Separabilitetsaxiom

Separabilitetsaxiom är uppsättningar av ytterligare krav som ställs på topologiska utrymmen , vilket gör det möjligt att studera begränsade klasser av topologiska utrymmen med egenskaper mer eller mindre nära metriska utrymmen . Tillämpningen av en sådan teknik för matematiskt bevis som principen om separerbarhet är baserad på antagandet om uppfyllandet av separabilitets axiom .

En uppsättning separerbarhetsaxiom introduceras, de mest använda är sex, respektive betecknade med T 0 , T 1 , T 2 , T 3 , T 3½ , T 4 (från tyska Trennungsaxiom ); dessutom används ibland andra axiom och deras variationer (R 0 , R 1 , T 2½ , T 5 , T 6 och andra).

T 0 ( Kolmogorovs axiom ): för två distinkta punkter och minst en punkt måste ha en grannskap som inte innehåller den andra punkten. $x$ $y$

T 1 ( Tikhonovs axiom ): för två olika punkter och det måste finnas en grannskap av punkten som inte innehåller punkten och en grannskap till punkten som inte innehåller punkten . Motsvarande villkor: alla enpunktsuppsättningar är stängda. $x$ $y$ $x$ $y$ $y$ $x$

T 2 ( Hausdorffs axiom , Hausdorff space ): för två olika punkter och det måste finnas icke-korsande kvarter och . $x$ $y$ $U(x)$ $V(y)$

T 3 : För varje sluten uppsättning och en punkt som inte finns i den, existerar deras icke-korsande grannskap [1] [2] . Motsvarande villkor: för varje punkt och dess grannskap finns det ett grannskap som . Ibland inkluderar definitionen av axiomet för separerbarhet T3 kraven för axiomet för separerbarhet Ti . [3] [4] Ibland ingår inte heller kravet på axiom T 1 [2] [4] i definitionen av ett reguljärt utrymme . Ett regelbundet mellanrum är ett mellanrum som uppfyller axiomen T 1 och T 3 . $x$ $U$ $V$ $x\in V\subset\bar{V}\subset U$

T 3½ : för varje sluten mängd och en punkt som inte finns i den, finns det en kontinuerlig (i den givna topologin) numerisk funktion , given på detta utrymme, som tar värden från till på hela utrymmet, och för alla , tillhörande . Rum som uppfyller axiomen T 1 och T 31 kallas helt regelbundna rum eller Tikhonov-rum; dessutom ingår ibland uppfyllandet av T 1 i definitionen av T 31 [5] , men i definitionen av ett helt regelbundet utrymme inkluderar det inte kravet på axiomet T 1 (då ingår det i definitionen av en Tikhonov utrymme [2] . $F$ $a$ $f(x)$ $0$ $ett$ $f(a)=0$ $f(x)=1$ $x$ $F$

T 4 : för vilka två slutna disjunkta uppsättningar som helst finns deras disjunkta grannskap [1] [2] . Ett likvärdigt villkor: för varje sluten uppsättning och dess grannskap finns det en grannskap sådan att ( är en stängning av ). Normalt utrymme — utrymmen som uppfyller T 1 och T 4 [2] [6] . Ibland inkluderar definitionen av T 4 kravet på att T 1 [7] [8] ska vara uppfyllt , men definitionen av ett normalt utrymme inkluderar inte kravet T 1 [8] . $F$ $U$ $V$ $F\subset V\subset\bar{V}\subset U$ ${\bar {V}}$ $V$

Några samband mellan axiomen för separerbarhet och relaterade klasser med varandra:

$T_{0}$ , och följer inte från resten av axiomen (om deras definition inte inkluderar axiomet ); $T_{1}$ $T_{2}$ $T_{1}$
från följer ; $T_{1}$ $T_{0}$
vanliga utrymmen är Hausdorff;
helt regelbundna utrymmen är regelbundna;
normala utrymmen är också helt regelbundna;
kompakta Hausdorff-utrymmen är normala.

Anteckningar

↑ 1 2 Viro, Ivanov, Kharlamov, Netsvetaev, s.105
↑ 1 2 3 4 5 matematisk uppslagsverk
↑ Engelking, s.71
↑ 1 2 Kelly, s.154
↑ Engelking, s.73
↑ Viro, Ivanov, Kharlamov, Netsvetaev, s.106
↑ Engelking, s.74
↑ 1 2 Kelly, s.153

Litteratur

O. Ya. Viro, O. A. Ivanov, V. M. Kharlamov och N. Yu. Netsvetaev Problem lärobok om topologi
Engelking R. Allmän topologi: Per. från engelska. — M .: Mir, 1986. — 752 sid.
Kelly, J.L. Allmän topologi. — M.: Nauka, 1968.
I. M. Vinogradov. Separabilitetsaxiom // Mathematical Encyclopedia. — M.: Sovjetiskt uppslagsverk . - 1977-1985. (ryska) - artikel från den matematiska encyklopedin, författare - V. I. Zaitsev