Diofant geometri är ett förhållningssätt till teorin om diofantiska ekvationer som formulerar problem i termer av algebraisk geometri över ett algebraiskt icke-slutet basfält K , såsom fältet för rationella tal eller ett ändligt fält , eller, mer allmänt, en kommutativ ring , som ringen av heltal. Identitetsekvationen definierar en hyperyta , och på samma sätt går en diofantisk ekvation till en algebraisk variant V över K. En typisk fråga om arten av mängden V ( K ) av punkter på Vmed koordinater i K är frågan om "storleken" på mängden av dessa lösningar: om sådana punkter överhuvudtaget finns, om deras antal är ändligt eller oändligt. För det geometriska tillvägagångssättet är överenskommelsen om homogenitet av ekvationer och homogenitet av koordinater grundläggande. Lösningar i rationella tal är huvudkonventionen[ specificera ] .
Ett av de karakteristiska resultaten av Diophantine geometri är Faltings sats , som säger att uppsättningen av rationella punkter av en algebraisk kurva C av släktet g > 1 över rationella tal är ändlig . Det första resultatet av Diophantine geometri bör förmodligen betraktas som Hilbert-Hurwitz-satsen, som analyserar fallet g = 0.
1962 publicerade Serge Leng boken " Diophantine Geometry ", som presenterade materialet på traditionellt sätt i diofantiska ekvationer i grad och antal variabler. Boken Diophantine Equations av Louis Mordell (1969) börjar med en anmärkning om den homogena ekvationen f = 0 över ett rationellt fält, tillskriven Gauss , att heltalslösningar som inte är noll existerar om och endast om rationella lösningar som inte är noll existerar, och en anmärkning om Linord Dixons invändningar om parametriska lösningar. Resultaten av Hilbert och Hurwitz, erhållna 1890, som begränsar den diofantiska geometrin för kurvor av 0:e slaget till potenserna 1 och 2 ( koniska sektioner ) beskrivs i kapitel 17, där en generalisering för kurvorna g > 1 formuleras (senare känd ). som Mordells gissning, och blev satsen Faltings efter beviset för påståendet). Siegels sats om heltalspunkter diskuteras i kapitel 28. Mordell-Weils sats om det ändliga antalet rationella tal på en elliptisk kurva presenteras i kapitel 16, och om heltal på Mordell-kurvan i kapitel 26. Samtidigt Mordell talade negativt om det geometriska tillvägagångssättet som används av Leng.
Men Lengs koncept att förlita sig på geometrisk intuition blev senare populär, och 2006 kallades han en "visionär" [1] [2] .