Riemann zeta funktion

Riemann zeta-funktionen är en funktion av en komplex variabel , at , definierad med Dirichlet-serien : $\displaystyle \zeta (s)$ $s=\sigma +it$ $\sigma >1$

\zeta (s)={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s }}}+\ldots .

I det komplexa halvplanet konvergerar denna serie , är en analytisk funktion av och medger en analytisk fortsättning till hela det komplexa planet , med undantag för singularpunkten . ${\displaystyle \{s\in \mathbb {C} \mid \operatörsnamn {Re} s>1\))$ $s$ $s=1$

Riemann zeta-funktionen spelar en mycket viktig roll i analytisk talteori , har tillämpningar inom teoretisk fysik , statistik och sannolikhetsteori .

I synnerhet, om varken den bevisade eller vederlagda Riemann-hypotesen om positionen för alla icke-triviala nollor i zetafunktionen på det direkta komplexa planet bevisas eller vederläggs hittills , då är många viktiga primtalssatser baserade på Riemann-hypotesen i bevis blir antingen sant eller falskt. $\operatorname {Re} s=1/2$

Eulers identitet

Representationen som en oändlig produkt är också giltig i domänen ( Eulers identitet ) $\{s\mid \operatörsnamn {Re} s>1\}$

\zeta (s)=\prod _{{\text{nummer }}p \atop {\text{enkel}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}.

Bevis

Idén med beviset använder bara enkel algebra, tillgänglig för en flitig skolpojke. Euler härledde ursprungligen formeln på detta sätt. Det finns en egenskap hos Eratosthenes såll som vi kan dra nytta av:

\zeta (s)=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^ {s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}+\ldots

{\frac {1}{2^{s}}}\zeta (s)={\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{4^{s} ))+{\frac {1}{6^{s}}}+{\frac {1}{8^{s}}}+{\frac {1}{10^{s}}}+\ldots

Genom att subtrahera den andra från den första tar vi bort alla element med en divisor på 2:

\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta (s)=1+{\frac {1}{3^{s}}}+{\ frac {1}{5^{s}}}+{\frac {1}{7^{s}}}+{\frac {1}{9^{s}}}+{\frac {1}{ 11^{s}}}+{\frac {1}{13^{s}}}+\ldots

Upprepa för följande:

{\frac {1}{3^{s}}}\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta (s)={\frac {1 }{3^{s}}}+{\frac {1}{9^{s}}}+{\frac {1}{15^{s}}}+{\frac {1}{21^{ s))}+{\frac {1}{27^{s}}}+{\frac {1}{33^{s}}}+\ldots

Subtrahera igen, vi får:

\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta ( s)=1+{\frac {1}{5^{s}}}+{\frac {1}{7^{s}}}+{\frac {1}{11^{s}}}+ {\frac {1}{13^{s}}}+{\frac {1}{17^{s}}}+\ldots ,

där alla element med divisor 2 och/eller 3 tas bort.

Som du kan se är den högra sidan siktad genom en sil. Upprepa i det oändliga får vi:

\ldots \left(1-{\frac {1}{11^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{7^{s}}}\right)\ left(1-{\frac {1}{5^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\left(1-{\ frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta (s)=1.

Vi delar båda sidor med allt utom , vi får: $\zeta (s)$

\zeta (s)={\frac {1}{\left(1-{\dfrac {1}{2^{s}}}\right)\left(1-{\dfrac {1}{ 3^{s}}}\right)\left(1-{\dfrac {1}{5^{s}}}\right)\left(1-{\dfrac {1}{7^{s}} }\right)\left(1-{\dfrac {1}{11^{s}}}\right)\ldots }}),

som kan skrivas kortare som en oändlig produkt över alla primtal p :

\zeta (s)=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s))}.

