Atomär funktion

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 24 december 2016; kontroller kräver 6 redigeringar .

En atomfunktion är en finit lösning av en funktionell-differentialekvation av formen

L\,y(x)=\summa _{k=1}^{M}c_{k}y(ax-b_{k}),

där är en linjär differentialoperator med konstanta koefficienter; koefficienter och [1] [2] . $L$ $a,b_{k},c_{k}\in \mathbb {R}$ $|a|>1$

Atomfunktion upp( x )

Den enklaste atomfunktionen (läs: "an från " [3] ) är en finit oändligt differentierbar lösning av den funktionella differentialekvationen $\operatörsnamn {upp} (x)$ $x$

{\frac {1}{2}}\,y'(x)=y(2x+1)-y(2x-1)

med stöd som uppfyller normaliseringsvillkoret (det är bevisat att denna lösning finns och är unik under den specificerade normaliseringen) [4] . $\operatörsnamn {supp} \operatörsnamn {upp} (x)=(-1,1),$ $\operatörsnamn {upp} (0)=1$

Fouriertransformen av funktionen har formen $\operatörsnamn {upp} (x)$

{\hat {\operatörsnamn {up} }}(t)=\prod _{k=1}^{\infty }\operatörsnamn {sinc} {\frac {t}{2^{k}}} ,

var är sinc-funktionen . $\operatörsnamn {sinc} =\sin {x}/x$

Funktionen är jämn, ökar på intervallet , minskar på intervallet, och dess graf begränsar enhetsarean ovanför x-axeln. Dessutom kl . Således bildar heltalsskift en partition av enhet : $\operatörsnamn {upp} (x)$ $[-1,\;0]$ $[0,\;1],$ $\operatörsnamn {upp} (1-x)=1-\operatörsnamn {upp} (x)$ $x\in [0,\;1]$ $\operatörsnamn {upp} (x)$

\sum _{j=-\infty }^{\infty }\operatörsnamn {up} (xj)\equiv 1.

Värden på dyadiska rationella punkter i formen är rationella tal . Funktionen är inte analytisk på någon punkt av dess stöd. För att beräkna det kan man inte använda Taylor-serien , men det finns speciella typer av snabbkonvergerande serier anpassade för sådana beräkningar. Expansioner i Fourier-serien , serier i termer av Legendre , Bernstein- polynom etc. används också. $\operatörsnamn {upp} (x)$ $2^{-n}k$ $\operatörsnamn {upp} (x)$ $\operatörsnamn {upp} (x)$

Atomfunktioner är oändligt delbara, det vill säga de kan representeras som en linjär kombination av skift-kompressioner av finita funktioner med en godtycklig längd av stöd (fraktionella komponenter), och kan betraktas som analoger till B-splines med oändlig jämnhet, som såväl som wavelets ideologiska föregångare . Goda approximativa egenskaper för funktionen är baserade på det faktum att med en linjär kombination av skift-sammandragningar kan man representera ett algebraiskt polynom av vilken grad som helst. $\operatörsnamn {upp} (x)$ $\operatörsnamn {upp} (x)$

Atomfunktioner h a ( x ), perfekta splines

Atomfunktioner (för ) är en generalisering av funktionen . Motsvarande funktionella differentialekvationer har formen $\operatorname {h} _{a}(x)$ $a>1$ $\operatörsnamn {upp} (x)$

{\frac {2}{a^{2}}}y'(x)=y(ax+1)-y(ax-1).

Fouriertransformen av en funktion har alltså formen $\operatörsnamn {upp} (x)\equiv \operatörsnamn {h} _{2}(x).$ $\operatorname {h} _{a}(x)$

{\hat {\operatörsnamn {h} _{a}}}(t)=\prod _{n=1}^{\infty }\operatörsnamn {sinc} {\frac {t}{a^{ n}}},

därför är funktionerna oändliga faltningar av de karakteristiska funktionerna för intervall ( rektangulära funktioner ), vars bredd minskar exponentiellt . Om vi i det sista uttrycket begränsar oss till ett ändligt antal termer av den oändliga produkten , får vi Fouriertransformen av perfekta splines med ett återkommande funktionellt differentiellt uttryck $\operatorname {h} _{a}(x)$ $M$ $\operatorname {h} _{a,M}(x)$

{\frac {2}{a^{2}}}\operatörsnamn {h} '_{a,M}(x)=\operatörsnamn {h} _{a,M-1}(ax+1 )-\operatörsnamn {h} _{a,M-1}(ax-1).

