 1/3\gamma _{4}^{3))$
${\displaystyle \mathbb {C} ^{4))$	${\displaystyle [1~1~2^{4}]^{3))$	1536	$(1~1~2_{2}^{4})^{3}$	16			Shepard samma som $(2_{2}1;1)^{4}$ $\beta _{4}^{4}=$
${\displaystyle \mathbb {C} ^{4))$	${\displaystyle [1~1~2^{4}]^{3))$	1536	$(1_{1}1~2^{4})^{3}$	64			Shepard $(2~1;1_{1})^{4}$ ${\displaystyle 1/4\gamma _{4}^{4))$
${\displaystyle \mathbb {C} ^{4))$	$[1^{4}1~2]^{3}$	7680	${\displaystyle (2_{2}1^{4}1)^{3))$	80			Shepard $(2_{2}1;1)^{4}$
			$(1_{1}^{4}1~2)^{3}$	160			Shepard $(2~1;1_{1})^{4}$
			(1 1 1 4 2) 3	320			Shepard ${\displaystyle (2~1_{1};1)^{4))$
${\displaystyle \mathbb {C} ^{4))$	${\displaystyle [1~1~2]^{4))$		$(1~1~2_{2})^{4}$	80	640 kanter 1280 trianglar	640
${\displaystyle \mathbb {C} ^{4))$	${\displaystyle [1~1~2]^{4))$		$(1_{1}1~2)^{4}$	320

Några komplexa 5-polyedrar [40]

Mellanslag _	Grupp	Ordning	Coxeter symboler	Toppar	Anteckningar
$\mathbb {C} ^{5}$	$[1~1~3^{p}]^{3}$ p =2,3,4…	120p4 _ _	$(1~1~3_{3}^{p})^{3}$	5p _	Shepard samma som ${\displaystyle (3_{3}1;1)^{p))$ $\beta _{5}^{p}=$
$\mathbb {C} ^{5}$	$[1~1~3^{p}]^{3}$ p =2,3,4…	120p4 _ _	$(1_{1}1~3^{p})^{3}$	$p^{4}$	Shepard 1/ p γ ${\displaystyle (3~1;1_{1})^{p))$ p5 _
$\mathbb {C} ^{5}$	${\displaystyle [2~2~1]^{3))$	51840	${\displaystyle (2~1~2_{2})^{3))$	80	Shepard ${\displaystyle (2~1;2_{2})^{3))$
$\mathbb {C} ^{5}$	${\displaystyle [2~2~1]^{3))$	51840	$(2~1_{1}2)^{3}$	432	Shepard $(2~1_{1};2)^{3}$

Några komplexa 6-polyedrar [40]

Mellanslag _	Grupp	Ordning	Coxeter symboler	Toppar	Anteckningar
$\mathbb {C} ^{6}$	${\displaystyle [1~1~4^{p}]^{3))$ p =2,3,4…	$720p^{5}$	${\displaystyle (1~1~4_{4}^{p})^{3))$	6p _	Shepard samma som ${\displaystyle (4_{4}1;1)^{p))$ $\beta _{6}^{p}=$
$\mathbb {C} ^{6}$	${\displaystyle [1~1~4^{p}]^{3))$ p =2,3,4…	$720p^{5}$	$(1_{1}1~4^{p})^{3}$	$p^{5}$	Shepard ${\displaystyle (41;1_{1})^{p))$ ${\displaystyle 1/p\gamma _{6}^{p))$
$\mathbb {C} ^{6}$	${\displaystyle [1~2~3]^{3))$	39191040	$(2~1~3_{3})^{3}$	756	Shepard $(2~1;3_{3})^{3}$
			$(2_{2}13)^{3}$	4032	Shepard $(2_{2}1;3)^{3}$
			$(2~1_{1}3)^{3}$	54432	Shepard $(2~1_{1};3)^{3}$

Visualisering

${\displaystyle (1~1~1_{1}^{4})^{4))$ ,,
har 42 hörn, 168 kanter och 112 triangulära ytor som är synliga i denna 14-vinkelprojektion.
${\displaystyle (1^{4}1^{4}1_{1})^{(3)))$ ,,
har 56 hörn, 168 kanter och 84 kvadratiska ytor, som är synliga i denna 14-vinkelprojektion.
$(1~1~2_{2})^{4}$ ,,
har 80 hörn, 640 kanter, 1280 triangulära ytor och 640 tetraedriska celler som är synliga i denna 20-vinkelprojektion [42] .

