Triangelgrupp (2,3,7)

Triangelgruppen (2,3,7) [1]  är den triangulära gruppen ( von Dyck-gruppen ) D (2,3,7) av orienteringsbevarande avbildningar. Ett viktigt objekt i teorin om Riemann-ytor och Lobachevsky-geometri i samband med Hurwitz-ytor , nämligen[ förtydliga ] med Riemann-ytor av släktet g med högsta möjliga ordning av automorfismgruppen lika med 84( g − 1).

De normala vridningsfria undergrupperna i den triangulära gruppen (2,3,7) är de fuchsiska grupperna som är associerade med Hurwitz-ytor såsom Klein-kvartiken , McBeath-ytan och den första Hurwitz-trippeln .

Byggnader

Hyperbolisk konstruktion

För att konstruera en triangulär grupp börjar vi med en hyperbolisk triangel med vinklarna π/2, π/3, π/7. Denna triangel är den minsta hyperboliska Schwartz-triangeln och dess reflektioner tesselerar planet genom reflektioner kring sidorna. Betrakta en grupp som genereras av reflektioner kring sidorna av en triangel. Denna grupp är den icke-euklidiska kristallografiska gruppen (en diskret undergrupp av hyperboliska isometrier ) med denna triangel som sin grundläggande domän . Den associerade plattsättningen är en partitionerad heptagonal plattsättning av ordning 3 . Den triangulära gruppen (2,3,7) definieras som en undergrupp av index 2 bestående av orienteringsbevarande isometrier, och är en fuchsisk grupp (orienteringsbevarande icke-euklidisk kristallografisk grupp).

Gruppuppdrag

Gruppen kan specificeras med hjälp av ett par generatorer, g 2 , g 3 , med följande relationer:

Geometriskt motsvarar dessa relationer rotationer med 2π/2, 2π/3 och 2π/7 runt hörn av Schwartz-triangeln.

Algebra of quaternions

Triangelgruppen (2,3,7) kan representeras av quaterniongruppen med norm 1, med en lämplig R-ordning [2] i quaternionalgebra . Mer specifikt är triangelgruppen kvoten av quaterniongruppen i dess mitt ±1.

Låt η = 2cos(2π/7). Sedan från jämställdheten

vi ser att Q (η) är en helt reell kubisk förlängning av Q . Den hyperboliska gruppen i triangeln (2,3,7) är en undergrupp till gruppen av element i kvartjonalgebra med norm 1, bildad som en associativ algebra av ett par generatorer i och j och relationerna i 2 = j 2 = η , ij = − ji . Man kan välja en lämplig ordning av Hurwitz quaternions i quaternion algebra. Här genereras ordningen av elementen

Faktum är att ordern är en fri Z [η]-modul över basen . Generatorer uppfyller villkoren

som reduceras till relationer i den triangulära gruppen efter att ha tagit faktorgruppen i centrum.

Förhållande med SL(2,R)

Om vi ​​utökar skalärerna från Q (η) till R (genom standardinbäddning), får vi en isomorfism mellan kvartjonalgebra och algebra M(2, R ) av reella 2 x 2 matriser. Valet av en viss isomorfism tillåter oss att visa triangelgruppen (2,3,7) som ett specialfall av den fuchsiska gruppen i SL(2, R ) , nämligen som en faktorgrupp av den modulära gruppen . Detta kan visualiseras med hjälp av tillhörande plattsättningar, som visas till höger i figuren - plattsättningen (2,3,7) på Poincaré-skivan är faktorutrymmet för den modulära plattsättningen av det övre halvutrymmet.

Men för många ändamål finns det inget behov av att specificera en explicit isomorfism. Så spår av gruppelement (och följaktligen rörelseavståndet för hyperboliska element i det övre halvplanet , såväl som systoler av fuchsiska undergrupper) kan beräknas med hjälp av reducerade spår i quaternionalgebra med formeln

Anteckningar

  1. ↑ Den "triangulära gruppen (2,3,7)" förstås oftast som den ofullständiga triangulära gruppen Δ(2,3,7) ( Coxeter-gruppen med Schwartz-triangeln (2,3,7), eller realiserad som en hyperbolisk reflektionsgrupp ), nämligen den "vanliga" triangulära gruppen .
  2. ↑ Ordet "ordning" har många betydelser. I detta sammanhang förstås ordningen som ringens ordning (R-ordningen). Se Reiners bok Maximum Orders ( Reiner 2003 ).
  3. ↑ Platoniska plattsättningar av Riemann-ytor: The Modular Group Arkiverad 28 oktober 2009 på Wayback Machine , Gerard Westendorp Arkiverad 10 mars 2011 på Wayback Machine

Litteratur