ATC-sats

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 8 september 2021; kontroller kräver 3 redigeringar .

ATS-sats - en sats om approximationen av en trigonometrisk summa med en kortare.

Inom vissa områden av matematik och matematisk fysik, summor av formen

S=\sum _{a<k\leq b}\varphi (k)e^{2\pi if(k)}.

Här och är verkliga funktioner av ett verkligt argument, $\varphi(x)$ $f(x)$ $i^2= -1.$

Sådana summor förekommer till exempel i talteorin när man analyserar Riemanns zeta-funktion , när man löser problem relaterade till fördelningen av heltalspunkter i olika områden på ett plan och i rymden , när man studerar Fourierserier , när man löser differentialekvationer som vågen ekvation , ekvation värmeledningsförmåga osv.

Inledande kommentarer

Låt oss kalla summans längd för $S$ ett tal (för heltal och detta är bara antalet termer i ). $ba$ $a$ $b$ $S$

Vi kommer att använda följande notation:

Om eller notation betyder att det finns konstanter och , sådan att $B > 0, B \till +\infty$ $B \ till 0$ $1 \ll \frac{A}{B} \ll 1$ $C_1 > 0$ $C_2 > 0,$ $C_{1}\leq {\frac {|A|}{B}}\leq C_{2}.$
För en riktig notation betyder det $\alfa$ $\|\alpha \|$ $\|\alpha \|=\min(\{\alpha \},1-\{\alpha \}),$ var är bråkdelen $\{\alfa\}$ $\alfa.$

Låt oss formulera huvudsatsen om att ersätta en trigonometrisk (ibland även kallad exponentiell) summa med en kortare.

ATS-sats

Låt den verkliga fungera och uppfylla följande villkor på intervallet: $f(x)$ $\varphi(x)$ $[a,b]$

$f''(x)$ och är kontinuerliga; $\varphi''(x)$
det finns siffror och sådant $H$ $U$ $V$ $H>0,~~1\ll U\ll V,~~0<ba\leq V,$ $\begin{array}{rc} \frac{1}{U} \ll f''(x) \ll \frac{1}{U} \ ,& \varphi(x) \ll H ,\\ f' ''(x) \ll \frac{1}{UV} \ ,& \varphi'(x) \ll \frac{H}{V} ,\\ f''''(x) \ll \frac{ 1}{UV^2} \ ,& \varphi''(x) \ll \frac{H}{V^2} . \\ \end{array}$

Bestäm sedan talen från ekvationen $x_{\mu }$

f'(x_{\mu}) = \mu,

vi har

\sum_{a< \mu\le b} \varphi(\mu)e^{2\pi if(\mu)} = \sum_{f'(a)\le\mu\le f'(b)} C(\mu)Z(\mu) + R ,

var

R = O \left(\frac{HU}{ba} + HT_a + HT_b + H\log\left(f'(b)-f'(a)+2\right)\right);

T_{j}=\left\{{\begin{array}{rc}0\ ,&\ {{\textit {i}}f}\ \ f'(j)\ {{\textit {i }}s\ ett\ heltal};\\\min \left({\frac {1}{\|f'(j)\|}}),{\sqrt {U}}\right)\ ,&\ { {\textit {i}}f}\ \ \|f'(j)\|\neq 0;\\\end{array}}\right.

j = a,b;

C(\mu) = \left\{ \begin{array}{rc} 1 \ \ ,& \ \ {\textit if} \ \ f'(a) < \mu < f'(b) ;\\ \ frac{1}{2} \ \ ,& \ \ {\textit if} \ \ \mu = f'(a) \ \ {\textit or} \ \ \mu = f'(b) ;\\ \end {array}\höger.

Z(\mu) = \frac{1+i}{\sqrt 2}\frac{\varphi(x_{\mu})}{\sqrt{f''(x_{\mu))))) e^ { 2\pi i(f(x_{\mu})- \mu x_{\mu})} \ .

Van der Corputs Lemma

Den enklaste versionen av den formulerade satsen är ett påstående som i litteraturen kallas van der Corput lemma .

Låt vara en verklig differentierbar funktion på intervallet , dessutom, inom detta intervall är dess derivata en monoton och teckenkonstant funktion, och för , uppfyller olikheten $f(x)$ $a< x \le b$ $f'(x)$ $\delta = konst$ $0 < \delta < 1$

|f'(x)| \leq \delta .