För att göra beviset rigoröst, är det bara nödvändigt att kräva att, när , den siktade högra sidan närmar sig 1, vilket omedelbart följer av konvergensen av Dirichlet-serien för . $\operatorname {Re} s>1$ $\zeta (s)$

Denna likhet är en av de viktigaste egenskaperna hos zeta-funktionen.

Egenskaper

Om vi tar den asymptotiska expansionen för delsummor av formen ${\displaystyle {N\rightarrow +\infty ))$ $\sum \limits _{n=1}^{N}{\frac {1}{n^{s}}}=\zeta (s)+{\frac {1}{1-s}} N^{1-s}+{\frac {1}{2}}N^{-s}-{\frac {1}{12}}sN^{-1-s}+\dots$ ,

giltigt för , kommer det också att förbli sant för alla , förutom de för vilka (dessa är de triviala rötterna till zeta-funktionen ). Från detta kan följande formler erhållas för : ${\rm {Re}}\,s>1$ $s$ $2-s\in {\mathbb {N} }$ $\zeta (s)$

$\zeta (s)=\lim \limits _{N\rightarrow +\infty }\left(\sum \limits _{n=1}^{N}{\frac {1}{n^{s ))}-{\frac {N^{1-s}}{1-s}}\right)$ , at , förutom ; ${\rm {Re}}\,s>0$ $s=1$
$\zeta (s)=\lim \limits _{N\rightarrow +\infty }\left(\sum \limits _{n=1}^{N}{\frac {1}{n^{s ))}-{\frac {N^{1-s}}{1-s}}-{\frac {1}{2}}N^{-s}\right)$ , med , förutom eller ; ${\rm {Re}}\,s>-1$ $s=1$ $0$
$\zeta (s)=\lim \limits _{N\rightarrow +\infty }\left(\sum \limits _{n=1}^{N}{\frac {1}{n^{s ))}-{\frac {N^{1-s}}{1-s}}-{\frac {1}{2}}N^{-s}+{\frac {1}{12}} sN^{-1-s}\höger)$ , med , utom , eller etc. ${\rm {Re}}\,s>-2$ $s=1$ $0$ $-ett$

Det finns explicita formler för värdena för zeta-funktionen vid jämna heltalspunkter: $\zeta (2m)=(-1)^{m+1}{\frac {(2\pi )^{2m}}{2(2m)!}}B_{2m}$ , var är Bernoulli-numret . $\displaystyle B_{{2m}}$

I synnerhet ( omvänd kvadratserier ),

\zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}

\zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{90)),\ \ \zeta (6)={\frac {\pi ^{6}}{945)),\ \ \zeta (8)={\frac {\pi ^{8}}{9450)),\ \ \zeta (10)={\frac {\pi ^{10}}{93555}}

Dessutom är värdet , där är polygammafunktionen ; $\zeta (3)=-{\frac {\psi ^{(2)}(1)}{2))$ $\psi$
Lite är känt om värdena för zeta-funktionen vid udda heltalspunkter: det antas att de är irrationella och till och med transcendentala , men hittills (2019) har endast irrationaliteten hos talet ζ(3) bevisats ( Roger Apéry , 1978), och även att det bland värdena ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) finns minst en irrationell till [1] .
På $\operatörsnamn {Re} \,s>1$
- ${\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}$ , var är Möbius-funktionen $\displaystyle \mu(n)$
- ${\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)))=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s }}}$ , var är Liouville-funktionen $\displaystyle \lambda (n)$
- $\zeta ^{2}(s)=\summa _{n=1}^{\infty }{\frac {\tau (n)}{n^{s))}$ , där är antalet delare av talet $\displaystyle \tau (n)$ $\displaystyle n$
- ${\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)))=\summa _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^ {s}}}$
- ${\frac {\zeta ^{2}(s)}{\zeta (2s)))=\summa _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{\nu (n )}}{n^{s}}}$ , där är antalet primtalsdelare av talet $\displaystyle \nu(n)$ $\displaystyle n$
- ${\frac {\zeta ^{3}(s)}{\zeta (2s)))=\summa _{n=1}^{\infty }{\frac {\tau (n^{2 })}{n^{s}}}$
- ${\frac {\zeta ^{4}(s)}{\zeta (2s)))=\summa _{n=1}^{\infty }{\frac {(\tau (n)) ^{2}}{n^{s}}}$
På $\operatorname {Re} \,s>2$
- ${\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)))=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{n^ {s}}}$ , var är Euler-funktionen $\displaystyle \varphi (n)$
$\displaystyle \zeta (s)$ har en enkel pol vid punkten med rest lika med 1. $\displaystyle s=1$
Zeta-funktionen vid uppfyller ekvationen: $\displaystyle s\neq 0,s\neq 1$ $\zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\pi s \over 2}\right)\Gamma (1-s)\zeta (1-s)$ ,

