Homotopigrupper

Homotopigrupper är en invariant av topologiska utrymmen, ett av de grundläggande begreppen i algebraisk topologi .

Informellt sett klassificerar de avbildningar från flerdimensionella sfärer till ett givet topologiskt utrymme upp till kontinuerlig deformation. Även om de är lätta att definiera, är homotopigrupper mycket svåra att beräkna, även för sfärer. Detta skiljer dem från homologigrupper , som är lättare att räkna men svårare att definiera. Det enklaste specialfallet av homotopigrupper är den fundamentala gruppen .

Definition

Låta vara ett topologiskt utrymme, ; är en enhetskub, dvs , och är gränsen för denna kub, d.v.s. en uppsättning kubpunkter så att eller 1 för vissa . Uppsättningen av homotopiklasser av kontinuerliga mappningar , för vilka betecknas (detta går till en punkt för alla mappningar och homotopier). På denna uppsättning kan multiplikationen av element definieras enligt följande: $X$ $x_{0}\i X$ $I^{n}\subset \mathbb{R} ^{n}$ $I^{n}=\{(t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}):0\leqslant t_{i}\leqslant 1\}$ $\partial I^{n}$ $t_{i}=0$ $i$ $[f]$ $f\kolon I^{n}\till X$ $f(\partial I^{n})=x_{0}\in X$ $\pi _{n}(X,x_{0})$ $\partial I^{n}$ $x_{0}$

[f][g]=[f*g]

var

f*g(t_{1},t_{2},\ldots t_{n})=f(2t_{1},t_{2},\ldots t_{n})

, om

0\leqslant t_{1}\leqslant {\frac {1}{2))

f*g(t_{1},t_{2},\ldots t_{n})=g(2t_{1}-1,t_{2},\ldots t_{n})

, om

{\frac {1}{2}}\leqslant t_{1}\leqslant 1

Eftersom på gränsen för kuben är multiplikationen korrekt definierad. Det är lätt att kontrollera att det bara beror på homotopiklassen och . Denna multiplikation uppfyller alla gruppens axiom . Om man får en sammansättning av slutna vägar och därför är en fundamental grupp . För n>1 kallas de högre homotopigrupper. $f=g=x_{0}$ $[f*g]$ $[f]$ $[g]$ $n=1$ $\pi _{1}(X,x_{0})$ $\pi _{n}(X,x_{0})$

En kontinuerlig kartläggning av utrymmen motsvarar en homomorfism , och denna överensstämmelse är funktionell , det vill säga produkten av kontinuerliga avbildningar motsvarar produkten av homomorfismer av homotopigrupper , och den identiska kartläggningen motsvarar den identiska homomorfismen . Om kartläggningen är homotopisk , då . $F\kolon (X,x_{0})\till (Y,y_{0})$ $F_{*}\colon \pi _{n}(X,x_{0})\till \pi _{n}(Y,y_{0})$ $(FG)_{*}=F_{*}G_{*}$ $(id)_{*}=id_{*}$ $F$ $G$ $F_{*}=G_{*}$

Startpunktsberoende

Till skillnad från homologigrupper innehåller definitionen av homotopigrupper en framstående punkt . I själva verket, i fallet med väganslutna utrymmen, är homotopigrupperna inte beroende av valet av en punkt, även om det i det allmänna fallet inte finns någon kanonisk isomorfism. $H_{n}(X)$ $\pi _{n}(X,x_{0})$ $x_{0}$

Abelianity av högre homotopi grupper

Medan den fundamentala gruppen i allmänhet är icke- abelian , är de för alla n>1 abeliska, det vill säga . Ett visuellt bevis på detta faktum kan ses i följande figur (ljusblå områden är mappade till en prick ): $\pi _{1}(X,x_{0})$ $\pi _{n}(X,x_{0})$ $[f][g]=[g][f]$ $x_{0}$

