Asfäriskt utrymme

Ett asfäriskt utrymme är ett topologiskt utrymme där alla utom triviala homotopigrupper är triviala. För symplektiska grenrör är betydelsen av termen något annorlunda; se symplektiskt asfäriskt grenrör . $\pi _{n}(X)$ $n=1$

Egenskaper

Enligt Whiteheads teorem är ett CW-komplex asfäriskt om och endast om dess universella täckning är sammandragbar .

Varje asfäriskt utrymme är per definition ett K(G,1)-rum , där är den grundläggande gruppen . $X$ $G=\pi _{1}(X)$ $X$

Låt ett asfäriskt utrymme vara ett anslutet CW-komplex . $X$ $K$
- Varje kontinuerlig mappning från 2-skelettet till kan utökas till en kontinuerlig mappning definierad på hela . $K$ $X$ $K$
- För varje homomorfism av grundläggande grupper finns det en kontinuerlig kartläggning som inducerar . $h\colon \pi _{1}K\to \pi _{1}X$ $\varphi \colon K\to X$ $h$
  - Dessutom är den unik upp till
homotopi-ekvivalens . $\varphi$

Direkt från definitionen är ett asfäriskt utrymme klassificeringsutrymmet för dess grundläggande grupp (som anses vara en topologisk grupp , när den är utrustad med den diskreta topologin ).

Alla kompakta ytor utom sfären och det projektiva planet är asfäriska.
En torus av vilken dimension som helst är asfärisk.
Varje hyperboliskt grenrör är asfäriskt.
Dessutom är metriska utrymmen med icke-positiv krökning i Alexandrovs bemärkelse (det vill säga lokalt CAT(0) utrymmen ) asfäriska. I fallet med Riemannska grenrör , följer detta av Cartan-Hadamards sats .
Knutens komplement vid är asfäriskt enligt sfärsatsen ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3))$
Varje nilmanifold är asfäriskt.
Oändligt dimensionellt linsutrymme är asfäriskt. ${\displaystyle \mathbb {S} ^{\infty }/\mathbb {Z} _{p))$