Nilvariety

Ett nilmanifold är ett jämnt grenrör som har en transitiv nilpotent grupp av diffeomorfismer som verkar på detta grenrör. En nilmanifold är ett exempel på ett homogent utrymme och är diffeomorft till ett kvotutrymme , kvotgruppen för en nilpotent Lie- grupp N av en sluten undergrupp H. Termen introducerades av Anatolij I. Maltsev 1951.

I den Riemannska kategorin finns också en uttömmande definition av ett nollgrenrör. Ett Riemannmanifold kallas en homogen nilmanifold om det finns en nilpotent grupp av isometrier som verkar transitivt på den. Kravet på att en transitiv nilpotent grupp verkar genom isometrier leder till följande karakterisering: varje homogen nilvariety är isometrisk till en nilpotent Lie-grupp med en vänsterinvariant metrik (se Wilsons artikel [1] ).

Nilmanifolds är viktiga geometriska objekt och förekommer ofta i konkreta exempel med specifika egenskaper. I Riemannsk geometri har dessa utrymmen alltid blandad krökning [2] , nästan platta grenrör uppstår som kvotutrymmen av nilmanifolds [3] , och kompakta nilmanifolds har använts för att konstruera elementära exempel på kollapsen av Riemannisk metrik i Ricci-flöden [4] .

Förutom deras viktiga roll i nilmanifoldets geometri, finns det ett växande intresse för att de har en roll i aritmetisk kombinatorik (se artikeln av Green och Tao [5] ) och ergodisk teori (se t.ex. artikeln av Host och Cra [6] ).

Kompakta nilmanifolds

En kompakt nilmanifold är en nilmanifold som är kompakt. Ett sätt att konstruera sådana utrymmen är att betrakta en enkelt sammankopplad nilpotent Lie-grupp N och en diskret undergrupp . Om en undergrupp agerar kokompakt (via höger multiplikation) på N , så är kvotvarianten en kompakt nilvarietet. Som Maltsev visade kan vilken kompakt nilmanifold som helst erhållas på detta sätt [7] .

En undergrupp som ovan kallas ett gitter i N . En nilpotent Lie-grupp medger ett gitter endast om dess Lie-algebra medger en bas med rationella strukturkonstanter — detta är Maltsev-kriteriet. Inte alla nilpotenta Lie-grupper tillåter gitter. För detaljer, se artikeln av M. S. Raunathan [8] .

Ett kompakt Riemann-nilmanifold är ett kompakt Riemann-grenrör som är lokalt isometriskt till en nilpotent Lie-grupp med en vänsterinvariant metrik. Dessa utrymmen är konstruerade på följande sätt. Låta vara ett gitter i en enkelt ansluten nilpotent Lie-grupp N enligt ovan. Vi utrustar N med ett vänsterinvariant (Riemannsk) mått. Sedan verkar undergruppen med hjälp av isometrier på N via vänstermultiplikation. Då är kvotutrymmet ett kompakt utrymme lokalt isometriskt med N . Observera att detta utrymme är naturligt diffeomorft .

Kompakta nilmanifolds uppstår också som en huvudbunt . Tänk till exempel på en 2-stegs nilpotent Lie-grupp N som släpper in ett gitter (se ovan). Låta vara kommutatorn för undergruppen N . Beteckna med p dimensionen för kommutatorn Z och med q kodimensionen för Z , det vill säga dimensionen för N är lika med p+q. Det är känt (se Raghunathans artikel) som är ett galler i Z . Därför är en p -dimensionell kompakt torus. Eftersom Z är central i N verkar gruppen G på ett kompakt nollrör med ett kvotmellanrum . Detta basgrenrör M är en q -dimensionell kompakt torus. Det har visat sig att varje huvudkärve av tori över en torus har denna form, se tidningen av Police och Stewart [9] . Mer generellt är en kompakt nilmanifold en kärve av tori över en kärve av tori över en kärve av tori ... över en torus.

Som nämnts ovan är nästan platta sorter i huvudsak kompakta nollgrenrör. Se den relaterade artikeln för mer information.

Komplexa nilmanifolds

Historiskt sett betyder en komplex nilmanifold kvoten av en komplex nilpotent Lie-grupp med ett kokompakt gitter . Ett exempel på en sådan noll- variant är Iwasawa-sorten . Sedan 1980-talet har en annan (mer allmän) föreställning om en komplex nilmanifold gradvis ersatt denna föreställning.

