Hurwitz yta

Hurwitz-ytan  är en kompakt Riemann-yta med exakt

automorfismer, där g  är ytans släkte . De kallas också Hurwitz-kurvor , samtidigt som man förstår dem som komplexa algebraiska kurvor (komplex dimension 1 motsvarar verklig dimension 2).

Uppkallad efter den tyske matematikern Adolf Hurwitz .

Egenskaper

• Detta antal, 84( g − 1) , är maximalt på grund av Hurwitz automorfismsats [1] .

• Den fuchsiska gruppen av en Hurwitz-yta är en normal undergrupp av finita index i den (vanliga) triangulära gruppen (2,3,7) och är även vridningsfri. En finit faktorgrupp är exakt en automorfismgrupp.

• Automorfismer av en komplex algebraisk kurva är orienteringsbevarande automorfismer av den underliggande verkliga ytan. Om vi ​​också betraktar orienteringsomkastande isometrier får vi en dubbelt så stor grupp av ordningen 168( g − 1), vilket ibland är av intresse.

Anteckningar

• Här förstås "triangulär grupp (2,3,7)" oftast som en ofullständig triangulär grupp Δ(2,3,7) ( en Coxeter-grupp med en Schwartz-triangel (2,3,7), eller realiserad som en hyperbolisk reflektionsgrupp ), utan snarare den vanliga triangulära gruppen ( von Dyck-gruppen ) D (2,3,7) av orienteringsbevarande avbildningar, med index 2. Den komplexa automorfismgruppen är kvotgruppen för den vanliga triangulära gruppen , medan isometrigruppen (med möjlig omorientering) är en faktorgrupp av den allmänna triangulära gruppen.

Exempel

En Hurwitz-yta av minimalt släkte är en Klein quartic av släkte 3, med automorfismgruppen PSL(2,7) ( projektiv speciallinjär grupp) av ordningen 84(3−1) = 168 = 2 2 •3•7 och att vara enkel grupp . Nästa tillåtna släkte är sju, och det har en McBeath-yta med automorfismgruppen PSL(2,8), som är en enkel grupp av ordningen 84(7−1) = 504 = 2 2 •3 2 •7. Om vi ​​också betraktar orienteringsförändrande isometrier, blir gruppens ordning 1008.

Ett intressant fenomen inträffar vid nästa möjliga värde av släktet, nämligen 14. Här finns en trippel av distinkta Riemannytor med identiska automorfigrupper (av storleksordningen 84(14−1) = 1092 = 2 2 •3•7•13) . Förklaringen till detta fenomen är aritmetisk. Nämligen, i ringen av heltal av ett lämpligt talfält, sönderfaller det rationella primtal 13 till produkten av tre distinkta primideal [2] . Huvudkongruensgrupper definierade av en trippel av primära ideal ger fuchsiska grupper som motsvarar den första Hurwitz-trippeln .

Se även

• Order of Hurwitz quaternions

Anteckningar

1. ↑ Hurwitz, 1893 , sid. 403–442.
2. ↑ Se artikeln " The First Hurwitz Triple " för en förklaring.

Litteratur

• N. Elkies . Shimura kurvberäkningar. Algoritmisk talteori. - Berlin: Springer, 1998. - T. 1423. - (Lecture Notes in Computer Science).

• A. Hurwitz. Über algebraische Gebilde mit Eindeutigen Transformationen in sich // Mathematische Annalen . - 1893. - T. 41 , nr. 3 . - doi : 10.1007/BF01443420 .

• M. Katz , M. Schaps, U. Vishne. Logaritmisk tillväxt av systole av aritmetiska Riemann-ytor längs kongruensundergrupper // J. Differential Geom. - 2007. - T. 76 , nr. 3 . — S. 399-422 .

• David Singerman, Robert I. Syddall. Riemannytan på en enhetlig Dessin // Beiträge zur Algebra und Geometrie (Bidrag till algebra och geometri). - 2003. - T. 44 , nr. 2 . — S. 413–430 .