Geometrisk algebra

Geometrisk algebra är en historisk konstruktion av algebra som anges i den andra boken av Euklids " principer " (3:e århundradet f.Kr.), där operationer definierades direkt för geometriska storheter, och satser bevisades med geometriska konstruktioner. Med andra ord växte forntida matematikers algebra inte bara ur geometriproblemen, utan byggdes helt och hållet på geometrisk grund [1] .

Till exempel definierades produkten av numeriska värden [2] som en rektangel med sidor och .

Exempel

Uttalandet av Pythagoras sats kan tolkas som en algebraisk likhet, eller som en likhet mellan områdena av kvadraterna byggda på benen och kvadraten byggd på hypotenusan . Det andra sättet är ett exempel på den geometriska algebrametoden.

Fördelningslagen representerades av forntida matematiker som likheten mellan arean av en rektangel och summan av arean av två rektanglar som erhölls genom att skära den ursprungliga parallellt med en av sidorna (se figur).

Historik

På IV-talet f.Kr. e. pythagoranerna upptäckte att diagonalen i en kvadrat är injämförbar med dess sida, det vill säga deras förhållande ( ) kan inte uttryckas vare sig som ett naturligt tal eller som ett bråktal . Men forntida matematiker kände inte igen andra numeriska objekt, förutom naturliga tal, även en bråkdel ansågs av dem inte som ett tal, utan som ett förhållande ( proportion ) [3] .

Han lyckades hitta en utväg på 300-talet f.Kr. e. Eudoxus av Cnidus - han introducerade, tillsammans med siffror, begreppet geometriska storheter (längder, ytor, volymer). För homogena storheter definierades aritmetiska operationer liknande numeriska. Eudoxus teori förklarades av Euclid i den femte boken i hans Principia , och den användes i Europa fram till 1600-talet. Euklid var tvungen att på nytt bevisa satserna om tal separat för kvantiteter, och aritmetiken av kvantiteter var mycket sämre än numerisk aritmetik, om så bara för att den bara gällde homogena kvantiteter [4] [5] .

Kritik

I modern tid blev det tydligt att konstruktionen av numerisk algebra på basis av geometri var ett misstag. Till exempel, ur geometrins synvinkel, hade uttrycken och inte ens en geometrisk tolkning (den fysiska dimensionen av resultatvärdet definierades inte) och var därför inte vettigt; detsamma gäller negativa tal [6] .

Från och med Descartes' Geometry (1637) tog europeiska matematiker en annan väg - de skapade analytisk geometri , som istället för att reducera algebra till geometri, reducerar geometri till algebra, och denna väg visade sig vara mycket mer fruktbar. För att göra detta möjligt utökade Descartes begreppet tal - det absorberade alla reella tal , inklusive irrationella , och är abstrakt , det vill säga separerat från geometri [7] . Det separata begreppet en geometrisk storhet blir då överflödigt. Algebraisering av geometri gjorde det också möjligt att upptäcka gemensamma drag i geometriska problem som verkade vara helt oberoende [8] .

Vissa historiker har ifrågasatt förekomsten av geometrisk algebra. Till exempel trodde Shabtai Unguru att eftersom matematikens historia inte skrevs av historiker utan av matematiker, utgick de i sina rekonstruktioner från det faktum att matematiken i huvudsak är oförändrad, och därför använde de fritt när de presenterade historien. idéer och termer för modern matematik.

Anteckningar

  1. ↑ Nikiforovsky, Freiman, 1976 , sid. 5.
  2. ↑ Zeiten, 1932 , sid. 42-43.
  3. ↑ History of Mathematics, volym I, 1970 , sid. 72-74.
  4. ↑ Kolmogorov A. N. Value // Mathematical Encyclopedia. - M . : Soviet Encyclopedia, 1977. - T. 1.
  5. ↑ History of Mathematics, volym I, 1970 , sid. 78.
  6. ↑ Bashmakova I. G. Föreläsningar om matematikens historia i antikens Grekland // Historisk och matematisk forskning . - M .: Fizmatgiz , 1958. - Nr 11 . - S. 309-323 .
  7. ↑ Yushkevich A.P. Descartes and Mathematics, 1938 , sid. 279-282.
  8. ↑ Scott, JF Det vetenskapliga arbetet av René Descartes. - New York: Garland, 1987. - ISBN 0824046722 .

Litteratur