var är Eulers gammafunktion . Denna ekvation kallas Riemanns funktionella ekvation , även om den senare varken är dess författare eller den som först rigoröst bevisade det [2] .

\displaystyle \gamma (z)

För funktion $\xi (s)={\frac {1}{2}}\pi ^{-s/2}s(s-1)\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\ zeta(s)$ ,

introducerad av Riemann för forskning och kallad Riemanns x-funktion , har denna ekvation formen:

\displaystyle \zeta (s)

\displaystyle \ \xi (s)=\xi (1-s)

Nollor för zeta-funktionen

Som följer av Riemanns funktionella ekvation har funktionen i halvplanet endast enkla nollor vid negativa jämna punkter: . Dessa nollor kallas de "triviala" nollorna i zetafunktionen. Vidare, på riktigt . Därför är alla "icke-triviala" nollor i zetafunktionen komplexa tal. Dessutom har de egenskapen symmetri med avseende på den verkliga axeln och med avseende på den vertikala och ligger i ett band som kallas det kritiska bandet . Enligt Riemanns hypotes är de alla på den kritiska linjen . $\operatörsnamn {Re} \,s<0$ $\zeta (s)$ $0=\zeta (-2)=\zeta (-4)=\zeta (-6)=\prickar$ $\zeta (s)\neq 0$ $s\in(0,1)$ $\operatörsnamn {Re} \,s={\frac {1}{2}}$ $0\leqslant \operatörsnamn {Re} \,s\leqslant 1$ $\operatörsnamn {Re} \,s={\frac {1}{2}}$

Konkreta värderepresentationer

ζ(2)

Från formeln , var är Bernoulli-talet , får vi det . $2\zeta (2m)=(-1)^{m+1}{\frac {(2\pi )^{2m}}{(2m)!}}B_{2m}$ $\displaystyle B_{{2m}}$ $\zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}$

Andra radrepresentationer

Nedan finns andra serier vars summa är [3] : $\zeta (2)$

{\begin{aligned}\zeta (2)&=3\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}{\binom {2k}{k }}}}\\\end{aligned}}}

{\begin{aligned}\zeta (2)&=\sum _{i=1}^{\infty }\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {(i-1 )!(j-1)!}{(i+j)!}}\end{aligned}}

Det finns också representationer för formen av Bailey-Borwain-Pluff-formeln , som i vissa talsystem gör det möjligt att beräkna det e tecknet i dess rekord utan att beräkna de föregående [3] : $\zeta (2)$ $k$

{\begin{aligned}\zeta (2)={\frac {27}{4}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{64^{k} }}\left[{\frac {16}{(6k+1)^{2}}}-{\frac {24}{(6k+2)^{2}}}-{\frac {8}{ (6k+3)^{2))}-{\frac {6}{(6k+4)^{2))}+{\frac {1}{(6k+5)^{2))}\ höger]\end{aligned}}