En nästan komplex struktur på den verkliga Lie-algebra g är en endomorfism vars kvadrat är −Id g . Denna operator kallas en komplex struktur om dess egenrum som motsvarar egenvärdena är subalgebra i . I det här fallet definierar I en vänsterinvariant komplex struktur på motsvarande Lie-grupp. En sådan sort ( G , I ) kallas en komplex gruppsort . Således erhålls varje anslutet komplext homogent grenrör utrustat med en fri transitiv holomorf verkan på en verklig Lie-grupp på detta sätt.

Låt G vara en riktig nilpotent Lie-grupp. En komplex nilmanifold är en mångfaldig faktor av en komplex grupp ( G , I ) utrustad med en vänster-invariant komplex struktur av ett högerverkande diskret cocompact gitter.

Komplexa nilmanifolds är vanligtvis inte homogena som komplexa grenrör.

I komplex dimension 2 är de enda komplexa nilmanifolderna den komplexa torusen och Kodaira-ytan [10] .

Egenskaper

Kompakta nilmanifolds (med undantag för torus) är aldrig formella [11] [12] . Detta innebär omedelbart att kompakta nilmanifolds (med undantag för torus) inte tillåter en Kähler-struktur (se även artikeln av Benson och Gordon [13] ).

Topologiskt kan alla nilmanifolds erhållas som itererade toriskivor över en torus. Detta är lätt att se från den fallande mittraden [14] .

Exempel

Nilpotent Lie-grupper

Det framgår av definitionen ovan för en homogen nilvariety att varje nilpotent Lie-grupp med en vänsterinvariant metrisk är en homogen nilvariety. De mest kända nilpotenta Lie-grupperna är matrisgrupperna vars diagonala element är lika med 1 och alla subdiagonala element är noll.

Till exempel är Heisenberg-gruppen en 2-stegs nilpotent Lie-grupp. Denna nilpotenta Lie-grupp är också speciell eftersom den tillåter en kompakt kvot. Gruppen kan vara övre triangulära matriser med heltalselement. Den resulterande nilmanifolden är tredimensionell. En möjlig fundamental domän är (isomorf till) [0,1] 3 med ansikten korrekt identifierade. Detta beror på att ett element av en nilvariety kan representeras av ett element i den fundamentala domänen. Här betyder "golv"-funktionen av x , och betyder bråkdelen av . Utseendet på "golv"-funktionen här är en antydan om kopplingen av nilmanifolds med additiv kombinatorik - de så kallade parentespolynomen eller generaliserade polynomen är viktiga i Fourieranalys av hög ordning [5] .

Abelian Lie-grupper

Det enklaste exemplet är vilken Abelian Lie-grupp som helst. Detta beror på att varje sådan grupp är en nilpotent Lie-grupp. Till exempel kan vi ta gruppen av reella tal genom addition och den diskreta kokompakta undergruppen av heltal. Den resulterande 1-stegs nilmanifolden är en bekant ring . Ett annat välkänt exempel är ett kompakt 2-torus eller euklidiskt utrymme genom addition.

Generaliseringar

Anteckningar

  1. ↑ Wilson, 1982 .
  2. ↑ Milnor, 1976 , sid. 293–329.
  3. ↑ Gromov, 1978 , sid. 231–241.
  4. ↑ Chow, Knopf, 2004 , sid. xii+325.
  5. ↑ 1 2 Green, Tao, 2010 , sid. 1753–1850
  6. ↑ Värd, Kra, 2005 , sid. 397–488.
  7. ↑ Maltsev, 1949 , sid. 9-32.
  8. ↑ Raghunathan, 1972 .
  9. ↑ Palais, Stewart, 1961 , sid. 26–29.
  10. ↑ Hasegawa, 2005 , sid. 749–767.
  11. ↑ En minimal differentiell graderad algebra A över K är formell om det finns en morfism av differentiell graderade algebra från A till , så att den genererar en identitet på kohomologin med antiderivatan d = 0 på (Hasegawa, s. 68).
  12. ↑ Hasegawa, 1989 , sid. 65–71.
  13. ↑ Benson och Gordon 1988 , sid. 513–518.
  14. ↑ Rollenske, 2009 , sid. 425–460.

Litteratur