Andra andragradsformen

Den andra kvadratiska formen (eller den andra grundformen ) av en yta är en kvadratisk form på ytans tangentbunt , som, i motsats till den första kvadratiska formen , definierar ytans yttre geometri i närheten av en given punkt .

Den andra kvadratiska formen betecknas ofta , och dess komponenter betecknas traditionellt , och . $\mathrm{I\!I}$ $L$ $M$ $N$

Kunskaper om den första och andra kvadratiska formen är tillräcklig för att beräkna en ytas huvudsakliga krökningar , medelvärde och gaussiska krökningar .

Definition

Låt ytan i tredimensionellt euklidiskt rum med skalär produkt ges av ekvationen var och är inre koordinater på ytan; är skillnaden för radievektorn längs den valda förskjutningsriktningen från en punkt till en oändligt nära punkt ; är normalvektorn till ytan vid punkten . Då har den andra andragradsformen formen $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ $r=r(u,v),$ $u$ $v$ $dr=r_{u}du+r_{v}dv$ $r$ $M$ $M'$ $n$ $M$

\mathrm {I\!I} =Ldu^{2}+2Mdudv+Ndv^{2},

där koefficienterna bestäms av formlerna:

L=\langle r_{uu},n\rangle =-\langle r_{u},n_{u}\rangle ={\frac {(r_{uu},r_{u},r_{v} )}{\sqrt {EG-F^{2}}}},

M=\langle r_{uv},n\rangle =-\langle r_{u},n_{v}\rangle =-\langle r_{v},n_{u}\rangle ={\frac { (r_{uv},r_{u},r_{v})}{\sqrt {EG-F^{2))))),

N=\langle r_{vv},n\rangle =-\langle r_{v},n_{v}\rangle ={\frac {(r_{vv},r_{u},r_{v} )}{\sqrt {EG-F^{2}}}},

där betecknar den blandade produkten av vektorer och är koefficienterna för den första kvadratiska formen av ytan. $(\cdot ,\cdot ,\cdot )$ $E=|r_{u}|^{2},$ $F=\langle r_{u},r_{v}\rangle ,$ $G=|r_{v}|^{2}$

Relaterade definitioner

Formoperatorn eller Weingarten- operatorn är en linjär operator på tangentplanet definierat som $S$ $S(V)=-\nabla _{V}\nu ,$

var är fältet för enhetsnormalerna till ytan. Formoperatorn är relaterad till den andra kvadratiska formen genom följande relation:

\nu

\langle S(V),W\rangle =\mathrm {I\!I} (V,W).

Formoperatorns egenvärden kallas ytans huvudsakliga krökningar vid punkten, och formoperatorns egenriktningar kallas ytans huvudsakliga riktningar vid punkten.
- Kurvor på en yta som går i huvudsakliga riktningar kallas krökningslinjer .

Normal krökning i riktning beräknas med formeln ${\displaystyle k_{V))$ $V$ ${\frac {\mathrm {I} \!\mathrm {I} (V,V)}{\mathrm {I} (V,V)))=\langle S(V),V\rangle / |V|^{2}$

var är den första andragradsformen .

\mathrm {I}

Riktningen med noll normal krökning kallas asymptotisk , och kurvan på ytan som går i asymptotisk riktning kallas asymptotisk kurva .

Beräkning

Funktionsdiagram

I ett särskilt fall, när ytan är en graf av en funktion i tredimensionellt euklidiskt utrymme med koefficienter , tar koefficienterna för den andra kvadratiska formen formen: $z=f(x,y)$ $x,y,z$

L={\frac {f_{xx}}{\sqrt {1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}}},\ \\ M={\frac { f_{xy}}{\sqrt {1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}}},\ \ \ N={\frac {f_{yy}}{\sqrt { 1+f_{x}^{2}+f_{y}^{2}}}}.

Variationer och generaliseringar

Hyperytor

Betrakta en hyperyta i ett m -dimensionellt euklidiskt rum med inre produkt . Låt vara en lokal karta över ytan vid punkten . $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ ${\displaystyle {r}:\mathbb {R} ^{m-1}\rightarrow \mathbb {R} ^{m))$ $P$

Sedan beräknas koefficienterna för den andra kvadratiska formen med formeln

q_{ij}={\biggl \langle }{n},{\frac {\partial ^{2}{r)){\partial u^{i}\partial u^{j))}{ \biggr \rangle },\ \ \ i,j=1,\ldots ,m-1,

där anger enhetens normalvektor. $n$

Stor kodimension

Den andra grundläggande formen definieras också för subvarieteter av godtycklig samdimension. [ett]

\mathrm {I\!I} (v,w)=(\nabla _{v}w)^{\bot },

där betecknar projektionen av den kovarianta derivatan på normalrummet. ${\displaystyle (\nabla _{v}w)^{\bot ))$ $\nabla _{v}w$

I det här fallet är den andra grundläggande formen en bilinjär form på tangentrymden med värden i det normala utrymmet.

För submanifolds av det euklidiska rymden kan krökningstensorn för submanifolden beräknas med hjälp av den så kallade Gauss-formeln:

\langle R(u,v)w,z\rangle =\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,z),\mathrm {I} \!\mathrm {I} ( v,w)\rangle -\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,w),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,z)\rangle .

För undergrenrör av ett Riemann-grenrör måste krökningen av det omgivande utrymmet läggas till; om grenröret är inbäddat i ett riemannskt grenrör så ges krökningstensorn för grenröret som är utrustat med den inducerade metriken av den andra grundformen och krökningstensorn för det omgivande grenröret : $N$ $(M,g)$ $R_{N}$ $N$ ${\displaystyle R_{M))$ $M$

\langle R_{N}(u,v)w,z\rangle =\langle R_{M}(u,v)w,z\rangle +\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I } (u,z),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)\rangle -\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,w),\mathrm { I} \!\mathrm {I} (v,z)\rangle .

Se även

Anteckningar

↑ c. 128 i M. do Carmo, Riemannian Geometry , Birkhäuser, 1992

Litteratur

Mishchenko A.S. Fomenko A.T. Kurs i differentialgeometri och topologi. - Fizmatlit, 2004. - ISBN 5-9221-0442-X .

Toponogov V.A. Differentialgeometri för kurvor och ytor. - Fizmatkniga, 2012. - ISBN 9785891552135 .

A.V. Chernavsky . Föreläsningar om klassisk differentialgeometri (2 kurser)