Asymptotisk kurva

En asymptotisk kurva (asymptotisk linje) är en kurva på en slät regelbunden yta i det euklidiska rymden som tangerar ytans asymptotiska riktning i varje punkt , dvs. riktningen i vilken den normala delen av ytan har noll krökning . Eftersom normala sektioner med noll krökning inte finns på alla punkter på ytan, fyller de asymptotiska linjerna generellt sett inte hela ytan. Den asymptotiska kurvan definieras av differentialekvationen $\gamma=\gamma(t)$ $F$ $F$

\mathrm{I\!I}_{\gamma(t)}(\dot\gamma(t),\dot\gamma(t))=0,

var är den andra grundformen av ytan . $\mathrm{I\!I}$ $F$

Tre typer av ytpunkter

Punkter där Gaussisk krökning kallas hyperbolisk (ett exempel på en yta som helt består av hyperboliska punkter är en enarkshyperboloid eller hyperbolisk paraboloid); punkter där Gaussisk krökning kallas elliptisk (ett exempel på en yta som helt består av elliptiska punkter är en ellipsoid eller en hyperboloid med två ark); punkter där den Gaussiska krökningen men medelkurvaturen kallas parabolisk (ett exempel på en yta som helt består av paraboliska punkter är en cylinder). Paraboliska punkter bildar som regel en kurva som delar ytan i elliptiska och hyperboliska regioner. $K<0$ $K>0$ $K=0$ $K \neq 0$

Det finns inga asymptotiska linjer i området för elliptiska punkter. I området för hyperboliska punkter finns det exakt två familjer av asymptotiska linjer som utgör det så kallade asymptotiska nätverket : en linje i varje familj passerar genom varje hyperbolisk punkt, de skär varandra i en vinkel som inte är noll. Vid paraboliska punkter har asymptotiska linjer som regel en singularitet av cusptyp och är semikubiska paraboler som ligger (med undantag för själva cuspen) i det hyperboliska området intill parabollinjen.

Egenskaper

Tangentplanet för den asymptotiska kurvan (där den finns) sammanfaller med tangentplanet till samma punkt. $\gamma$ $F$
( Beltrami-Enneper theorem ) Kvadraten på vridningen av en asymptotisk kurva (där den är definierad) är lika med modulen för ytans Gaussiska krökning . $F$
Ett rakt linjesegment på en yta är alltid en asymptotisk kurva. I synnerhet är rätlinjiga generatorer av ytan asymptotiska kurvor. $F$
På ytor med konstant negativ krökning är det asymptotiska nätverket ett Chebyshev-nätverk , och arean av fyrkanten som bildas av de asymptotiska kurvorna är proportionell mot överskottet av summan av dess inre vinklar över (Haczidakis formel). $2\pi$
På en minimal yta är det asymptotiska nätverket ett ortogonalt nätverk .
Under en projektiv rymdtransformation går ytans asymptotiska kurvor över till den transformerade ytans asymptotiska kurvor . $\pi$ $F$ $\pi(F)$