Generaliserade Kotelnikovs teorem

Nollorna i Fouriertransformerna av funktionerna är placerade på ett regelbundet sätt vid punkterna . I detta avseende kan vilken kontinuerlig funktion som helst med ett ändligt spektrum utökas till en serie $\operatorname {h} _{a}(x)$ $a\pi n$ $(n\neq 0)$ $f(x)$ $(\operatörsnamn {supp} {\hat {f}}=[-\Omega ,\Omega ])$

f(x)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(k\Delta ){\hat {\operatörsnamn {h} _{a))}\left[{\frac {a\pi }{\Delta }}(xk\Delta )\right],

där [5] . $a>2,\ 0<\Delta \leq \pi (a-2)/\Omega (a-1)$

Denna formel generaliserar Kotelnikovs välkända teorem [5] ; den föreslogs först av V. F. Kravchenko och V. A. Rvachev [6] , och utvecklades senare av E. G. Zelkin , V. F. Kravchenko och M. A. Basarab [7] .

Historia och utveckling

Atomfunktioner introducerades första gången [8] 1971. Omständigheterna för funktionens utseende är relaterade till problemet som ställdes 1967 av V. L. Rvachev och löstes av V. A. Rvachev : att hitta en så finit differentierbar funktion att dess graf skulle se ut som en "puckel" med ett öknings- och ett minskningssegment, och grafen dess derivata skulle bestå av en "puckel" och en "grop", och den senare skulle likna "puckel" för själva funktionen, dvs. skulle representera - upp till en skalfaktor - en förskjuten och komprimerad kopia av grafen för den ursprungliga funktionen [9] . $\operatörsnamn {upp} (x)$

Resultaten av det inledande skedet av utvecklingen av teorin om atomfunktioner presenteras i V. A. Rvachevs arbete "Atomfunktioner och deras tillämpning" [10] . Den ger en detaljerad genomgång av verk om teorin om atomfunktioner, fram till 1984, en lista över olösta problem i teorin om atomfunktioner, som till stor del bestämde riktningen för vidare forskning.

För närvarande används atomfunktioner i stor utsträckning inom approximationsteori , numerisk analys , digital signalbehandling , waveletanalys och andra områden. En stor cykel av arbeten om teori och tillämpningar av atomfunktioner i olika fysiska tillämpningar publicerades av V. F. Kravchenko och representanter för hans vetenskapliga skola [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [ 18] [19 ] [20] [21] [22] [23] .

