Alexander geometri

Alexanders geometri är en märklig utveckling av det axiomatiska tillvägagångssättet i modern geometri. Tanken är att ersätta en viss jämlikhet i det euklidiska rummets axiomatik med en ojämlikhet.

Historik

Den första syntetiska definitionen av övre och nedre krökningsbegränsningar gavs av Abraham Wald i hans grundutbildningsarbete skrivet under överinseende av Carl Menger . [1] Detta verk var bortglömt fram till 80-talet.

Liknande definitioner återupptäcktes av Aleksandr Danilovich Aleksandrov . [2] [3] Han gav också de första betydande tillämpningarna av denna teori, i synnerhet till problemen med inbäddning och böjning av ytor.

En närbesläktad definition av metriska utrymmen av icke-positiv krökning gavs nästan samtidigt av Herbert Busemann . [fyra]

Alexandrovs och hans studenters forskning utfördes i två huvudriktningar:

Tvådimensionella utrymmen med krökning begränsad underifrån;
Rum av godtycklig dimension med krökning avgränsad från ovan.
- Hyperbolicitet i Gromovs mening är en förlängning av denna teori för diskreta utrymmen. Det har betydande tillämpningar inom gruppteori .

Rum av godtycklig dimension med krökning avgränsad nedanför började studeras först i slutet av 1990-talet. Drivkraften för dessa studier var Gromovs kompakthetsteorem . Det framstående verket skrevs av Yuri Dmitrievich Burago , Mikhail Leonidovich Gromov och Grigory Yakovlevich Perelman . [5]

Grundläggande definitioner

En jämförelsetriangel för en trippel av punkter i ett metriskt utrymme är en triangel i det euklidiska planet med samma sidolängder; det är $xyz$ $X$ $[{\tilde {x}}{\tilde {y}}{\tilde {z}}]$ $\mathbb {E} ^{2}$

{\begin{aligned}|{\tilde {x}}-{\tilde {y}}|_{\mathbb {E} ^{2}}&=|xy|_{X},\\ |{\tilde {y}}-{\tilde {z}}|_{\mathbb {E} ^{2}}&=|yz|_{X},\\|{\tilde {z}}- {\tilde {x}}|_{\mathbb {E} ^{2}}&=|zx|_{X}.\end{aligned}}

Vinkeln vid spetsen i jämförelsetriangeln kallas trippelns jämförelsevinkel och betecknas . ${\tilde x}$ $[{\tilde {x}}{\tilde {y}}{\tilde {z}}]$ $xyz$ ${\tilde {\measuredangle }}(x\,_{z}^{y})$

I Aleksandrov-geometrin betraktas kompletta metriska utrymmen med inneboende metrik med en av följande två olikheter för 6 avstånd mellan 4 godtyckliga punkter. $X$

Den första olikheten är som följer: för godtyckliga 4 poäng , betrakta ett par jämförelsetrianglar , och sedan för en godtycklig punkt , olikheten $x,y,p,q\in X$ $[{\tilde {x}}{\tilde {p}}{\tilde {q}}]$ $[{\tilde {y}}{\tilde {p}}{\tilde {q}}]$ ${\tilde {z}}\in [{\tilde {p}}{\tilde {q}}]$

|xy|_{X}\leq |{\tilde {x}}-{\tilde {z}}|_{\mathbb {E} ^{2}}+|{\tilde {y}} -{\tilde {z}}|_{\mathbb {E} ^{2}}.

I detta fall sägs utrymmet tillfredsställa -ojämlikheten. Ett komplett utrymme som uppfyller -ojämlikheten kallas ett Hadamard-utrymme . I fallet med lokal uppfyllelse av denna ojämlikhet, sägs utrymmet ha icke-positiv krökning i Alexandrovs mening . $\mathrm {CAT} [0]$ $\mathrm {CAT} [0]$

Den andra ojämlikheten är som följer: för godtyckliga 4 poäng , ojämlikheten $p,x,y,z\in X$

{\tilde {\measuredangle }}(p\,_{y}^{x})+{\tilde {\measuredangle }}(p\,_{z}^{y})+{\tilde {\measuredangle }}(p\,_{x}^{z})\leq 2\cdot \pi .

I det här fallet sägs utrymmet tillfredsställa -olikheten, eller utrymmet sägs ha icke-negativ krökning i Alexandrovs mening . $\mathrm {CBB} [0]$

Allmänna begränsningar för krökning

Istället för det euklidiska planet kan du ta utrymme - modellplanet för krökning . Det är $\mathbb {M} [k]$ $k$

$\mathbb {M} [0]$ är det euklidiska planet ,
$\mathbb {M} [k]$ när det finns en sfär med radie , $k>0$ $1/{\sqrt {k))$
$\mathbb {M} [k]$ vid är Lobachevskys krökningsplan . $k<0$ $k$

Sedan förvandlas ovanstående definitioner till definitioner av CAT[k] och CBB [k] utrymmen och utrymmen med krökning och i Alexandrovs mening . $\leq k$ $\geq k$ $k>0$ $(xyz)$

|xy|_{X}+|yz|_{X}+|zx|_{X}<2\cdot \pi /{\sqrt {k))

Grundsatser

Alexandrovs lemma är ett viktigt tekniskt uttalande om jämförelsevinklar

Reshetnyaks limteorem — gör det möjligt att konstruera CAT(k)-mellanrum genom att limma CAT(k)-mellanrum över konvexa uppsättningar.

Reshetnyaks majoriseringssats ger en bekväm ekvivalent definition av CAT(k)-mellanrum.

Globaliseringssatsen för CAT(k)-rum är en generalisering av Hadamard-Cartan-satsen .

Globaliseringssatsen för CBB(k)-rum är en generalisering av Toponogovs jämförelsesats .

Anteckningar

↑ Wald, A. Begründung eiiner Koordinatenlosen Differentialgeometrie der Flächen (tyska) // Ergebnisse eines mathematischen Kolloquium. - 1935. - Bd. 6 . - S. 24-46 .
↑ Aleksandrov A. D. Inre geometri hos konvexa ytor. - Gostekhizdat, 1948.
↑ Alexandrov A. D. En sats om trianglar i ett metriskt utrymme och några av dess tillämpningar // Tr. MIAN USSR. - 1951. - T. 38 . - S. 5-23 . (ryska)
↑ Busemann, Herbert Spaces with non-positive curvature. ActaMath. 80, (1948). 259–310.
↑ Yu. D. Burago, M. L. Gromov, G. Ya. Perelman. Aleksandrov-utrymmen med krökningar avgränsade nedanför // Uspekhi Mat. - 1992. - T. 47 , nr 2 (284) . - S. 3-51 . (ryska)

Litteratur

Burago D.Yu., Burago Yu.D., Ivanov S.V. Metrisk geometrikurs. - 2004. - ISBN 5-93972-300-4 .
Föreläsning 5, Alexandrovs geometri
Sergei Ivanov . Metrisk geometri och Alexandrov-utrymmen . Lektorium ( 10.02.11 ). (obestämd)
Sergei Ivanov . Geometri av Alexandrov utrymmen . Lektorium (04.07.17). (obestämd)
Anton Petrunin, Alexander geometri videoföreläsningar
Alexander, Stephanie; Kapovitch, Vitali & Petrunin, Anton, Invitation to Alexandrov geometri: CAT[0] spaces, arΧiv : 1701.03483 [math.DG].