Relativa homotopigrupper och exakta homotopisekvenser

Relativa homotopigrupper definieras för ett rum , dess delrum och en särskiljande punkt . Låt vara en enhetskub ( ), vara gränsen för denna kub, och låt a vara ytan på kuben som definieras av ekvationen . Uppsättningen av homotopiklasser av kontinuerliga mappningar , för vilka och på de andra sidorna betecknas (desutom går den till , och till en punkt för alla mappningar och homotopier). $X$ $A\delmängd X$ $x_{0}\i X$ $I^{n}\subset \mathbb{R} ^{n}$ $I^{n}=\{(t_{1},t_{2},\ldots t_{n}):0\leqslant t_{i}\leqslant 1\}$ $\partial I^{n}$ $I^{{n-1}}\delmängd \partial I^{n}$ $t_{n}=0$ $[f]$ $f\kolon I^{n}\till X$ $f\kolon I^{{n-1}}\till A$ $f\colon \partial I^{n}\setminus \operatörsnamn {Int}(I^{{n-1}})\to x_{0}$ $\pi _{n}(X,A,x_{0})$ $I^{{n-1}}$ $A$ $\partial I^{n}\setminus \operatörsnamn {Int}(I^{{n-1}})$ $x_{0}$

På samma sätt som tidigare kan vi bevisa att för denna mängd bildar en grupp, den relativa homotopigruppen av ordning . Om , då bevisar föregående figur att det är Abelian. (För n=2 misslyckas beviset, eftersom poäng kan gå till andra punkter än .) $n\geqslant 2$ $n$ $n\geqslant 3$ $\pi _{n}(X,A,x_{0})$ $I^{1}=\{x:x_{2}=0\}$ $A$ $x_{0}$

Inbäddning framkallar en homomorfism , och inbäddning (här ska det förstås som ) framkallar en homomorfism . Varje element definieras av en mappning som i synnerhet mappar till , och f är identiskt lika med , som definierar ett element från . Därmed får vi en kartläggning som är en homomorfism. Vi har följande sekvens av grupper och homomorfismer: $i\kolon (A,x_{0})\till (X,x_{0})$ $i_{*}\colon \pi _{n}(A,x_{0})\till \pi _{n}(X,x_{0})$ $j\kolon (X,x_{0})\till (X,A,x_{0})$ $(X,x_{0})$ $(X,x_{0},x_{0})$ $j_{*}\colon \pi _{n}(X,x_{0})\till \pi _{n}(X,A,x_{0})$ $[f]\in \pi _{n}(X,A,x_{0})$ $f$ $I^{{n-1}}$ $A$ $\partial I^{{n-1}}$ $x_{0}$ $\pi _{{n-1}}(A,x_{0})$ $\partial \pi _{n}(X,A,x_{0})\to \pi _{{n-1}}(A,x_{0})$

\dots ~{\longrightarrow }\pi _{n}(A,x_{0}){\stackrel {i_{*n}}{\longrightarrow }}\pi _{n}(X,x_{ 0}){\stackrel {j_{*n}}{\longrightarrow }}\pi _{n}(X,A,x_{0}){\stackrel {\partial _{n}}{\longrightarrow }} \pi _{n-1}(A,x_{0}){\longrightarrow }~\dots

Denna sekvens är exakt , det vill säga bilden av någon homomorfism sammanfaller med kärnan i nästa homomorfism. $\pi _{n}(X,x_{0})=0$ $n\geqslant 1$ $\partial \colon \pi _{{n+1}}(X,A,x_{0})\to \pi _{n}(A,x_{0})$

Historik

Den grundläggande gruppen introducerades av skaparen av topologin Henri Poincaré , de högre homotopigrupperna introducerades av Vitold Gurevich . Trots enkelheten i deras definition är beräkningen av specifika grupper (även för så enkla utrymmen som högdimensionella sfärer S n (se homotopigrupper av sfärer ) ofta en mycket svår uppgift, och allmänna metoder erhölls endast i mitten av 1900-talet med tillkomsten av spektralsekvenser .

Litteratur

Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Modern geometri: Metoder och tillämpningar. — M .: Nauka, 1979
Rokhlin V. A., Fuchs D. B. Inledande kurs i topologi. Geometriska huvuden. — M .: Nauka, 1977
Switzer R. M. Algebraisk topologi — homotopi och homologi. — M .: Nauka, 1985
Spanier E. Algebraisk topologi. — M .: Mir, 1971
Fomenko A. T., Fuchs D. B. En kurs i homotopi topologi. — M .: Nauka, 1989