{\begin{aligned}\zeta (2)={\frac {4}{9}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{729^{k} }}\left[{\frac {243}{(12k+1)^{2}}}-{\frac {405}{(12k+2)^{2}}}-{\frac {81}{ (12k+4)^{4))}-{\frac {27}{(12k+5)^{2))}-\höger.\\-\vänster.{\frac {72}{(12k+ 6 )^{2))}-{\frac {9}{(12k+7)^{2))}-{\frac {9}{(12k+8)^{2))}-{\frac { 5}{(12k+10)^{2}}}+{\frac {1}{(12k+11)^{2}}}\right]\end{aligned}}

Integral representationer

Nedan finns formler för att involvera integraler erhållna med Riemanns zeta-funktion [4] [5] [6] : $\zeta (2)$

{\begin{aligned}\zeta (2)&=-\int _{0}^{1}{\frac {\log x}{1-x}}\,dx\\[6pt]& =\int _{0}^{\infty }{\frac {x}{e^{x}-1}}\,dx\\[6pt]&=\int _{0}^{1}{\ frac {(\log x)^{2}}{(1+x)^{2}}}\,dx\\[6pt]&=2+2\int _{1}^{\infty }{\ frac {\lfloor x\rfloor -x}{x^{3}}}\,dx\\[6pt]&=\exp \left(2\int _{2}^{\infty }{\frac {\ pi (x)}{x(x^{2}-1)}}\,dx\right)\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1 }{\frac {dx\,dy}{1-xy}}\\[6pt]&={\frac {4}{3}}\int _{0}^{1}\int _{0}^ {1}{\frac {dx\,dy}{1-(xy)^{2}}}\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1 }{\frac {1-x}{1-xy}}\,dx\,dy+{\frac {2}{3}}.\end{aligned}}

Fortsatt bråk

Några av de fortsatta bråkrepresentationerna erhölls i samband med liknande representationer för Apérys konstant, vilket gjorde det möjligt att bevisa dess irrationalitet. $\zeta (2)$ $\zeta (3)$

\zeta (2)={\cfrac {2}{1+{\cfrac {1^{4}}{3+{\cfrac {2^{4}}{5+{\cfrac {3^ {4}}{7+{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^{4}}{(2n-1)+\dots }})))))))))))) ))))

[7]

\zeta (2)=1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1^{2}}{1+{\cfrac {1\cdot 2}{1+{\cfrac {2 ^{2}}{1+{\cfrac {2\cdot 3}{1+{\cfrac {3^{2}}{1+{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^ {2}}{1+{\cfrac {n\cdot (n+1)}{1+\dots }}}}}}}}}}}}}}}}}

[7]

\zeta (2)={\cfrac {5}{3+{\cfrac {1^{4}}{25+{\cfrac {2^{4}}{69+{\cfrac {3^ {4}}{135+{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^{4}}{(11n^{2}-11n+3)+\dots }}}}}}} }}}}}

[åtta]

\zeta (2)={\frac {5}{3}}+{\cfrac {1}{25+{\cfrac {1^{4}}{69+{\cfrac {2^{4 }}{135+{\cfrac {3^{4}}{223+{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^{4}}{(11n^{2}+11n+3 )+\dots }}}}}}}}}}}}

[9]

ζ(3)

En av de kortaste representationerna är , vi får det , var är polygammafunktionen . $\zeta (3)=-{\frac {\psi ^{(2)}(1)}{2))$ $\zeta (3)\approx 1,2020569031595942853997381615114499907649862923404988817922715553...$ $\psi$

Fortsatt bråk

Den fortsatta fraktionen för Apérys konstant (sekvens A013631 i OEIS ) är som följer:

\zeta (3)=[1;4,1,18,1,1,1,4,1,9,9,2,1,1,1,2,7,1,1,7, 11,1,1,1,\cdots ]=

=1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{18+{\cfrac {1}{1+\ldots ))))))) }}\;

Den första generaliserade fortsatta fraktionen för Apéry-konstanten, som har en regelbundenhet, upptäcktes oberoende av Stieltjes och Ramanujan :

