Bitangenter i en plan kurva av fjärde graden

En plan kurva av fjärde graden av en allmän form har 28 bitangenter , det vill säga raka linjer som berör kurvan vid två punkter. Dessa linjer finns i det komplexa projektiva planet , men det är möjligt att hitta kurvor för vilka alla dessa 28 linjer har reella tal som koordinater och därför tillhör det euklidiska planet .

Explicita fjärde ordningens kurvor med tjugoåtta verkliga bitangenter hittades först av Julius Plücker [1] [2] . Som Plücker visade, måste antalet verkliga bitangenter i varje fjärde ordningens kurva vara lika med 28, 16 eller mindre än 9. En annan fjärde ordningens kurva med 28 reella bitangenter kan bildas som platsen för punkter i ellipsernas centrum med fasta axellängder som tangerar två icke-parallella linjer [3] . Shioda [4] gav en annan konstruktion av fjärde ordningens kurvor med tjugoåtta bitangenter, som bildas av projektionen av den kubiska ytan . Tjugosju bitangenter i Shioda-kurvan är verkliga, och den tjugoåttonde är linjen vid oändligheten i det projektiva planet.

Exempel

Trotta-kurvan , en annan kurva med 28 verkliga bitangenter, är den uppsättning punkter ( x , y ) som uppfyller kvartsekvationen

Dessa punkter bildar en icke-singular kurva av fjärde ordningen, med släktet tre och tjugoåtta verkliga bitangenter [5] .

Liksom Plückers exempel och Blum- och Guinand-kurvan har Trott-kurvan fyra separata (oregelbundna) ovaler, det maximala antalet för kvartskurvor, och är därför en M-kurva . De fyra ovalerna kan grupperas i sex olika par av ovaler. För varje par ovaler finns det fyra bitangenter som berör båda ovalarna i paret, två linjer skiljer ovalarna åt och två gör det inte. Dessutom avgränsar varje oval ett icke-konvext område av planet och har en bitangent som förbinder de icke-konvexa delarna av gränsen.

Relationer med andra strukturer

Den dubbla kurvan för den (primära) kurvan av fjärde ordningen har 28 riktiga vanliga dubbelpunkter dubbla till 28 bitangenter av den primära kurvan.

28 bitangenta kurvor av fjärde ordningen kan associeras med symboler i formen

där a , b , c , d , e och f är lika med noll eller ett och för dem

[6] [7] .

Det finns 64 set a , b , c , d , e och f , men bara 28 av dem ger en udda summa. Man kan tolka a , b , och c som de homogena koordinaterna för en punkt i Fano-planet och d , e och f som koordinater för en linje i samma ändliga projektiva plan. Villkoret med udda summa motsvarar kravet att punkten inte ligger på en linje, och det finns 28 olika par av sådana punkter och linjer.

Punkterna och räta linjerna i Fano-planet som bildar icke-infallande par bildar en triangel, och tangentkurvorna av fjärde ordningen kan anses motsvara de 28 trianglarna i Fano-planet [8] . Levi -grafen för Fano-planet är Heawood-grafen , där trianglarna i Fano-planet representeras av 6-cykler. De 28 6-cyklerna i Heawood-grafen motsvarar i sin tur de 28 hörnen på Coxeter-grafen [9] .

De 28 fjärde ordningens skivningskurvorna motsvarar också 56 par av linjer på del Pezzo-ytan av grad 2 [8] och 28 udda theta-egenskaper .

27 raka kurvor av tredje ordningen och 28 tangentkurvor av fjärde ordningen, tillsammans med 120 tangentplan av den kanoniska kurvan av sjätte ordningen av släkte 4, bildar Arnolds "treenighet" , närmare bestämt bildar McKay-korrespondensen [10] [11] [12] och kan relateras till många andra objekt, inklusive E 7 och E 8 , som diskuteras i ADE-klassificeringsartikeln .

Anteckningar

  1. ↑ Plücker, 1839 .
  2. ↑ Grey, 1982 .
  3. ↑ Blum, Guinand, 1964 .
  4. ↑ Shioda, 1995 .
  5. ↑ Trott, 1997 .
  6. ↑ Riemann, 1876 .
  7. ↑ Cayley, 1879 .
  8. ↑ 12 Manivel , 2006 .
  9. ↑ Dayter, 2011 .
  10. ↑ le Bruyn, 2008 .
  11. ↑ Arnold, 1997 , sid. 13.
  12. ↑ McKay, Sebbar, 2007 , sid. elva.

Litteratur