Anteckningar

↑ Orlik, Reiner, Shepler, 2002 , sid. 477–492.
↑ Coxeter, 1957 , sid. 115.
↑ Coxeter, 1991 , 11.3 Petrie Polygon , en enkel h -gon som bildas av flaggans omloppsbana ( ) för produkten av två genererande reflektioner av en icke-stjärnig regelbunden komplex polygon, . ${\displaystyle O_{0},O_{0}O_{1))$ ${\displaystyle p_{1}\{q\}p_{2))$
↑ Coxeter, 1991 , 11.1 Regelbundna komplexa polygoner , sid. 103.
↑ Shephard 1952; "Från de konventioner som vi använder för att definiera begreppet inre av en polyeder, ser vi att i ett enhetligt utrymme, där siffrorna inte kan ordnas, kan begreppet inre inte definieras.
Därför ... bör vi betrakta enhetliga polyedrar som konfigurationer."
↑ Coxeter, 1957 , sid. 96.
↑ Coxeter, 1957 , sid. 177, tabell III.
↑ Coxeter, 1957 , sid. xiv.
↑ Lehrer, Taylor, 2009 , sid. 87.
↑ Coxeter, 1957 , Tabell IV. De regelbundna polygonerna, sid. 178-179.
↑ 1 2 Coxeter, 1957 , sid. 108.
↑ Coxeter, 1957 , sid. 109.
↑ Coxeter, 1957 , sid. 111.
↑ Coxeter, 1957 , sid. 30, diagram och sid. 47 index för 8 3-kanter.
↑ 1 2 Coxeter, 1957 , sid. 110.
↑ Coxeter, 1957 , sid. 48.
↑ Coxeter, 1957 , sid. 49.
↑ Coxeter, 1957 , sid. 116–140.
↑ Coxeter, 1957 , sid. 118–119.
↑ Coxeter, 1957 , sid. 118-119.
↑ Coxeter, 1991 , sid. 29.
↑ Coxeter, 1957 , Tabell V. De nonstarry reguljära polyedrarna och 4-polytoper, sid. 180.
↑ 1 2 Coxeter, 1957 , sid. 131.
↑ Coxeter, 1957 , sid. 126.
↑ Coxeter, 1957 , sid. 125.
↑ Coxeter, 1957 , sid. 180.
↑ Coxeter, 1991 , Tabell VI. De vanliga bikakorna, sid. 180.
↑ Coxeter, 1991 , sid. 174.
↑ Coxeter, 1991 , Tabell VI. De vanliga bikakorna, sid. 111, 136.
↑ Coxeter, 1957 , sid. 178–179.
↑ Coxeter, 1991 , sid. 111-112, 11,6 Apeirogons.
↑ Coxeter, 1991 , sid. 140.
↑ Coxeter, 1957 , sid. 139-140.
↑ Coxeter, 1991 , sid. 146.
↑ Coxeter, 1991 , sid. 141.
↑ Coxeter, 1991 , sid. 118-119, 138.
↑ Coxeter, 1991 , kapitel 14, Nästan vanliga polytoper , sid. 156–174.
↑ Coxeter, 1957 .
↑ Coxeter, 1966 , sid. 422-423.
↑ 1 2 3 4 5 Coxeter, 1957 , sid. 271, Tabell III: Några komplexa polytoper.
↑ Coxeter, 1991 , 14.6 McMullen's two polyhedral with 84 square faces, sid. 166-171.
↑ Coxeter, 1991 , sid. 172-173.

Litteratur

Coxeter HSM- grupper genererade av enhetliga reflektioner av period två // Kanada. J. Math .. - 1957. - Nummer. 9 . - S. 243-272 .
Kalejdoskop: Utvalda skrifter av HSM Coxeter / komp. F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivić Weiss. - Wiley-Interscience, 1995. - V. 19. - (Wiley-Interscience and Canadian Mathematics Series of Monographs and Texts). — ISBN 0471010030 .
Coxeter . Finita grupper genererade av enhetliga reflektioner // Den grafiska notationen. - 1966. - Utgåva. 4 . - S. 422-423 .
Coxeter HSM Regular Complex Polytopes . — 2:a. - Cambridge University Press, 1991. - ISBN 978-0-521-39490-1 .
Peter Orlik, Victor Reiner, Anne V. Shepler. Teckenrepresentationen för Shephard-grupper // Mathematische Annalen. - 2002. - Mars ( vol. 322 , nummer 3 ). — S. 477–492 . - doi : 10.1007/s002080200001 .
Coxeter, HSM , Moser WOJ- generatorer och relationer för diskreta grupper. - New York: Springer-Verlag, 1980. - S. 67-80. - ISBN 0-387-09212-9 .
Coxeter, HSM , Shephard, GC Porträtt av en familj av komplexa polytoper // Leonardo. - 1992. - T. 25 , nr. 3/4 . — S. 239–244 .
Shephard GC Regelbundna komplexa polytoper // Proc. London matematik. Soc .. - 1952. - T. 2 . — S. 82–97 .
Shephard GC, Todd JA Finita enhetliga reflektionsgrupper // Canadian Journal of Mathematics. - 1954. - Utgåva. 6 . - S. 274-304 . (inte tillgänglig länk)
Gustav I. Lehrer, Donald E. Taylor. Enhetsreflektionsgrupper. — Cambridge University Press, 2009.

Läsning för vidare läsning

Peter McMullen, Egon Schulte. Kapitel 9 Enhetsgrupper och hermitiska former // Abstrakta regelbundna polytoper . — 1:a. - Cambridge University Press , 2002. - ISBN 0-521-81496-0 .