\zeta (3)=1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1^{3}}{1+{\cfrac {1^{3}}{12+{\cfrac { 2^{3}}{1+{\cfrac {2^{3}}{20+{\cfrac {3^{3}}{1+{\cfrac {3^{3}}{28+{\ cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^{3}}{1+{\cfrac {n^{3}}{4(2n+1)+\dots }}}}}}}} }}}}}}}}}}}}}

Det kan konverteras till:

\zeta (3)=1+{\cfrac {1}{5-{\cfrac {1^{6}}{21-{\cfrac {2^{6}}{55-{\cfrac { 3^{6}}{119-{\cfrac {4^{6}}{225-{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^{6}}{(2n^{3} +3n^{2}+11n+5)+\dots }}}}}}}}}}}}}}}

Aperi kunde påskynda konvergensen av den fortsatta fraktionen för en konstant:

\zeta (3)={\frac {6}{5}}-{\cfrac {1^{6}}{117-{\cfrac {2^{6}}{535-{\cfrac { 3^{6}}{1436-{\cfrac {4^{6}}{3105-{\cfrac {\dots }{\dots +{\cfrac {n^{6}}{(34n^{3} +51n^{2}+27n+5)+\dots }}}}}}}}}}}}}

[10] [9]

ζ(4)

Från formeln , var är Bernoulli-talet , får vi det . $2\zeta (2m)=(-1)^{m+1}{\frac {(2\pi )^{2m}}{(2m)!}}B_{2m}$ $\displaystyle B_{{2m}}$ $\zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{90}}$

ζ(5)

En av de kortaste representationerna är , vi får det , var är polygammafunktionen . $\zeta (5)=-{\frac {\psi ^{(4)}(1)}{24))$ $\zeta (5)\approx 1,0369277551433699263313654864570341680570809195019128119741926779...$ $\psi$

Generaliseringar

Det finns ett ganska stort antal specialfunktioner förknippade med Riemann zeta-funktionen, som förenas med det gemensamma namnet på zeta-funktionen och är dess generaliseringar. Till exempel:

Hurwitz zeta funktion : $\zeta (s,q)=\summa _{k=0}^{\infty }(k+q)^{-s},$

som sammanfaller med Riemanns zeta-funktion för q = 1 (eftersom summeringen börjar från 0, inte från 1).

Polylogaritm : $\mathrm {Li} _{s}(z)=\summa _{k=1}^{\infty }{z^{k} \över k^{s}},$

vilket är samma som Riemann zeta-funktionen vid z = 1.

Lerch zeta funktion : $\Phi (z,s,q)=\summa _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{(k+q)^{s}}},$

som sammanfaller med Riemann zeta-funktionen vid z = 1 och q = 1 (eftersom summeringen är från 0, inte från 1).

Kvantanalog ( q -analog).

Liknande konstruktioner

I teorin om Gaussiska vägintegraler uppstår problemet med regularisering av determinanter . Ett av tillvägagångssätten för dess lösning är införandet av zeta-funktionen för operatorn [11] . Låt vara en icke-negativt definierad självadjoint operatör , som har ett rent diskret spektrum . Dessutom finns det ett reellt tal så att operatören har ett spår . Sedan definieras zetafunktionen för operatorn för ett godtyckligt komplext tal som ligger i halvplanet och kan ges av en konvergent serie $A$ $\mathrm {spec} A=\mathrm {diag} \{\lambda _{1},\lambda _{2},\dots \}$ $\alfa >0$ $(I+A)^{-\alpha }$ $\zeta _{A}(s)$ $A$ $s$ $\mathrm {Re} s>\alpha$

\zeta _{A}(s)=\summa _{\lambda _{n}\neq 0}{\frac {1}{\lambda _{n}^{s))}

Om funktionen som definieras på detta sätt tillåter en analytisk fortsättning till en domän som innehåller någon grannskap av punkten , är det på grundval av detta möjligt att bestämma den reguljära determinanten för operatorn i enlighet med formeln $s=0$ $A$

\det \,'A=e^{-{\frac {d\zeta _{A}}{ds}}(0)}.