Ekvationen för grafen för en funktion

Låt ytan i det euklidiska rummet med koordinater och metrik anges som en graf över funktionen . Sedan, i koordinater, ges ytans asymptotiska linjer av differentialekvationen.När notationen introduceras kan den skrivas om i formen Diskriminanten för kvadrattrinomialet på vänster sida (med avseende på variabeln ) sammanfaller med hessian. av funktionen tagen med motsatt tecken, och ekvationen definierar en kurva på planet som består av paraboliska punkter på ytan (förutsatt att en av koefficienterna eller skiljer sig från noll), vilket också är diskriminantkurvan för den givna differentialekvationen , vilket inte löses med avseende på derivatet. I ett typiskt fall, nästan på alla paraboliska punkter, har denna ekvation Cibrario normalform , de enda undantagen är punkter som ligger diskret på diskriminantkurvan, där den normala formen av ekvationen är mer komplicerad. Ekvationen för asymptotiska linjer har en ännu mer komplex normal form vid de punkter där alla tre koefficienterna , , försvinner samtidigt, dessa är de så kallade platta navelsträngarna , där , d.v.s. alla normala delar av ytan har noll krökning. $x,y,z$ $ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$ $z=f(x,y)$ $x,y$ $f_{yy} \, dy^2 + 2f_{xy} \, dx dy + f_{xx} \, dx^2 = 0.$ $p=dy/dx$ $f_{yy} p^2 + 2f_{xy} p + f_{xx} = 0.$ $\Delta = f_{xy}^2 - f_{xx}f_{yy}$ $sid$ $f(x,y)$ $\Delta=0$ $(x,y)$ $f_{{xx}}$ $f_{åå}$ $f_{{xx}}$ $f_{xy}$ $f_{åå}$ $H=K=0$

Exempel

Alla punkter i en enarkshyperboloid är av hyperbolisk typ. Ekvationen för asymptotiska linjer i detta fall tar formen där . Det är lätt att kontrollera att den allmänna lösningen av denna ekvation ges av formeln , där parametrarna och är föremål för relationen . Sålunda erhåller vi två familjer (motsvarande olika tecken i formeln ) av asymptotiska linjer av den enbladiga hyperboloiden, som sammanfaller med familjerna av dess rätlinjiga generatorer. $x^2+y^2-z^2=1$ $(x^2-1)p^2 - 2xyp + y^2-1 = 0$ $p=dy/dx$ $y=ax+b$ $a$ $b$ $b^2-a^2=1$ $\pm$ $b = \pm \sqrt{a^2+1}$

De asymptotiska linjerna i konen sammanfaller också med dess rätlinjiga generatorer. Eftersom alla punkter på könen är paraboliska har vi exakt en familj av asymptotiska linjer. $x^2+y^2-z^2=0$

När det gäller ytan som ges av ekvationen har vi . Linjen av paraboliska punkter ( ) delar ytan i elliptiska ( ) och hyperboliska ( ) regioner. Den senare innehåller två familjer av asymptotiska linjer. Vid alla paraboliska punkter, förutom origo ( ), har ekvationen för asymptotiska linjer Cibrario normalform, därför har de asymptotiska linjerna i närheten av dessa punkter formen av halvkubiska paraboler. Vid ursprunget har nätverket av asymptotiska linjer en mer komplex singularitet, vars natur beror på parametern , se papper . $z=y^2 + x^2y + ax^4$ $\Delta = (1-6a)x^2 - y$ $y=(1-6a)x^2$ $y>(1-6a)x^2$ $y<(1-6a)x^2$ $x=y=0$ $a$

Asymptotiska kurvor på en torus givna parametriskt i formen: $\left\{ \begin{matrix} x(\phi,\psi) = & (R + r \cos \phi) \cos \psi \\ y(\phi,\psi) = & (R + r \cos \phi) \sin \psi \\ z(\phi,\psi) = & r \sin \phi \\ \end{matris} \right. \qquad \phi, \psi \in [0,2\pi),$

är två paralleller som separerar hyperboliska och elliptiska regioner och som helt består av paraboliska punkter, och ett oändligt antal kurvor av en speciell form som pendlar mellan dessa två paralleller. $z=\pmr$

Den asymptotiska kurvan är cusp-kanten på pseudosfären .

Litteratur

Rashevsky P. K. Kurs för differentialgeometri, - Vilken utgåva som helst.
Finikov S.P. Kurs för differentialgeometri, - Vilken utgåva som helst.
Finikov S.P. Theory of Surfaces, - Vilken utgåva som helst.
Mishchenko A. S., Fomenko A. T. Kurs för differentialgeometri och topologi, - Vilken utgåva som helst.
Toponogov VA Differentialgeometri för kurvor och ytor. - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 9785891552135 .