Se även

Anteckningar

↑ Rvachev och Rvachev, 1979 , sid. 110.
↑ Kravchenko, 2003 , sid. 17.
↑ Tikhomirov, 1987 , sid. 202-203.
↑ Rvachev V. L. . Teori om R -funktioner och några av dess tillämpningar. - Kiev: Naukova Dumka , 1982. - S. 383. - 552 sid.
↑ 1 2 Kravchenko, 2003 , sid. 90-92.
↑ Kravchenko V. F., Rvachev V. A. Tillämpning av atomära funktioner i interpolationsproblem // Elektromagnetiska vågor och elektroniska system. - 1998. - V. 3, nr 3 . - S. 16-26 .
↑ Zelkin E. G., Kravchenko V. F., Basarab M. A. Interpolation av signaler med ett ändligt spektrum med hjälp av Fourier-transformationer av atomfunktioner och dess tillämpning i antennsyntesproblem // Radioteknik och elektronik. - 2002. - T. 47, nr 4 . - S. 461-468 .
↑ Rvachov V. L., Rvachov V. O. Om en finit funktion // DAN URSR. Ser. A. - 1971. - Nr 8 . - S. 705-707 .
↑ Kravchenko V. F., Kravchenko O. V., Pustovoit V. I., Churikov D. V. Atomfunktioner och WA -system och funktioner i moderna problem med radiofysik och teknik // Elektromagnetiska vågor och elektroniska system. - 2011. - T. 16, nr 9 . - S. 7-32 .
↑ Rvachev V. A. . Atomfunktioner och deras tillämpningar // Stoyan Yu. G., Protsenko V. S., Manko G. P. et al. Teori om R -funktioner och faktiska problem av tillämpad matematik. - Kiev: Naukova Dumka , 1986. - S. 45-65. — 264 sid.
↑ Basarab M. A., Zelkin E. G., Kravchenko V. F., Yakovlev V. P. . Digital signalbehandling baserad på Whittaker-Kotelnikov-Shannon-teoremet. - M . : Radioteknik, 2004. - 72 sid. — ISBN 5-93108-064-3 .
↑ Kravchenko V. F., Rvachev V. L. . Algebra av logik, atomfunktioner och vågor i fysiska tillämpningar. — M .: Fizmatlit , 2006. — 416 sid. — ISBN 5-9221-0752-6 .
↑ Digital signal- och bildbehandling i radiofysiska tillämpningar / Ed. V. F. Kravchenko. — M .: Fizmatlit , 2007. — 544 sid. - ISBN 978-5-9221-0871-3 .
↑ Basarab M. A., Kravchenko V. F., Matveev V. A. . Metoder för modellering och digital signalbehandling inom gyroskopi. — M .: Fizmatlit , 2008. — 248 sid. — ISBN 978-5-9221-0809-6 .
↑ Volosyuk V.K., Kravchenko V.F. . Statistisk teori för radiotekniksystem för fjärranalys och radar / Ed. V. F. Kravchenko. — M .: Fizmatlit , 2008. — 704 sid. - ISBN 978-5-9221-0895-9 .
↑ Kravchenko V. F., Labunko O. S., Lerer A. M., Sinyavsky G. P. . Beräkningsmetoder i modern radiofysik / Ed. V. F. Kravchenko. — M .: Fizmatlit , 2009. — 464 sid. — ISBN 978-5-9221-1099-0 .
↑ Volosyuk V. K., Gulyaev Yu - 2014. - T. 59, nr 2 . - S. 109-131 .
↑ Kravchenko V.F., Kravchenko O.V., Pustovoit V.I., Churikov D.V. Tillämpning av familjer av atomära, WA -system och R -funktioner i moderna problem inom radiofysik. Del I // Radioteknik och elektronik. - 2014. - T. 59, nr 10 . - S. 949-978 .
↑ Kravchenko V. F., Kravchenko O. V., Pustovoit V. I., Churikov D. V., Yurin A. V. Tillämpning av familjer av atomära, WA -system och R -funktioner i moderna problem inom radiofysik. Del II // Radioteknik och elektronik . - 2015. - T. 60, nr 2 . - S. 109-148 .
↑ Kravchenko V.F., Kravchenko O.V., Pustovoit V.I., Churikov D.V. Tillämpning av familjer av atomära, WA -system och R -funktioner i moderna problem inom radiofysik. Del III // Radioteknik och elektronik. - 2015. - T. 60, nr 7 . - S. 663-694 .
↑ Kravchenko V. F., Konovalov Ya. Yu., Pustovoit V. I. Familjer av atomfunktioner cha n (x) och fup n (x) i digital signalbehandling // Dokl. - 2015. - T. 462, nr 1 . - S. 35-40 .
↑ Kravchenko V. F., Churikov D. V. Digital signalbehandling av atomfunktioner och vågor. - M .: Technosphere, 2019. Tilläggsutgåva. 182 sid. ISBN 978-5-94836-506-0 .
↑ Kravchenko V. F., Kravchenko O. V. Konstruktiva metoder för logikalgebra, atomfunktioner, wavelets, fraktaler i fysik- och teknikproblem. — M.: Technosfera, 2018. 696 sid. ISBN 978-5-94836-518-3 .

Litteratur

Rvachev VL , Rvachev VA Icke-klassiska metoder för approximationsteori i gränsvärdesproblem. - Kiev: Naukova Dumka , 1979. - 196 sid.
Stoyan Yu. G., Protsenko V. S., Manko G. P. et al. Teori för R -funktioner och faktiska problem av tillämpad matematik. - Kiev: Naukova Dumka , 1986. - 264 s.
Tikhomirov V. M. Approximationsteori // Moderna matematikproblem. grundläggande riktningar. - M. : VINITI AN SSSR , 1987. - T. 14. - 272 sid. - S. 103-260.
Kravchenko VF Föreläsningar om teorin om atomfunktioner och några av deras tillämpningar. - M . : Radioteknik, 2003. - 512 sid. — ISBN 5-93108-019-8 .