Sedan

\sum_{a<k\le b} e^{2\pi if(k)} = \int_a^be^{2\pi if(x)}dx + \theta\left(3 + \frac{2\ delta}{1-\delta}\höger),

var $|\theta| \le 1.$

Om parametrarna och är heltal kan det sista uttrycket ersättas med följande: $a$ $b$

\sum_{a<k\le b} e^{2\pi if(k)} = \int_a^be^{2\pi if(x)}dx + \frac12e^{2\pi if(b)} - \frac12e^{2\pi if(a)} + \theta\frac{2\delta}{1-\delta},

var . $|\theta| \le 1$

Applikation

Se [1] , [2] , se även [3] , [4] för tillämpningar av ATS i fysikproblem .

Historik

Problemet med att approximera en trigonometrisk serie med någon lämplig funktion ansågs av Euler och Poisson .

Under vissa förutsättningar kan summan med god träffsäkerhet ersättas med en annan summa $\varphi(x)$ $f(x)$ $S$ $S_1,$

S_1 = \sum_{\alpha<k\le \beta} \Phi(k)e^{2\pi i F(k)} ,

vars längd är mycket mindre än formens första relationer $\beta-\alfa$ $ba.$

S=S_{1}+R\ ,

var är den återstående termen, med specifika funktioner och erhölls av G. Hardy och J. Littlewood [5] [6] [7] när man härledde en funktionell ekvation för Riemann zeta-funktionen och I. Vinogradov [8] , när man överväger antal heltalspunkter i områden på planet. I allmänna termer bevisades teoremet av J. Van der Corput [9] [10] (för nya resultat relaterade till Van der Corputs teorem, se [11] ). $R$ $\varphi(x)$ $f(x),$ $\zeta (s)$

I vart och ett av ovanstående verk har vissa begränsningar införts för funktionerna och . Med begränsningar lämpliga för tillämpningar, bevisades satsen av A. A. Karatsuba i [12] (se även [13] [14] ). $\varphi(x)$ $f(x)$

Anteckningar

↑ EA Karatsuba Approximation av summor av oscillerande summeringar i vissa fysiska problem, - JMP 45:11 , pp. 4310-4321 (2004).
↑ EA Karatsuba Om ett förhållningssätt till studiet av Jaynes-Cummings summa i kvantoptik, - Numerical Algorithms, Vol. 45, nr 1-4, sid. 127-137 (2007).
↑ E. Chassande-Mottin, A. Pai Bästa chirpletkedja: nästan optimal detektering av gravitationsvågkvitter, Phys. Varv. D73 :4 , 042003, sid. 1-23 (2006).
↑ M. Fleischhauer, W.P. Schleich Revivals gjort enkelt: Poissons summationsformel som en nyckel till väckelserna i Jaynes-Cummings-modellen, Phys. Varv. A 47:3 , sid. 4258-4269 (1993).
↑ GH Hardy och JE Littlewood Den trigonometriska serien associerad med de elliptiska θ-funktionerna, Acta Math. 37 , sid. 193-239 (1914).
↑ GH Hardy och JE Littlewood Bidrag till teorin om Riemann Zeta-Function och teorin om fördelningen av primtal, - Acta Math. 41 , sid. 119-196 (1918).
↑ GH Hardy och JE Littlewood Nollorna i Riemanns zeta-funktion på den kritiska linjen, Math. Z., 10 , sid. 283-317 (1921).
↑ I. M. Vinogradov Om medelvärdet av antalet klasser av rena rotformer av en negativ determinant, - Soobshch. Charkiv. Matta. Islands, bd 16, nr 1/2, s. 10-38 (1918).
↑ JG Van der Corput Zahlentheoretische Abschätzungen, Math. Ann. 84 , sid. 53-79 (1921).
↑ JG Van der Corput Verschärfung der abschätzung beim teilerproblem, Math. Ann., 87 , sid. 39-65 (1922).
↑ HL Montgomery Tio föreläsningar om gränssnittet mellan analytisk talteori och övertonsanalys, - Am. Matematik. Soc., 1994.
↑ A.A. Karatsuba Approximation av exponentiella summor med kortare, - Proc. indiska. Acad. sci. (Math. Sci.) 97:1-3 , sid. 167-178 (1987).
↑ S. M. Voronin, A. A. Karatsuba Riemann zeta function, - M . : Fizmatlit, 1994.
↑ A. A. Karatsuba, M. A. Korolev En sats om approximationen av en kortare trigonometrisk summa, Izvestiya RAN. Mathematics Series, vol. 71, nr 2, sid. 123-150 (2007).