K-space (topologi)

k - utrymme(kompakt genererat utrymme) ärett topologiskt utrymmedär alla mängder är slutna, vars skärningspunkt med varjekompaktdelmängd av detta utrymme är stängd. Till detta läggs ofta utrymmet Hausdorff

Definition

Ett topologiskt utrymme kallas ett k - rymd om dess topologi överensstämmer med familjen av alla dess kompakta delrum, det vill säga om ett av följande ekvivalenta villkor är uppfyllt för varje delmängd: $X$ $A\delmängd X$

En uppsättning stängs in om och endast om någon av dess korsningar med varje kompaktsats är stängd i denna uppsättning . $A$ $X$ $A\cap K$ $K\delmängd X$ $K$
En uppsättning är öppen i om och endast om varje korsning av den med varje kompakt uppsättning är öppen i denna uppsättning . $A$ $X$ $A\cap K$ $K\delmängd X$ $K$

Ofta förstås ett k - mellanslag som endast Hausdorff-utrymmen som uppfyller ovanstående definition.

För Hausdorff-utrymmen kan man ge följande ekvivalenta definition av ett k -utrymme: ett Hausdorff-utrymme är ett k - utrymme om och endast om det är bilden av något lokalt kompakt Hausdorff-utrymme under faktormappningen (det vill säga det är homeomorft till något kvotutrymme av ett lokalt kompakt Hausdorff-utrymme). $X$

Mappningar i k - utrymmen

En mappning av ett k - utrymme till ett godtyckligt topologiskt utrymme är kontinuerlig om och endast om någon begränsning av denna mappning till en kompakt uppsättning är kontinuerlig. $f\kolon X\till Y$ $X$ $Y$ $f|_{K}$ $K$

En kontinuerlig mappning av ett godtyckligt topologiskt utrymme till ett k - utrymme stängs ( öppen , kvot ) om och endast om, för varje kompakt delmängd från intervallet , begränsningen av denna mappning är stängd (respektive öppen, kvot). $f\kolon X\till Y$ $X$ $Y$ $K$ $Y$ $f_{K}\colon f^{{-1}}(K)\till K$

Om två faktoriella mappningar och ges , vars domäner och och produkten av deras intervall är k - utrymmen, då är den kartesiska produkten av dessa mappningar en faktoriell mappning. $f_{1}\kolon X_{1}\till Y_{1}$ $f_{2}\colon X_{2}\till Y_{2}$ $X_{1}$ $X_{2}$ $Y_{1}\ gånger Y_{2}$ $f_{1}\times f_{2}\colon X_{1}\times X_{2}\to Y_{1}\times Y_{2}$

Spara på operationer

Varje öppet och varje stängt delrum i ett Hausdorff k -rum är ett k - rum. Ett godtyckligt delrum av ett Hausdorff k -rum behöver emellertid inte vara ett k - rum.

Summan av en familj av topologiska rum är ett k -rum om och endast om alla rum från denna familj är k -rum.

Produkten av ett Hausdorff k -utrymme och ett lokalt kompakt Hausdorff-utrymme är ett k - utrymme. Dessutom är produkten av två k -rum i allmänhet inte ett k -rum.

Hausdorff-bilden av ett Hausdorff k - utrymme under en faktoriell (i synnerhet öppen eller stängd) mappning är ett k - utrymme. Dessutom kanske bilden av ett Hausdorff k - utrymme under en godtycklig kontinuerlig mappning inte är ett k -utrymme, även om det är helt normalt .

Relation till andra klasser av utrymmen

Varje Cech-komplett utrymme (i synnerhet varje lokalt kompakt Hausdorff-utrymme, och därmed varje topologiskt grenrör ) är ett k - utrymme.

Varje sekventiellt utrymme (i synnerhet vilket utrymme som helst med det första axiomet för räknebarhet , och därmed alla metriska utrymmen ) är ett k - utrymme.

Varje mellanslag av punktvis räkningsbar typ är ett k - mellanslag.

Varje CW-komplex är ett k -mellanslag.

Litteratur

Engelking, R. Allmän topologi. — M .: Mir , 1986. — 752 sid.
Kelly, J.L. Allmän topologi. — M .: Nauka, 1968.
Spanier, E. Algebraisk topologi. — M .: Mir , 1971. — 680 sid.