Historik

Som en funktion av en reell variabel introducerades zeta-funktionen 1737 av Euler , som angav dess nedbrytning till en produkt. Sedan övervägdes denna funktion av Dirichlet och, särskilt framgångsrikt, av Chebyshev när han studerade lagen om fördelning av primtal. De mest djupgående egenskaperna hos zetafunktionen upptäcktes dock senare, efter Riemanns arbete (1859), där zetafunktionen betraktades som en funktion av en komplex variabel.

Se även

Lista över alla zeta-funktioner

Anteckningar

↑ Zudilin V. V. Om irrationaliteten hos värdena för zetafunktionen vid udda punkter // Uspekhi Mat . - 2001. - T. 56 , nr 2 (338) . — S. 215–216 .
↑ Blagushin Ya. V. Historien om den funktionella ekvationen för zeta-funktionen och olika matematikers roll i dess bevis // Seminarier om matematikens historia i St. V. A. Steklov RAS. — 2018.
↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Riemann Zeta Funktion \zeta(2) . Mathworld . Hämtad 29 april 2018. Arkiverad från originalet 29 april 2018. (obestämd)
↑ Connon DF, Vissa serier och integraler inklusive Riemann Zeta-funktionen, binomialkoefficienter och övertonstal (del I), arΧiv : 0710.4022 .
↑ Weisstein, Eric W. Dubbel integral . Mathworld . Hämtad 29 april 2018. Arkiverad från originalet 29 april 2018. (obestämd)
↑ Weisstein, Eric W. Hadjicostas' formel . Mathworld . Hämtad 29 april 2018. Arkiverad från originalet 29 april 2018. (obestämd)
↑ 12 Steven R. Finch Matematiska konstanter 1.4.4 . Hämtad 10 augusti 2020. Arkiverad från originalet 28 november 2020. (obestämd)
↑ Fortsatt bråk för Zeta(2) och Zeta(3) . tpiezas: EN SAMLING AV ALGEBRAISKA IDENTITETER . Hämtad 29 april 2018. Arkiverad från originalet 29 april 2018. (obestämd)
↑ 1 2 van der Poorten, Alfred (1979), Ett bevis på att Euler missade ... Apérys bevis på irrationaliteten hos ζ (3) , The Mathematical Intelligencer vol 1 (4): 195–203, doi : 10.1007/BF043028 , < https://web.archive.org/web/20110706114957/http://www.maths.mq.edu.au/~alf/45.pdf >
↑ Steven R. Finch Matematiska konstanter 1.6.6 . Hämtad 10 augusti 2020. Arkiverad från originalet 28 november 2020. (obestämd)
↑ Takhtajyan, 2011 , sid. 348.

Litteratur

Derbyshire J. En enkel besatthet. Bernhard Riemann och det största olösta problemet i matematik. — M.: Astrel, 2010. — 464 sid. — ISBN 978-5-271-25422-2 . .
Takhtadzhyan L. A. Kvantmekanik för matematiker / Översatt från engelska av Ph.D. S. A. Slavnov . - Ed. 2:a. - M. -Izhevsk: Forskningscentrum "Regular and Chaotic Dynamics", Izhevsk Institute of Computer Research, 2011. - 496 sid. - ISBN 978-5-93972-900-0 .
Yanke E., Emde F., Losh F. Specialfunktioner: formler, grafer, tabeller / Per. från den 6:e reviderade tyska upplagan, red. L. I. Sedova. - Ed. 3:a, stereotyp. — M .: Nauka, 1977. — 344 sid.

Länkar

Jonathan Sondow och Eric W. Weisstein. Riemann Zeta Function (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .